三角函数知识点总结

高中数学第四章高中数学第四章 三角函数三角函数 考试内容 考试内容 角的概念的推广 弧度制 任意角的三角函数 单位圆中的三角函数线 同角三角函数的基本关系式 正弦 余弦的诱 导公式 两角和与差的正弦 余弦 正切 二倍角的正弦 余弦 正切 正弦函数 余弦函数的图像和性质 周期函数 函数 y Asin x 的图像 正切函数的 图像和性质 已知三角函数值求角 正弦定理 余弦定理 斜三角形解法 考试要求 考试要求 1 理解任意角的概念 弧度的意义能正确地进行弧度与角度的换算 2 掌握任意角的正弦 余弦 正切的定义 了解余切 正割 余割的定义 掌握同角三 角函数的基本关系式 掌握正弦 余弦的诱导公式 了解周期函数与最小正周期的意义 3 掌握两角和与两角差的正弦 余弦 正切公式 掌握二倍角的正弦 余弦 正切公 式 4 能正确运用三角公式 进行简单三角函数式的化简 求值和恒等式证明 5 理解正弦函数 余弦函数 正切函数的图像和性质 会用 五点法 画正弦函数 余 弦函数和函数 y Asin x 的简图 理解 A 的物理意义 6 会由已知三角函数值求角 并会用符号 arcsinx arc cosx arctanx 表示 7 掌握正弦定理 余弦定理 并能初步运用它们解斜三角形 8 同角三角函数基本关系式 sin2 cos2 1 sin cos tan tan cos 1 04 三角函数三角函数三角函数三角函数 知识要点知识要点知识要点知识要点 1 与 0 360 终边相同的角的集合 角与角的终边重合 Zkk 360 终边在 x 轴上的角的集合 Zkk 180 终边在 y 轴上的角的集合 Zkk 90180 终边在坐标轴上的角的集合 Zkk 90 终边在 y x 轴上的角的集合 Zkk 45180 终边在轴上的角的集合 xy Zkk 45180 若角与角的终边关于 x 轴对称 则角与角的关系 k 360 若角与角的终边关于 y 轴对称 则角与角的关系 180360 k 若角与角的终边在一条直线上 则角与角的关系 k 180 y x SIN COS三角函数值大小关系图 sinx cosx 1 2 3 4表示第一 二 三 四象限一半所在区域 1 2 3 4 1 2 3 4 sinx sinx sinx cosxcosx cosx 角与角的终边互相垂直 则角与角的关系 90360 k 2 角度与弧度的互换关系 360 2 180 1 0 01745 1 57 30 57 18 注意 正角的弧度数为正数 负角的弧度数为负数 零角的弧度数为零 弧度与角度互换公式 1rad 57 30 57 18 1 180 0 01745 rad 180 3 弧长公式 扇形面积公式 rl 2 11 22 slrr 扇形 4 三角函数 设是一个任意角 在的终边上任取 异 于原点的 一点 P x y P 与原点的距离为 r 则 r y sin r x cos x y tan y x cot x r sec y r csc 5 三角函数在各象限的符号 一全二正弦 三切四余弦 oo o x y x y x y 6 三角函数线 正弦线 MP 余弦线 OM 正切线 AT 7 三角函数的定义域 6 个 8 同角三角函数的基本关系式 tan cos sin cot sin cos 1cottan 1sincsc 1cossec 1cossin 22 1tansec 22 1cotcsc 22 9 诱导公式 奇变偶不变 符号看象限 2 k 把的三角函数化为的三角函数 概括为 三角函数的公式 一 基本关系 公式组二公式组二 公式组三公式组三 r o x y a的 的 的 P x y T M A O P x y 3 个 o x 2 个 sinx x cosx cosx sinx cosx sinx sinx cosx sinx cosx cosx sinx 16 个 个 个 个 个 个 O O x y x y xxk xxk xxk xxk cot 2cot tan 2tan cos 2cos sin 2sin xx xx xx xx cot cot tan tan cos cos sin sin 公式组四公式组四 公式组五公式组五 公式组六公式组六 xx xx xx xx cot cot tan tan cos cos sin sin xx xx xx xx cot 2cot tan 2tan cos 2cos sin 2sin xx xx xx xx cot cot tan tan cos cos sin sin 二 角与角之间的互换 公式组一公式组一 公式组二公式组二 sinsincoscos