一元二次方程根的分(李晓红）.doc

一元二次方程根的分布一一元二次方程根的基本分布零分布设一元二次方程（）的两个实根为，且。（1），(两个正根)，（2），（两个负根）(3)（一正一负）【例1】 若一元二次方程有两个正根，求的取值范围。分析：依题意有03）【例3】 在何范围内取值，一元二次方程有一个正根和一个负根？分析：依题意有03【例4】 若一元二次方程有一根为零，则另一根是正根还是负根？分析：由已知3=0，=3，代入原方程得3+5=0，另一根为负。二一元二次方程的非零分布分布设一元二次方程（）的两实根为，且。为常数。则一元二次方程根的分布（即，相对于的位置）有以下若干定理。(1)（两根都大于k）(2)。(3)。三一元二次方程根在区间上的情况：。(1) 有且仅有一根在（k1,k2）内包含以下情况：k1k2k1k2k1k2k1k2前三种情况可具体求出根来进行检验。（2）即：一根在（k1,k2）内，一根在（p1,p2）内或（3）定理：或推论：方程的两个实根都属于区间的充要条件是： （4）定理：两根分别在区间外，即在区间两侧，（图形分别如下）需满足的条件是 （1）时，； （2）时，推论：二次方程的两个实根分别在区间的两侧（一根小于，另一根大于）的充要条件是： 这里三、例题与练习【例5】 已知方程的两实根都大于1，求的取值范围。（）（2）若一元二次方程的两个实根都大于-1，求的取值范围。 （）（3）若一元二次方程的两实根都小于2，求的取值范围。 （）【例6】 已知方程有一根大于2，另一根比2小，求的取值范围。 （）（2）已知方程有一实根在0和1之间，求的取值范围。 （）（3）已知方程的较大实根在0和1之间，求实数的取值范围。 变式：改为较小实根 （不可能；）（4）若方程的两实根均在区间（、1）内，求的取值范围。 （）（5）若方程的两根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，求的取值范围。 （）（6）已知关于的方程的两根为且满足，求的取值范围。 （或）【例7】 已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.(1)若方程有两根，其中一根在区间(1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m的范围.(2)若方程两根均在区间(0，1)内，求m的范围.本题重点考查方程的根的分布问题，解答本题的闪光点是熟知方程的根对于二次函数性质所具有的意义.技巧与方法：设出二次方程对应的函数，可画出相应的示意图，然后用函数性质加以限制.解：(1)条件说明抛物线f(x)=x2+2mx+2m+1与x轴的交点分别在区间(1，0)和(1，2)内，画出示意图，得.(2)据抛物线与x轴交点落在区间(0，1)内，列不等式组(这里0m1是因为对称轴x=m应在区间(0，1)内通过)练习：1 若方程有两个不相同的实根，求的取值范围。提示：令=转化为关于的一元二次方程有两个不同的正实根。答案：012 若关于的方程有唯一的实根，求实数的取值范围。提示：原方程等价于即令=+12+6+3(1) 若抛物线=与轴相切，有=1444(6+3)=0即=。O206将=代入式有=6不满足式，。(2) 若抛物线=与轴相交，注意到其对称轴为=6，故交点的横坐标有且仅有一个满足式的充要条件是解得。当时原方程有唯一解。另法：原方程等价于+20=863(0)O2061633问题转化为：求实数的取值范围，使直线=863与抛物线=+20(0)有且只有一个公共点。虽然两个函数图像都明确，但在什么条件下它们有且只有一个公共点却不明显，可将变形为+12+3=6(0)，再在同一坐标系中分别也作出抛物线=+12+3和直线=6，如图，显然当36163即时直线=6与抛物线有且只有一个公共点。3 已知=()()2()，并且，是方程=0的两根()，则实数，