环状涂色问题经验很好的总结

环状涂色问题的优化教学 克山一中 授课教师 陆玉平 中国行政地图 中国行政地图 给山东 河南 安徽 江苏四个地区涂色 相邻区域涂不同颜色 现有四种不同颜色可供使用 共有 种不同涂法 问题 84 圆被分成了2 3 4 5 6个扇形区域的图形 如下 图B 图C 图D 图E 图A 按要求显然有4 3 12种涂色方案 图C 用间接法求解 假设4区域涂法依次为4 3 3 3种 则需减去首尾两区域涂相同颜色的情形 相当于图A的情形 故有种涂色方案 以上图形各区域可选四种不同颜色涂色 要求相邻涂不同颜色 1 观察分析 图B 显然有4 3 2 4 32 12 24种涂色方案 对图D 类似于图C的解法 假设5个区域涂法依次为4 3 3 3 3种 则需减去首尾两区域涂相同颜色的情形 相当于图C的情形 对图E 类似于图D的解法 假设6区域涂法依次为4 3 3 3 3 3种 则需减去首尾两区域涂相同颜色的情形 相当于图D的情形 如果n个区域有四种颜色可供选用 那么有多少种不同的涂法 2 猜想递推公式 a2 4 3 3 1 3 a3 a4 a5 a6 3 猜想归纳通项an 如果n个不同区域有m种颜色可供选用 那么有多少种不同的涂法 记为 P 故得递推公式为 n 2 m 4 通项 在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物 如图 要求同一区域中种同一种植物 相邻的两块种不同的植物 现有5种不同的植物可供选择 则栽种方案有 种 4100 结论应用 1 解 因为n 6 m 5由公式得 4100 应用2 2008年全国 如图 一环形花坛分成A B C D四块 现有4种不同的花供选种 要在每块花坛里种一种花 且相邻的两块种不同的花 则不同的种法总数为 A 96B 84C 60D 48 B 如图 一个地区分为5个行政区域 现给地图着色 要求相邻区域不得使用同一种颜色 现有四种颜色可供选择 则不同的着色方法有 种 变式应用 1 72 2003年高考题 所以涂色总数 2 2003年全国高考 新课程卷 理工第15题 某城市在中心广场建造一个花圃 花圃分为6个部分 如图 现要栽种4种不同颜色的花 每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花 不同的栽种方法有 种 以数字作答 120 引申练习 1 2005年潍坊模拟 将一个四棱锥的每一个顶点染一种颜色 并使一条棱的两个端点异色 如果有5种不同的颜色可选用 问有多少种不同的染色方法 种 420 练习2 将5种颜色染n棱锥的顶点 每个顶点染上一种颜色 并使同一条棱的两端点异色 如果过有五种颜色可供使用 那么不同的染色方法总数是 an 5 3n 1 n 3 3 将m m 4 种颜色染n n 3 棱锥的每个顶点染上一种颜色 并使同一条棱的两端点异色 如果只有n种颜色可供使用 那么不同的染色方法总数是an m m 2 n 1 n m 2 4 将一个四棱锥的每一个面染一种颜色 并使相邻两面涂异色 如果有5种不同的颜色可选用 问有 种不同的染色方法 420 知识总结 n 2 m 3 1 环状涂色问题涂法总数公式 其中n为不同区域数 m为不同颜色数 n 3 m 4 2 用m不同颜色涂n棱锥的顶点涂法总数公式 课后作业 2003年全国高考题 如图 一个地区分为5个行政区域 现给地图着色 要求相邻区域不得使用同一种颜色 现有6种颜色可供选择 则不同的着色方法有 种 1560 作业 2003年全国高考 新课程卷 理工第15题 某城市在中心广场建造一个