cos cossin22sin sinsincoscos cos 2222 sin211cos2sincos2cos sincoscossin sin 2 tan1 tan2 2tan sincoscossin sin 2 cos1 2 sin tantan1 tantan tan 2 cos1 2 cos tantan1 tantan tan 公式组三公式组三 公式组四公式组四 公式组五公式组五 2 tan1 2 tan2 sin 2 2 tan1 2 tan1 cos 2 2 2 tan1 2 tan2 tan 2 4 26 75cos15sin 4 26 15cos75sin 3275cot15tan 3215cot75tan 10 正弦 余弦 正切 余切函数的图象的性质 定义域 值域 图像 周期性 单调性 注意 与的单调性正好相反 与的单调性也同样xysin xysin xycos xycos 相反 一般地 若在上递增 减 则在上递减 增 xfy ba xfy ba 公公式式组组一一 sinx cscx 1tanx x x cos sin sin2x cos2x 1 cosx secxx x x sin cos 1 tan2x sec2x tanx cotx 1 1 cot2x csc2x 1 coscos 2 1 sinsin coscos 2 1 coscos sinsin 2 1 sincos sinsin 2 1 cossin 2 cos 2 sin2sinsin 2 sin 2 cos2sinsin 2 cos 2 cos2coscos 2 sin 2 sin2coscos sin cos1 cos1 sin cos1 cos1 2 tan sin 2 1 cos cos 2 1 sin cot 2 1 tan sin 2 1 cos cos 2 1 sin cot 2 1 tan O y x 与的周期是 xysin xycos 或 的周期 sin xy cos xy0 2 T 的周期为 2 如图 翻折无效 2 tan x y 2 TT 的对称轴方程是 对称中心 sin xy 2 kxZk 0 k 的对称轴方程是 对称中心 cos xy kx Zk 0 2 1 k 的对称中心 tan xy 0 2 k xxyxy2cos 2cos 2cos 原点对称 当 tan 1tan 2 Zkk tan 1tan 2 Zkk 与是同一函数 而是偶函数 则xycos kxy2 2 sin xy cos 2 1 sin xkxxy 函数在上为增函数 只能在某个单调区间单调递增 若在整个定义域 xytan R 为增函数 同样也是错误的 xytan 定义域关于原点对称是具有奇偶性的必要不充分条件 奇偶性的两个条件 一是 xf 定义域关于原点对称 奇偶都要 二是满足奇偶性条件 偶函数 奇函数 xfxf xfxf 奇偶性的单调性 奇同偶反 例如 是奇函数 是非奇非偶 定xytan 3 1 tan xy 义域不关于原点对称 奇函数特有性质 若的定义域 则一定有 的定义域 则无此x 0 xf 0 0 fx 0 性质 xysin 不是周期函数 为周期函数 xysin T 是周期函数 如图 为周期函数 xycos xycos T 的周期为 如图 并非所有周期函数都有最小正周期 例如 2 1 2cos xy Rkkxfxfy 5 有 a b babay cos sin sincos 22 yba 22 11 三角函数图象的作法 几何法 y x y cos x 图象 1 2 y x y cos2x 1 2 图象 描点法及其特例 五点作图法 正 余弦曲线 三点二线作图法 正 余切 曲线 利用图象变换作三角函数图象 三角函数的图象变换有振幅变换 周期变换和相位变换等 函数 y Asin x 的振幅 A 周期 频率 相位初相 2 T 1 2 f T x 即当 x 0 时的相位 当 A 0 0 时以上公式可去绝对值符号 由 y sinx 的图象上的点的横坐标保持不变 纵坐标伸长 当 A 1 或缩短 当 0 A 1 到原来的 A 倍 得到 y Asinx 的图象 叫做振幅变换振幅变换或叫沿 y 轴的伸缩变 换 用 y A 替换 y 由 y sinx 的图象上的点的纵坐标保持不变 横坐标伸长 0 1 或缩短 1 到原来的倍 得到 y sin x 的图象 叫做周期变换周期变换或叫做沿 x 轴的伸缩变 1 换 用 x 替换 x 由 y sinx 的图象上所有的点向左 当 0 或向右 当 0 平行移动 个单 位 得到 y sin x 的图象 叫做相位变换相位变换或叫做沿 x 