随机过程_课件---第三章.doc

第三章 随机过程3.1 随机过程的基本概念1、随机过程定义3-1设是给定的概率空间，为一指标集，对于任意，都存在定义在上，取值于的随机变量与它相对应，则称依赖于的一族随机变量为随机过程，简记，或。注：随机过程是时间参数和样本点的二元函数，对于给定的时间是是概率空间上的随机变量；对于给定样本点是定义在上的实函数，此时称它为随机过程对应于的一个样本函数，也成为样本轨道或实现。称为随机过程的相空间，也成为状态空间，通常用表示处于状态。2、随机过程分类：随机过程按照时间和状态是连续还是离散可以分为四类： 连续型随机过程、离散型随机过程、连续随机序列、离散随机序列。3、有穷维分布函数定义3-2设随机过程，在任意个时刻的取值构成维随机向量，其维联合分布函数为： 其维联合密度函数记为。我们称为随机过程的有穷维分布函数。3.2 随机过程的数字特征1、数学期望对于任何一个时间，随机过程的数学期望定义为 是时间的函数。2、方差与矩随机过程的二阶中心矩称为随机过程的方差。随机过程的二阶原点矩定义为 注：是时间的函数，它描述了随机过程的诸样本对于其数学期望的偏移程度。3、协方差函数和自相关函数随机过程对于任意，其协方差函数定义为当时，协方差函数就是方差。随机过程的自相关函数（相关函数）定义为当时，自相关函数就是二阶原点矩。4、实二阶矩过程定义3-3设为实随机过程，若对于任意的，其均方函数，则称为实二阶矩过程。注：由柯西-施瓦兹（Cauchy-Schwarz）不等式：，可知，二阶矩过程自相关函数一定存在。5、例3-1判断随机过程在下列两种情况下是否为二阶矩过程。（1）为常数；（2）具有概率密度解：（1）因为所以是二阶矩过程。 （2）因为所以不是二阶矩过程。3.3 离散时间和离散型随机过程当时间参数取离散值时，这种随机过程称为离散随机过程 。这时，是一串随机变量所构成的序列，即随机序列。由于随机序列的指标表示时间，所以常称随机序列为时间序列。1、例3-2设一维随机游动过程，其中(即独立同分布随机序列，且。求。解： 根据期望、方差的定义和性质，有而且则2、例3-3考虑随机点在时间区间内发生的次数，若随机点在内发生的次数是偶数（视0为偶数），则令；若为奇数，且令；且。又设在内有个随机点发生的概率与无关，且（即参数为的Poisson分布）其中由此计算可得于是有故得通过类似的计算，可以得到对于所以相关函数为同理可以计算当时的情况。综合上面的结论有因此的方差为3.4 正态随机过程1、正态随机过程如果随机过程的任意n维概率分布都是正态分布，则称它为正态随机过程或高斯随机过程，简称正态过程或高斯过程。正态随机过程的n维概率密度为其中，是n维向量，是阶的矩阵，逆矩阵，它的第i行j列的元素为其中，为相关系数。 注： 由上式可见，正态随机过程的n维概率分布仅取决于它的一、二阶矩函数，即只取决于它的数学期望、方差和相关系数。2、正态随机过程性质如果对正态过程在n个不同时刻采样，所得到的一组随机变量两两互不相关，即则这些随机变量也是相互独立的。在的条件下，n维正态概率密度等于n个一维正态概率密度的连乘积。所以对于一个正态过程来说，不相关与独立是等价的。3.5 Poisson过程1、独立增量过程定义3-4设是一随机过程，若对任意正整数n及，随机变量的增量是相互独立的，则称是独立增量过程。注： 设是独立增量过程，若对任意的，增量的概率分布只依赖于而与无关，则称随机过程为齐次的或时齐的。 若只要时间间隔相同，那么增量服从的分布也相同，也称此过程具有平稳性。 具有独立增量和平稳增量的过程称为独立平稳增量过程。常见的独立平稳增量过程有Poisson过程和Wiener（维纳）过程。2、计数过程定义3-5如果用表示内随机事件发生的总数，则随机过程称为一个计数过程。因此，计数过程满足（1）；（2）是非负整数值；（3）对于任意两个时刻，有；（4）对于任意两个时刻，等于时间区间中发生的事件个数。如果计数过程在不相交时间区间中发生的事件个数是独立的，则称计数过程有独立增量。3、Poisson过程的两个定义定义3-6设随机过程是一个计数过程，如果满足（1）；（2）是独立增量过程；（3）对于任意，增量具有参数的Poisson分布，即则称为具有参数的齐次Poisson过程。注：Poisson过程有平稳增量且，并称为此过程的速率或强度，即单位时间内发生的事件的平均个数。定义3-7设随机过程是一个计数过程，参数为，如果满足（1）；（2）过程有平稳的独立增量；（3）；（4）则称为具有参数的齐次Poisson过程。其中表示当时，对h的高阶无穷小。定理3-1 上述定义3-6与定义3-7是等价的。4、例题例3-4顾客依Poisson过程到达某汽车站，其速率人/分钟。试求：（1）的均值、方差、自相关函数和协方差函数；（2）在第三分钟到第五分钟之间到达汽车站的顾客人数的概率分布。解：（1）根据题意，强调，故的均值、方差、自相关函数和协方差函数分别为（2）第三分钟到第五分钟之间到达的人数为，所以其分布率为例3-5顾客依Poisson过程到达到达某商店，速率人/小时，已知商店上午9：00开门，求到9：30时仅到一位顾客，而到11：30时总计已达到5五位顾客的概率。解：3.6 平稳随机过程1、严格平稳随机过程定义3-8实随机过程,若对任意正整数n及任意与任意，有或即随机过程的有限分布在时间的平移下保持不变，则称为严格平稳随机过程。2、严格平稳随机过程的一些特性如果是严平稳随机过程，则它的一维概率密度与时间无关，令，则有由此可求得随机过程的均值、矩和方差皆与时间无关的常数。严平稳随机过程的二维概率密度只与的时间间隔有关，而与时间起点无关，令，则有这表明二维概率密度仅依赖于时间差，而与时刻无关。由此可得，随机变量的自相关函数、协方差函数只是单变量的函数。3、宽平稳随机过程定义3-9若实随机过程满足：对于任意有（1）；（2）；（3）则称为宽平稳随机过程。 注：由于宽平稳随机过程的定义只涉及与一、二维概率密度有关的数字特征，所以 一个严平稳随机过程只要二阶原点矩有界，则它必定是宽平稳的。但是反之不一定成立，但正态随机过程。因为正态随机过程的概率密度是由均值和自相关函数完全确定的，所以如果均值和自相关函数不随时间平移而变化，则概率密度也不随时间的平移而变化，于是一个宽平稳的正态过程必定也是严平稳的。4、平稳随机过程自相关函数的性质性质3-1设为平稳过程的自相关函数，则（1）平稳过程的自相关函数在上是非负值，即；（2）自相关函数是变量的偶函数，；（3）自相关函数在时取到最大值，；（4）如果平稳过程满足条件，则称它为周期平稳过程，其中T为过程的周期；周期平稳过程的自相关函数必为周期函数，并且它的周期与过程的周期相同；（5）如果平稳