高中数学函数完美归纳讲解

第一章 函 数概念导入1、集合（子集，真子集、空集、补集、全集等表示和关系）2、映射（定义，一一映射）3、增函数、减函数4、轴对称5、单调性定 义 设x和y是两个变量，D是实数集的某个子集，若对于D中的每个值x，变量y按照一定的法则有一个确定的值y与之对应，称变量y为变量x的函数，记作 y=f(x).自变量x、因变量y映射角度函数定义：定义在非空数集之间的映射称为函数要 点1、对应法则和定义域是函数的两个要素2、函数是一种关系3、函数两组元素一一对应的规则（这种关系使一个集合里的每一个元素对应到另一个集合里的唯一元素；第一组中的每个元素在第二组中只有唯一的对应量）1、复合函数：y是u的函数，y（u），u是x的函数，uf（x），y通过中间变量u构成了x的xuy，注意定义域。 ylgsinx2、反函数：xy, yx,性质： 1、一一映射 2、单调函数分 类：一次函数y=kx+b二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a0) 反比例函数y=k/x (k为常数且k0)指数函数y=ax(a0,a1)对数函数ylogax（a0）幂函数y=xa三角函数(正弦，余弦，正切，余切，正割，余割) 常用方法：待定系数法平移变换法数形结合法注：注意自定义（抽象）函数等学习应用，培养逻辑思维。第一节 函数的一般化应用解析1-1-1函数的值域方法：1、巧用定理，整体变换。（1）函数的 最小值；（2）已知：，、,求范围.2、借题发挥，分式转化双曲线。型求值域和画图的一般化应用。（1）作函数的图象（2）求函数的值域1-1-2函数的奇偶性要 点判断函数的奇偶性前提是：函数的定义域必须关于原点对称。（1）若（2）奇函数（3）任一个定义域关于原点对称的函数一定可以表示成一个奇函数和一个偶函数之和 即 例 题：（1）定义在上的函数可以表示成奇函数g(x)与偶函数h(x)之和，若，那么（ ）A、B、C、D、1-1-3函数的单调性常见于证明类问题，单调性证明一定要用定义。定 义区间D上任意两个值，若时有，称为D上增函数，若时有，称为D上减函数。性 质奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同；偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反。证明办法：作差法：若x10 单调递减若x1x2,f(x1)-f(x2)0 单调递增作商法：若x10单调递减若x10单调递增讨 论 复合函数的增减问题 (x)为增函数，f(x)为增函数，y为增函数 (x)为增函数，f(x)为减函数，y为减函数 (x)为减函数，f(x)为增函数，y为减函数 (x)为减函数，f(x)为减函数，y为增函数（1） 设为奇函数，且在区间a,b (0a0时，开口方向向上，a0时，开口方向向下。IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大2、图像为抛物线，是轴对称图形，对称轴为直线x = -b/2a3、2.抛物线有一个顶点P，坐标为P ( -b/2a ，(4ac-b2)/4a )4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。当a与b同号时（即ab0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab0），对称轴在y轴右。5.常数项c决定抛物线与y轴交点。抛物线与y轴交于（0，c）6.抛物线与x轴交点个数= b2-4ac0时，抛物线与x轴有2个交点。= b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。 = b2-4ac0时，函数在x= -b/2a处取得最小值f(-b/2a)=4ac-b2/4，在x|x-b/2a上是增函数；抛物线的开口向上；函数的值域是x|x4ac-b2/4a。相反亦然。例题应用解析：1如图13-28所示，二次函数y=x2-4x+3的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点C，则ABC的面积为() A、6B、4C、3D、1 2心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x(单位：分)之间满足函数关系：y=-0.1x2+2.6x+43(0x30)。y值越大，表示接受能力越强。 (1)x在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？x在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？ (2)第10分时，学生的接受能力是什么？ (3)第几分时，学生的接受能力最强？ 3某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克针对这种水产品的销售情况，请解答以下问题： (1)当销售单价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润； (2)设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x的函数关系式(不必写出x的取值范围)； (3)商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？ 