四年级奥数等差数列.doc

等差数列知识要点一、 按照一定次序排列的一列数叫数列。二、 数列中的每一个数都叫做这个数列的项，各项依次叫做这个数列的第项（或首项）、第项、第项、第项、三、 数列的一般形式可以写成：、；其中是数列的第项；这个数列可以简记作（为正整数）。四、 项数有限的数列叫做有穷数列，有穷数列的最后一项叫做这个数列的末项。五、 项数无穷的数列叫做无穷数列。六、 如果一个数列，从第项起的每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用表示。七、 等差数列的通项公式：等差数列中，第项首项（项数）公差，即（为正整数）八、 项数公式：项数（末项首项）公差，即（为正整数）九、 求和公式：等差数列中，和（首项末项）项数，即（为正整数）十、 中项定理：对于任意一个项数为奇数的等差数列，中间一项的值等于所有项的平均数，也等于首项与末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数，即当为正奇数时，十一、 （为正整数）十二、 （为正整数）十三、 （为正整数）基础知识【例1】 判断下面的数列中，哪些是等差数列？如果是，请指明公差；如果不是，请说明理由。数列一：、；数列二：、；数列三：、；数列四：、；数列五：、；数列六：、；数列七：、。【分析】 数列一是等差数列，公差为；因为，即；所以数列二不是等差数列；因为，即；所以数列三不是等差数列；数列四是等差数列，公差为；数列五是等差数列，公差为；因为，即；所以数列六不是等差数列；假设数列七是等差数列，则公差为，因为，所以原假设数列七是等差数列不成立，所以数列七不是等差数列。【例2】 判断下列命题是否正确？命题一：如果数列为等差数列，那么数列为等差数列。（）命题二：如果数列为等差数列，那么数列为等差数列。（）命题三：如果数列中，、均为等差数列，那么数列为等差数列。（）命题四：如果数列为等差数列，那么数列为等差数列。（，、为常数，且）【分析】 命题一为真命题。若等差数列的公差为，则数列是公差为等差数列。命题二为真命题。若等差数列的公差为，则数列是公差为等差数列。命题三为假命题。数列、，奇数项为、是等差数列，偶数项为、是等差数列，但原数列不是等差数列。命题四为真命题。若等差数列的公差为，则数列是公差为等差数列。简单计算【例3】 （年第六届“走进美妙的数学花园”中国青少年数学论坛趣味数学解题技能展示大赛四年级初赛）。【分析】【例4】 计算： 【分析】 原式 【例5】 计算_【考点】等差数列计算题 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 原式 【例6】 计算：【分析】【例7】 计算：。【分析】 （方法一）（方法二）（方法三）【例8】 （年吉林省“金翅杯”竞赛）个连续自然数的和是，求这个数。【分析】 （方法一）设这个连续自然数中最小的数为（），这个连续自然数的和为；所以这个连续自然数中最小的数；所以这个连续自然数从小到大依次为、。（方法二）中间数（从小到大第个数）为；所以这个连续自然数从小到大依次为、。【例9】 （年浙江省夏令营试题）个连续偶数的和是，求这个连续偶数中最小的是多少？【分析】 中间数（从小到大第个数）为所以这个连续偶数中最小的是。【例10】 （）个连续的偶数中，第个数与第个数的和是，求最小的偶数。（）（年江西省婺源县竞赛）个连续自然数的和是，中间个数的和是多少？【分析】 （）中间数（从小到大第个数）为；所以最小的偶数为（）中间个数的和为【例11】 在这个自然数中，所有能被整除的自然数的和是多少？【分析】 在这个自然数中，能被整除的自然数依次为、，即在这个自然数中，所有能被整除的自然数的和为。【例12】 在不大于自然数中，所有不能被整除的自然数的和是多少？【分析】 在不大于的自然书中，能被整除的自然数依次为、，所以在不大于的自然数中，所有不能被整除的自然数的和为。