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文档简介

3 3函数极限存在的条件 本节介绍函数极限存在的两个充要条件 仍以极限 为例 一Heine归并原则 函数极限与数列极限的关系 二单调有界定理 三Cauchy准则 1 子列收敛性 函数极限与数列极限的关系 定义 定理 一Heine归结原则 函数极限与数列极限的关系 证 例如 2函数极限与数列极限的关系 函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极限都存在 且相等 Heine定理 又称归并原则 一Heine归结原则 函数极限与数列极限的关系 Th3 8设函数 在点 的某空心邻域 内有定义 则极限 存在 对任何 且 都存在且相等 注 是数列 是数列的极限 所以 的极限归结为数列 的极限问题来讨论 所以称之为 归结原则 由此 这个定理把函数 可由数列极限的性质来推断函数极限性质 注 从Heine定理可以得到一个说明 不存在的方法 即 若可找到一个数列 使得 不存在 或 找到两个都以 为极限的数列 使 都存在但不相等 则 不存在 例1 证 二者不相等 注 对于 这四种类型的单侧极限 相应的归结原则可表示为更强的形式 如当 时有 定理3 9设函数 在 的某空心邻域 内有定义 对任何以 为极限的递减数列 有 二 单调有界定理 相应于数列极限的单调有界定理 关于上述四类单侧极限也有相应的定理 现以 这种类型为例叙述如下 Th3 10 设 为定义在 上的单调 存在 有界函数 则右极限 注 Th 10可更具体地叙述如下 为定义在 上的函数 若 在 上递增 减 有下 上 界 则 存在 且 下面给出关于左极限的相应定理的表述和证明 定理设 在 上定义 且 单调上升 则 存在且等于 无上界 规定 无下界 规定 注 极限存在性 证令A 当集合 有上界时 当它无上界时 1 由上确界定义 使得 取 则当 时 由函数单调上升得 再由上确界定义 或 即 2 因集合无上界 对 使得 取 则当 时 有 即 类似地我们有 在 定义 且 单调下降 则 关于右极限的相应结果 同学们自行给出定理的表述和证明 三Cauchy准则 Th3 11 Cauchy准则 设函数 在点 的某空心邻域 内有定义 则 存在 证 利用Heine归并原则 利用极限的定义 注 按照Cauchy准则 可以写出 不存在的充要条件 存在 对任意 存在 使得 例 用Cauchy准则说明 综上所述 Heine定理和Cauchy准则是说明极限不存在的很方便的
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