4某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销量（件）与每件的销售价（元）满足一次函数：（1）写出商场卖这种商品每天的销售利润与每件的销售价间的函数关系式.（2）如果商场要想每天获得最大的销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？5如图，一边靠学校院墙，其它三边用40米长的篱笆围成一个矩形花圃，设矩形的边米，面积为平方米.（1）求：与之间的函数关系式，并求当米时，的值；（2）设矩形的边米，如果满足关系式即矩形成黄金矩形，求此黄金矩形的长和宽.第三节 三角函数知识点回顾角角的静态定义：具有公共点的两条射线组成的图形叫做角。这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的两条边。角的大小与边的长短没有关系；角的大小决定于角的两条边张开的程度，角可以分为锐角、直角、钝角、平角、周角这五种。锐角：小于90的角叫做锐角直角：等于90的角叫做直角钝角：大于90而小于180的角叫做钝角平角：等于180的角叫做平角周角：等于360的角叫做周角 角的动态定义：一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形叫做角。所旋转射线的端点叫做角的顶点，开始位置的射线叫做角的始边，终止位置的射线叫做角的终边。角的范围可扩大到实数R。A=a+2k(kZ)角的度量弧度与角度在数学中，弧度和角度是角的量度单位。定义：弧长等于圆半径的弧所对的圆心角为1弧度。弧长公式： 弧度和角度变化公式（r=1）。1-3-1 三角函数的初等基本表示正弦 余弦 正切 余切 正割 余割在平面直角坐标系xOy中，从点O引出一条射线OP，设旋转角为，设OP=r，P点的坐标为（x，y）有正弦函数 sin=y/r余弦函数 cos=x/r正切函数 tan=y/x余切函数 cot=x/y正割函数 sec=r/x余割函数 csc=r/y（斜边为r，对边为y，邻边为x。）1-3-2 三角函数的数值符号及特殊值函数名称第一象限第二象限第三象限第四象限正 弦+-余 弦+-+正 切+-+-余 切+-+-正 割+-1+余 割+-函数名称030456090正 弦01余 弦10正 切01-余 切-1正 割12-余 割-21特殊角的三角函数值例 题1. sin(-)的值是( )A. B. - C. D. -2. 若sin cos0,则在( )A. 第一,二象限 B. 第一, 三象限 C. 第一, 四象限 D. 第二, 四象限5设tan=,tan=,、均为锐角，则+2的值是 ( )A. B. C. D. 2当x(kZ)时，的值是 ( )A.恒正 B.恒负 C.非负 D.无法确定6如果角满足条件sin0,cos0,则是 ( ) A.第二象限角 B.第二或第四象限角C.第四象限角 D.第一或第三角限角7若cot=3,则cos2-sin2的值是 ( )A.- B.- C. D.1-3-2 三角函数公式1.诱导公式 sin(-a)=-sin(a) sin(/2-a)=cos(a)cos(-a)=cos(a) cos(/2-a)=sin(a)sin(/2+a)=cos(a) sin(-a)=sin(a) cos(/2+a)=-sin(a) cos(-a)=-cos(a)sin(+a)=-sin(a) cos(+a)=-cos(a)2.两角和与差的三角函数 sin(a+b)=sin(a)cos(b)+cos()sin(b) sin(a-b)=sin(a)cos(b)-cos(a)sin(b) cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)cos(a-b)=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b) tan(a+b)=(tana+tanb)/(1-tanatanb)tan(a-b)=(tana-tanb)/（1+tanatanb）3.和差化积公式 sinA+sinB=2sin(A+B)/2cos(A-B)/2cosA+cosB=2cos(A+B)/2cos(A-B)/2 tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosBtanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB 4.积化和差公式2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B)2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B) 2cosAcosB=cos(A+B)+cos(A-B)2sinAsinB=-cos(A+B)cos(A-B)5.二倍角公式 sin(2a)=2sin(a)cos(a) cos(2a)=cos2 (a)-sin2(a)=2cos2(a)-1=1-2sin2(a) 6.半角公式 7.万能公式 8.辅助角公式9.降幂公式10.推导公式tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0例 题1、sin15sin30sin75的值等于( ) A. B. C. D. 2、 已知0, ,则3sin+3cos的取值范围( )A. -3,3 B. 0,6C. 3,6 D. 0,3 3、tan300+cot405的值为( ) A.1+ B. 1- C.