【例13】 在这个自然数中，所有能被整除或被整除的自然数的和是多少？【分析】 在这个自然数中，能被整除的自然数依次为、，在这个自然数中，能被整除的自然数依次为、，在这个自然数中，既能被整除又能被整除的自然数，即能被整除的自然数依次为、，在这个自然数中，所有能被整除或能被整除的自然数的和为。【例14】 求这个自然数中，所有加以后能被整除的数之和。【分析】 （方法一）加之后能被整除的数也就是被除余的数。的自然数被除余的数依次为、这是一个首项为，公差为的等差数列，所以这个自然数中，所有加以后能被整除的数之和为。（方法二）所有自然数能被整除依次为、所以这个自然数中，所有加以后能被整除的数之和为。复杂计算【例15】 有一数列、，从第个数起，每个数都等于它前面个数中大数减小数的差。求这个数列前项的和。【分析】 将这个数列分组如下：（、），（、），（、），最后一个数为第组的第个数，每一组的第个数构成公差为的等差数列，末项为；这个数列前项的和为或每一组的第、个数的和等于这组的第个数，前组的和为这个数列前项的和为。【例16】 在练习口算时，小朱按照正整数的顺序从开始求和，当加到某个数时，和为。验算时发现，她重复加了一个数。请问这个多加一次的数是多少？【分析】 设加的最后一个正整数为（）如果没有多加，则所有的数的和为；所以因为、；所以；因为、；所以；所以最后一个正整数。所以这个多加一次的数为。【例17】 在练习口算时，小朱按照正整数的顺序从开始求和，当加到某个数时，和为。验算时发现，她少加了一个数。请问这个少加的数是多少？【分析】 设加的最后一个正整数为（）如果没有少加，则所有的数的和为所以因为、；所以；因为、；所以；所以最后一个正整数。所以这个少加的数为。【例18】 盒子里放有只乒乓球，一位魔术师第次从盒子里拿出一只球，将它变成只球后放回盒子里；第次从盒子里拿出只球，将每只球各变成只球后放回盒子里；第次从盒子里拿出只球，将每只球各变成只球后放回到盒子里。这时盒子里共有多少只乒乓球？【分析】 一只球变成只球，实际上多了只球。第次多了只球，第次多了只球，第次多了只球。最后盒子里有只乒乓球。【例19】 （年第七届“小机灵杯”数学竞赛三年级初赛）有若干根长度相等的火柴棒，把这些火柴摆成如图所示的图形。照这样摆下去，到第行为止一共用了根火柴。【分析】 从上往下看看，分别数一下每次用了多少根火柴棒，来找出规律：到第行为止需要根横放的火柴、根竖放的火柴；到第行为止需要根横放的火柴、根竖放的火柴；到第行为止需要根横放的火柴、根竖放火柴；到第行为止需要根横放的火柴、根竖放的火柴；所以到第行为止一共用了根火柴。到第行为止需要根横放的火柴、根竖放的火柴；所以到第行为止一共用了根火柴（）。【例20】 （年北京“数学解题能力展示”读者评选活动中年级组复赛）小张将一些同样大小的正方形纸片摆放在桌上。第一次在桌上中间放个纸片（如图一）；第二次在这个正方形纸片四周再放一圈纸片（如图二）；第三次再在第二次的基础上再放一圈纸片（如图三）；如此下去，一共十次，那么它用了正方形纸片个。【分析】 从上往下看或从左往右看，分别数一下每次用的正方形纸片的个数，来找出规律：第次用了正方形纸片个，第次用了正方形纸片个，第次用了正方形纸片个，第次用了正方形纸片个。第次用了正方形纸片个（）。【例21】 如图所示，每个最小的等边三角形的面积是平方厘米，边长是根火柴棒。如果最大的三角形共有层，请问最大三角形的面积是多少平方厘米？整个图形由多少根火柴棍摆成？【分析】 从上往下看看，分别数一下前几层有多少个三角形，用了多少根火柴棒，来找出规律：最上面层有个三角形，用了根火柴棒；最上面层有个三角形，用了根火柴棒；最上面层有个三角形，用了根火柴棒；最上面层有个三角形，用了根火柴棒；最上面层有个三角形，用了根火柴棒；最大三角形的面积是平方厘米；整个图形由根火柴棍摆成。【例22】 （年第七届“小机灵杯”数学竞赛四年级初赛）有若干根长度相等的火柴棒，把这些火柴棒摆成下面的图形，照这样摆下去，摆到第个图，一共用了根火柴。