轴方向的平移 用 x 替换 x 由 y sinx 的图象上所有的点向上 当 b 0 或向下 当 b 0 平行移动 b 个单 位 得到 y sinx b 的图象叫做沿 y 轴方向的平移 用 y b 替换 y 由 y sinx 的图象利用图象变换作函数 y Asin x A 0 0 x R 的 图象 要特别注意 当周期变换和相位变换的先后顺序不同时 原图象延 x 轴量伸缩量的 区别 4 4 反三角函数 反三角函数 函数 y sinx 的反函数叫做反正弦函数反正弦函数 记作 y arcsinx 它的定义域是 22 x 1 1 值域是 22 函数 y cosx x 0 的反应函数叫做反余弦函数反余弦函数 记作 y arccosx 它的定 义域是 1 1 值域是 0 函数 y tanx 的反函数叫做反正切函数反正切函数 记作 y arctanx 它的定义域是 22 x 值域是 22 函数 y ctgx x 0 的反函数叫做反余切函数反余切函数 记作 y arcctgx 它的定义 域是 值域是 0 二 三角恒等式二 三角恒等式 组一组一 组二组二 n k n n nk 1 2 sin2 sin 2 cos 8 cos 4 cos 2 cos 2 cos cos3cos43cos sin4sin33sin 3 3 22 22 coscos sinsinsinsin sin2 2sin 2cos 4cos2coscos 1 1 n n n n k d ndxdn ndxdxxkdx 0 sin cos 1sin cos cos cos cos n k d ndxdn ndxdxxkdx 0 sin sin 1sin sin sin sin sin tantantantantantan1 tantantantantantan tan 组三组三 三角函数不等式三角函数不等式 1 2 在上是减函数 3 若 xsinx 2 0 tan xx x x xf sin 0 CBA 则CxyBxzAyzzyxcos2cos2cos2 222 解三角函数题时常用的数学思想方法解三角函数题时常用的数学思想方法 一 一 函数与方程的思想函数与方程的思想 例例 1 1 已知 2cos3sin 求 cossin cossin 的值 例例 2 已知 x y 且 x3 sinx 2a 0 4y3 sinycosy a 0 求 4 4 cos x 2y 的值 例例 3 试求方程的实根的个数以及所有实根的和 80sin xx 二 数形结合的思想二 数形结合的思想 数形结合思想就是把抽象的数和直观的形双向联系与沟通 使抽象思想与形 象思维有机地结合起来化抽象为形象 以期达到化难为易的目的 三角函数中可 利用的图形有两类 即函数图象和三角函数线 单位圆 例例 4 若 记 对于函数 a bR max a ab a b b ab max sin cos f xxx 给出下列 4 个命题 xR 该函数的值域是 当且仅当时 该函数取得最大 1 1 2 2 xkkZ 值 1 该函数是以为最小正周期的周期函数 当且仅当 时 上述命题中正确的的命题是 3 22 2 kxkkZ 0f x 三 分类讨论的思想三 分类讨论的思想 分类讨论的思想就是整体问题分解为几个部分问题来解决 它是逻辑划分思 想在解数学题中的具体运用 它有三个重要的原则 即不越级 不重复 不遗 漏 例例 5 5 求函数 20 1sin2cos 2 Raxxaxxf 的最大值和最小值 例例 6 已知函数的定义域为 值域为 求 a 2 sin 2 3 f xaxb 0 2 5 1 和 b 的值 在三角运算中 有关三角函数所在象限符号的选取常需要进行讨论 三角 函数与二次函数综合问题以及三角函数最值等问题也要注意讨论 四 化归 转化 思想四 化归 转化 思想 化归思想在三角函数中应用非常普遍 主要体现在 化多角的形式为单 角的形式 化多种函数名称为一种函数名称 化未知角为已知角 化高 次为低次 化特殊为一般 转化时要特别注意问题的等价性 例例 7 设 为第四象限的角 若 则 tan2 5 13 sin 3sin 例例 8 已知 求 的取值范围 22 3sin2sinsin2 22 sinsin 评析 要注意转化的等价性 这里取不到最小值 sinu 1 五 换元的思想五 换元的思想 换元的思想就是对较复杂问题有时恰当地对变量作替换 可以达到化繁为简 化 未知为已知的目的 例例 9 9 求函数xx xx xf cossin1 cossin 的值域 例例 1010 求函数 y 的最值 思考与分析 本题属较复杂的函数求最值问题 用我们以前学习的知识很难解决 但注 意到