-1- D.-1+4.设a=sin14+cos14,b=sin16+cos16,c=.则a,b,c的大小关系是( ) A. abc B. acb C. bca D. bac5.的值为( )A. B. - C. D. -6.设f(sin+cos)=sincos ,则f(cos)的值为( ) A. B. C. - D.- 7.sin7cos37-sin83cos53=_.8.tan20+tan40+tan20tan40=_.9.sin(-)= ,cos2=_.10.已知tan=3, =_.11、化简:(1) sin50（1+tan10） (2) 12、已知sin=,(,) ,cos=-,(,)求sin(-), cos(+), tan(+).13、已知 ,cos(-)= ,sin(+)= -.求sin21-3-3 正弦函数定义对于任意一个实数x都有唯一确定的值sinx与它对应，按照这个对应法则所建立的函数，表示为y=sinx，叫做正弦函数。 正弦型函数解析式：y=Asin(x+)+b图像xyO1-1O1BA(O1)(B)y=sin x, x0,2定义域与值域XR, y -1，1 最值和零点最大值：当x=2k+(/2) ，kZ时，ymax=1最小值：当x=2k+(3/2)，kZ时，ymin=-1 零值点： (k,0) ，kZ 对称性：1)对称轴：关于直线x=(/2)+k，kZ对称 2)中心对称：关于点(k,0)，kZ对称 周期性最小正周期：2 奇偶性：奇函数 单调性：在-(/2)+2k,(/2)+2k，kZ上是增函数在(/2)+2k,(3/2)+2k，kZ上是减函数 正弦型函数及其性质根据正弦型函数解析式：y=Asin(x+)+b：决定波形与X轴位置关系或横向移动距离（左加右减）：决定周期（最小正周期T=2/）A：决定峰值（即纵向拉伸压缩的倍数）b：表示波形在Y轴的位置关系或纵向移动距离（上加下减）正弦函数的作图“五点作图法”即取当X分别取0，/2，3/2，2时y的值。例 题1、函数y=2sinxcosx的最小正周期是( )A. 2 B. C. D. 2、函数f(x)=cos4x-sin4x是( ) A. 奇函数 B. 偶函数 C.非奇非偶函数 D. 既是奇函数又是偶函数3.函数y=cos(3x+)的图象是由y=cos3x的图象怎样平移而来的( )A.向左平移个单位 B.向右平移个单位 C.向左平移个单位 D.向右平移个单位 4.下列各区间中,函数y=sin(x+)的单调增区间是( )A. , B. 0, C. , D. -,05.(12分)用五点作图法作出函数y=sin-cos的图象,并指出这个函数的振幅,周期,频率,相位及最值。6. 右图为 的图象的一段，求其解析式。7 设函数图像的一条对称轴是直线。（）求；（）求函数的单调增区间；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（）画出函数在区间上的图像。8. 设函数的图象经过两点（0，1），（），且在，求实数a的的取值范围.9. 若函数的最大值为，试确定常数a的值.1-3-4 正弦定理与余弦定理1-3-4-1正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。即（2R在同一个三角形中是恒量，是此三角形外接圆的半径的两倍）1-3-4-1-1 正弦定理的推广与应用一、三角形面积公式：1.典型公式2.海伦公式 假设有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的面积S可由以下公式求得： 而公式里的p为半周长二. 正弦定理的变形公式(1) a=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC;(2) sinA : sinB : sinC = a : b : c;(3)相关结论:1-3-4-1余弦定理对于任意三角形 三边为a,b,c 三角为A,B,C 满足性质 1-3-5 三角函数题型演练1. 试判断方程sinx=实数解的个数.2. 已知函数（）将f(x)写成的形式，并求其图象对称中心的横坐标及对称轴方程（）如果ABC的三边a、b、c满足b2=ac，且边b所对的角为x，试求x的范围及此时函数f(x)的值域. 3. 已知ABC三内角A、B、C所对的边a，b，c，且 （1）求B的大小； （2）若ABC的面积为，求b取最小值时的三角形形状.4. 求函数y=的值域.5. 求函数y=的单调区间.6. 已知化简f(x);若，且，求f(x)的值；7. 已知ABC的三个内角A、B、C成等差数列，且AB0,a1)性质：（2） 指数函数的值域为大于0的实数集合。（3） 函数图形都是下凹的。（4） a大于1，则指数函数单调递增；a小于1大于0，则为单调递减的。（5） 函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴,永不相交。（6） 函数总是通过（0，1）点（8） 显然指数函数无界。 （9） 指数函数既不是奇函数也不是偶函数。（10）当两个指数函数中的a互为倒数时，两个函数关于y轴对称，但这两个函数都不具有奇偶性。1-4-1-3指数函数的应用比较大小以y轴为分界线分情况讨论1、同幂不同底2、同底不同幂方 法1、比（差）商法2、函数单调性应用法3、中值