初二有关三角形证明的中考题

第一章第一章 三角形的证明测试卷三角形的证明测试卷 源于中考的试题 源于中考的试题 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一 选择题 共一 选择题 共 9 小题 小题 1 2013 郴州 如图 在 Rt ACB 中 ACB 90 A 25 D 是 AB 上一点 将 Rt ABC 沿 CD 折叠 使 B 点落在 AC 边上的 B 处 则 ADB 等于 A 25 B 30 C 35 D 40 解答 解 在 Rt ACB 中 ACB 90 A 25 B 90 25 65 CDB 由 CDB 反折而成 CB D B 65 CB D 是 AB D 的外角 ADB CB D A 65 25 40 故选 D 2 2012 潍坊 轮船从 B 处以每小时 50 海里的速度沿南偏东 30 方向匀速航行 在 B 处观测灯塔 A 位于 南偏东 75 方向上 轮船航行半小时到达 C 处 在 C 处观测灯塔 A 位于北偏东 60 方向上 则 C 处与灯塔 A 的距离是 海里 A 25B 25C 50D 25 解答 解 根据题意 1 2 30 ACD 60 ACB 30 60 90 CBA 75 30 45 ABC 为等腰直角三角形 BC 50 0 5 25 AC BC 25 海里 故选 D 3 2011 贵阳 如图 ABC 中 C 90 AC 3 B 30 点 P 是 BC 边上的动点 则 AP 长不可能是 A 3 5B 4 2C 5 8D 7 解答 解 根据垂线段最短 可知 AP 的长不可小于 3 ABC 中 C 90 AC 3 B 30 AB 6 AP 的长不能大于 6 故选 D 4 2012 铜仁地区 如图 在 ABC 中 ABC 和 ACB 的平分线交于点 E 过点 E 作 MN BC 交 AB 于 M 交 AC 于 N 若 BM CN 9 则线段 MN 的长为 A 6B 7C 8D 9 考点 等腰三角形的判定与性质 平行线的性质 1518028 分析 由 ABC ACB 的平分线相交于点 E MBE EBC ECN ECB 利用两直线平行 内错角 相等 利用等量代换可 MBE MEB NEC ECN 然后即可求得结论 解答 解 ABC ACB 的平分线相交于点 E MBE EBC ECN ECB MN BC EBC MEB NEC ECB MBE MEB NEC ECN BM ME EN CN MN ME EN 即 MN BM CN BM CN 9 MN 9 故选 D 5 2011 恩施州 如图 AD 是 ABC 的角平分线 DF AB 垂足为 F DE DG ADG 和 AED 的面 积分别为 50 和 39 则 EDF 的面积为 A 11B 5 5C 7D 3 5 考点 角平分线的性质 全等三角形的判定与性质 1518028 专题 计算题 压轴题 分析 作 DM DE 交 AC 于 M 作 DN AC 利用角平分线的性质得到 DN DF 将三角形 EDF 的面积转 化为三角形 DNM 的面积来求 解答 解 作 DM DE 交 AC 于 M 作 DN AC DE DG DM DE DM DG AD 是 ABC 的角平分线 DF AB DF DN 在 Rt DEF 和 Rt DMN 中 Rt DEF Rt DMN HL ADG 和 AED 的面积分别为 50 和 39 S MDG S ADG S ADM 50 39 11 S DNM S DEF S MDG 5 5 故选 B 点评 本题考查了角平分线的性质及全等三角形的判定及性质 解题的关键是正确地作出辅助线 将所求 的三角形的面积转化为另外的三角形的面积来求 6 2012 广州 在 Rt ABC 中 C 90 AC 9 BC 12 则点 C 到 AB 的距离是 A B C D 解答 解 根据题意画出相应的图形 如图所示 在 Rt ABC 中 AC 9 BC 12 根据勾股定理得 AB 15 过 C 作 CD AB 交 AB 于点 D 又 S ABC AC BC AB CD CD 则点 C 到 AB 的距离是 故选 A 7 2007 芜湖 如图 在 ABC 中 AD BC CE AB 垂足分别为 D E AD CE 交于点 H 已知 EH EB 3 AE 4 则 CH 的长是 A 1B 2C 3D 4 解答 解 在 ABC 中 AD BC CE AB AEH ADB 90 EAH AHE 90 DHC BCH 90 EHA DHC 对顶角相等 EAH DCH 等量代换 在 BCE 和 HAE 中 AEH CEB AAS AE CE EH EB 3 AE 4 CH CE EH AE EH 4 3 1 