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牛顿法与修正牛顿法 1 思想来源 梯度法相邻两次搜索方向总是相互正交 搜索路线呈锯齿形 使得其在极小点附近 收敛速度越来越慢 人们试图找到这样一种方向 它直接指向最优点 使得从任意选定的初始点出发 沿此方向迭代一次就能达到极小点 2 基本思想在求目标函数的极小值时 先将它在点附近展开成泰勒级数的二次函数式 然后求出函数的极小值点 并以此点作为欲求目标函数的极小值点的一次近似值 设目标函数是连续二阶可微的 将函数在点按泰勒级数展开 并取到二次项 对x求导 其极值点必满足一阶导数为零 所以 得到式中 为Hessian矩阵的逆矩阵 在一般情况下 不一定是二次函数 因而也不可能是的极值点 但是在点附近 函数和是近似的 所以可以用点作为下一次迭代 即得如果目标函数是正定二次函数 那么是个常矩阵 逼近式 1 是准确的 因此由点出发只要迭代一次既可以求的极小点 式与一维搜索公式比较 则有搜索方向 步长因子 牛顿法的迭代算式 其中称为牛顿方向 3 迭代步骤一给定初始点 计算精度 令k 0 二计算点的梯度 及其逆矩阵 三构造搜索方向 四沿方向进行一维搜索 得迭代点五收敛判断 若 则为近似最优点 迭代停止 输出最优解和终止计算 若不满足 令k k 1 转第二步继续迭代 例 用牛顿法求函数的极小值 解 1 取初始点 2 计算牛顿方向 故 3 极小值 4 优缺点数学分析表明 牛顿法具有很好的局部收敛性质 对二次函数来说 仅一步就达到优化点 但对一般函数来说 在一定条件下 当初始点的选取充分接近目标函数的极小点时 有很快的收敛速度 但若初始点选取离最小点比较远 就难保证收敛 牛顿法必须求一阶 二阶导数及求逆阵 这对较复杂的目标函数来说 是较困难的 5 修正牛顿法 当目标函数为非二次函数时 目标函数在点展开所得的二次函数是该点附近的一种近似表达式 所求的极小点 当然也是近似的 需要继续迭代 但是当目标函数严重非线性时 用式进行迭代则不能保证一定收敛 即在迭代中可能会出现 所得到的下一点不如原来的好 这和初始点的选择是否恰当有很大的关系 为了克服牛顿法的上述缺陷 可以通过在迭代中引入步长因子和一维搜索加以解决 即令式中 一维搜索所得的最优步长因子 因而将称为牛顿方向 经过这种修改后的算法称为修正牛顿法 也称牛顿方向法or阻尼牛顿法 举例 用修正牛顿法求解下列无约束优化问题 已知 解 因为所以 由修正牛顿法 得带入原函数对求导解得代入因为故迭代终止 所以最优解为 6 牛顿法的评价 由于采用了目标函数的二阶导数信息 收敛速度比梯度法快 牛顿法迭代公式与一般迭代公式的区别在于 没有最优步长因子 这使得在接近最优点时 由于步长不能调节 可能会错过最优点 造成算法的稳定性欠佳 甚至造成不能收敛而导致计算失败 为了克服这一点 提出了修正牛顿法 它既保持了牛顿法收敛快的特性 有放宽了对初始点选择的要求 保证每次迭代的结果都
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