故选 A 8 2011 泰安 如图 点 O 是矩形 ABCD 的中心 E 是 AB 上的点 沿 CE 折叠后 点 B 恰好与点 O 重 合 若 BC 3 则折痕 CE 的长为 A B C D 6 解答 解 CEO 是 CEB 翻折而成 BC OC BE OE B COE 90 EO AC O 是矩形 ABCD 的中心 OE 是 AC 的垂直平分线 AC 2BC 2 3 6 AE CE 在 Rt ABC 中 AC2 AB2 BC2 即 62 AB2 32 解得 AB 3 在 Rt AOE 中 设 OE x 则 AE 3 x AE2 AO2 OE2 即 3 x 2 32 x2 解得 x AE EC 3 2 故选 A 9 2012 深圳 如图 已知 MON 30 点 A1 A2 A3 在射线 ON 上 点 B1 B2 B3 在射线 OM 上 A1B1A2 A2B2A3 A3B3A4 均为等边三角形 若 OA1 1 则 A6B6A7的边长为 A 6B 12C 32D 64 解答 解 A1B1A2是等边三角形 A1B1 A2B1 3 4 12 60 2 120 MON 30 1 180 120 30 30 又 3 60 5 180 60 30 90 MON 1 30 OA1 A1B1 1 A2B1 1 A2B2A3 A3B3A4是等边三角形 11 10 60 13 60 4 12 60 A1B1 A2B2 A3B3 B1A2 B2A3 1 6 7 30 5 8 90 A2B2 2B1A2 B3A3 2B2A3 A3B3 4B1A2 4 A4B4 8B1A2 8 A5B5 16B1A2 16 以此类推 A6B6 32B1A2 32 故选 C 二 填空题 共二 填空题 共 8 小题 小题 10 2011 怀化 如图 在 ABC 中 AB AC BAC 的角平分线交 BC 边于点 D AB 5 BC 6 则 AD 4 考点 勾股定理 等腰三角形的性质 1518028 分析 首先根据等腰三角形的性质 等腰三角形的三线合一 求出 DB DC CB AD BC 再利用勾股 定理求出 AD 的长 解答 解 AB AC AD 是 BAC 的角平分线 DB DC CB 3 AD BC 在 Rt ABD 中 AD2 BD2 AB2 AD 4 故答案为 4 点评 此题主要考查了等腰三角形的性质与勾股定理的应用 做题的关键是根据等腰三角形的性质证出 ADB 是直角三角形 11 2011 衡阳 如图所示 在 ABC 中 B 90 AB 3 AC 5 将 ABC 折叠 使点 C 与点 A 重合 折痕为 DE 则 ABE 的周长为 7 考点 翻折变换 折叠问题 勾股定理 1518028 专题 压轴题 探究型 分析 先根据勾股定理求出 BC 的长 再根据图形翻折变换的性质得出 AE CE 进而求出 ABE 的周 长 解答 解 在 ABC 中 B 90 AB 3 AC 5 BC 4 ADE 是 CDE 翻折而成 AE CE AE BE BC 4 ABE 的周长 AB BC 3 4 7 故答案为 7 点评 本题考查的是图形翻折变换的性质 即折叠是一种对称变换 它属于轴对称 折叠前后图形的形状 和大小不变 位置变化 对应边和对应角相等 12 2010 滨州 如图 等边 ABC 的边长为 6 AD 是 BC 边上的中线 M 是 AD 上的动点 E 是 AC 边 上一点 若 AE 2 EM CM 的最小值为 考点 轴对称 最短路线问题 勾股定理 1518028 专题 压轴题 动点型 分析 要求 EM CM 的最小值 需考虑通过作辅助线转化 EM CM 的值 从而找出其最小值求解 解答 解 连接 BE 与 AD 交于点 M 则 BE 就是 EM CM 的最小值 取 CE 中点 F 连接 DF 等边 ABC 的边长为 6 AE 2 CE AC AE 6 2 4 CF EF AE 2 又 AD 是 BC 边上的中线 DF 是 BCE 的中位线 BE 2DF BE DF 又 E 为 AF 的中点 M 为 AD 的中点 ME 是 ADF 的中位线 DF 2ME BE 2DF 4ME BM BE ME 4ME ME 3ME BE BM 在直角 BDM 中 BD BC 3 DM AD BM BE EM CM BE EM CM 的最小值为 点评 考查等边三角形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用 13 2013 泰安 如图 在 Rt ABC 中 ACB 90 AB 的垂直平分线 DE 交 AC 于 E 交 BC 的延长线 于 F 若 F 30 DE 1 则 BE 的长是 2 考点 含 30 度角的直角三角形 线段垂直平分线的性质 1518028 专题 压轴题 分析 根据同角的余角相等 等腰 ABE 的性质推知 DBE 30 则在直角 DBE 中由 30 度角所对的直角 边是斜边的一半 即可求得线段 BE 的长度 解答 解 ACB 90 FD AB ACB FDB 90 F 30 A F 30 同角的余角相等 又 AB 的垂直平分线 DE 交 AC 于 E EBA A 30 直角 DBE 中 BE 2DE 2 故答案是 2 点评 本题考查了线段垂直平分线的性质 含 30 度角的直角三角形 解题的难点是推知 EBA 30 14 2013 黔西南州 如图 已知 ABC 是等边三角形 点 B C D E 在同一直线上 且 CG CD DF DE 则 E 15 度 考点 等边三角形的性质 三角形的外角性质 等腰三角形的性质 1518028 专题 压轴题 分析 根据等边三角形三个角相等 可知 ACB 60 根据等腰三角形底角相等即可得出 E 的度数 解答 解 ABC 是等边三角形 ACB 60 ACD 120 CG CD CDG 30 FDE 150 DF DE E 15 故答案为 15 点评 本题考查了等边三角形的性质 互补两角和为 180 以及等腰三角形的性质 难度适中 15 2005 绵阳 如图 在 ABC 中 BC 5cm BP CP 分别是 ABC 和 ACB 的角平分线 且 PD AB PE AC 则 PDE 的周长是 5 cm 考点 等腰三角形的判定与性质 平行线的性质 1518028 专题 压轴题 分析 分别利用角平分线的性质和平行线的判定 求得 DBP 和 ECP 为等腰三角形 由等腰三角形的性 质得 BD PD CE PE 那么 PDE 的周长就转化为 BC 边的长 即为 5cm 解答 解 BP CP 分别是 ABC 和 ACB 的角平分线 ABP PBD ACP PCE PD AB PE AC ABP BPD ACP CPE PBD BPD PCE CPE BD PD CE PE PDE 的周长 PD DE PE BD DE EC BC 5cm 答 PDE 的周长是 5cm 点评 此题主要考查了平行线的判定 角平分线的性质及等腰三角形的性质等知识点 本题的关键是将 PDE 的周长就转化为 BC 边的长 17 2005 十堰 如图中的螺旋由一系列直角三角形组成 则第 n 个三角形的面积为 考点 勾股定理 1518028 专题 规律型 分析 根据勾股定理 逐一进行计算 从中寻求规律 进行解答 解答 解 根据勾股定理 第一个三角形中 OA12 1 1 S1 1 1 2 第二个三角形中 OA22 OA12 1 1 1 1 S2 OA1 1 2 1 2 第三个三角形中 OA32 OA22 1 1 1 1 1 S3 OA2 1 2 1 2 第 n 个三角形中 Sn 1 2 点评 本题主要考查了勾股定理的应用 要注意图中三角形的面积的变化规律 三 解答题 共三 解答题 共 5 小题 小题 18 2013 温州 如图 在 ABC 中 C 90 AD 平分 CAB 交 CB 于点 D 过点 D 作 DE AB 于点 E 1 求证 ACD AED 2 若 B 30 CD 1 求 BD 的长 考点 全等三角形的判定与性质 角平分线的性质 含 30 度角的直角三角形 1518028 分析 1 根据角平分线性质求出 CD DE 根据 HL 定理求出另三角形全等即可 2 求出 DEB 90 DE 1 根据含 30 度角的直角三角形性质求出即可 解答 1 证明 AD 平分 CAB DE AB C 90 CD ED DEA C 90 在 Rt ACD 和 Rt AED 中 Rt ACD Rt AED HL 2 解 DC DE 1 DE AB DEB 90 B 30 BD 2DE 2 点评 本题考查了全等三角形的判定 角平分线性质 含 30 度角的直角三角形性质的应用 注意 角平 分线上的点到角两边的距离相等 19 2013 沈阳 如图 ABC 中 AB BC BE AC 于点 E AD BC 于点 D BAD 45 AD 与 BE 交于点 F 连接 CF 1 求证 BF 2AE 2 若 CD 求 AD 的长 考点 全等三角形的判定与性质 勾股定理 1518028 专题 证明题 压轴题 分析 1 先判定出 ABD 是等腰直角三角形 根据等腰直角三角形的性质可得 AD BD 再根据同角 的余角相等求出 CAD CBE 然后利用 角边角 证明 ADC 和 BDF 全等 根据全等三角形对应 边相等可得 BF AC 再根据等腰三角形三线合一的性质可得 AC 2AF 从而得证 2 根据全等三角形对应边相等可得 DF CD 然后利用勾股定理列式求出 CF 再根据线段垂直 平分线