【分析】 从上往下看看，分别数一下每次用了多少根火柴棒，来找出规律：摆到第个图需要个小线段；摆到第个图需要个小线段；摆到第个图需要个小线段；摆到第个图需要个小线段；摆到第个图需要个小线段（）。【例23】 （年第一届“学而思杯”综合素质测评三年级数学试题）把自然数从开始，排成如下的三角阵：第列为；第列为、；第列为、；。每一列比前一列多排两个数，依次下去，“以开头的行”是这个三角阵的对称轴。如图，在以开头的行中，第个数是。【分析】 第列的最后一个数为、第列的最后一个数为、第列的最后一个数为、第列的最后一个数为；第列有个数、第列有个数、第列有个数、第列有个数；所以在以开头的行中，第个数是；在以开头的行中，第个数是。【例24】 正整数数列按图中排成一个数阵，自上至下第行有个数、第行有个数、第行有个数、第行有个数（为正整数）。请问：（）自上至下第行中所有数的和是多少？（）排在第几行第几列？【分析】 前行一共有个数，它们的和为；前行一共有个数，它们的和为；自上至下第行中所有数的和为。前行一共有个数（）。因为，；所以排在第行第列。【例25】 如图表中数的排列顺序。请问在第几行第几列？第列第列第列第列第列第行第行第行第行第行【分析】 根据填写顺序和规律，设为数表中的一个数（）。当，那么在第行、第列（）；当，那么在第行、第列（）；当，那么的行数和列数都小于等于（）；当，那么在行或在列（）；第行、第列的数为（），当，那么在列，当，那么在行（）；当，那么在列、第行，当，那么在行、第列（）。，；在行、第列。【例26】 （年第七届“小机灵杯”数学竞赛五年级决赛）自然数从起，排成如表所示，那么第行与第列交错位置上的数是。【分析】 第行、第列上的数为，第行、第列上的数为第行、第列上的数为所以，第行、第列交错位置上的数为。当时（），第行、第列上的数为；第行、第列交错位置上的数为；当时（），第行、第列上的数为；第行、第列交错位置上的数为。一课一练【练习1】 （年第八届“春蕾杯”小学数学邀请赛四年级初赛）计算：。【分析】 （方法一）（方法二）【练习2】 （年第三届小学“希望杯”全国数学邀请赛四年级第试）。 【练习3】 （）个连续自然数的和是，求这自然数的中间及最小自然数。（）个连续奇数的和是，其中最大的奇数是多少？（）个连续偶数的和为，求这个数。【分析】 （）中间数（第个数）为最小自然数为（）（方法一）设这个连续奇数中最大的数为（），这个连续奇数的和为；所以这个连续自然数中最大的数为。（方法二）中间数（从小到大第个数）为；所以这个连续自然数中最大的数。（）（方法一）设这个连续偶数中最小的数为（），这个连续偶数的和为；所以这个连续偶数中最小的数；所以这个连续偶数从小到大依次为、。（方法二）中间个数（从小到大第、个数）的和为；所以中间个数分别为、；所以这个连续偶数从小到大依次为、。【练习4】 把枚棋子放到个不同的空盒中，如果要求每个盒子都不空，且任意两个盒子里的棋子数目都不一样多。请问能否办到？若能，写出具体方案；若不能，说明理由。【分析】 因为每个盒子都不空，所以盒子中至少有一枚棋子；因为任两盒中棋子数不一样，所以个盒子中至少有枚棋子；但题目中只给了枚棋子；所以题中要求不能办到。【练习5】 （）（年天津市数学竞赛）个连续自然数的和是，求这个数。（）（年第四届小学“希望杯”全国数学邀请赛）个连续奇数之和是，则其中最小一个奇数是多少？（）（北京市第四届“迎春杯”决赛）把表示成个连续偶数的和，那么其中最大的那个偶数是多少？【分析】 （）（方法一）设这个连续自然数中最小的数为（），这个连续自然数的和为；所以这个连续自然数中最小的数；所以这个连续自然数从小到大依次为、。（方法二）中间两个数的和为；所以中间个数分别为、；所以这个连续自然数从小到大依次为、。（）（方法一）设这个连续奇数中最小的数为（），这个连续奇数的和为；所以这个连续奇数中最小的数。（方法二）中间个数（从小到大第、个数）的和为；中间个数分别为、；所以这个连续奇数中最小的数。（）（方法一）设这个连续偶数中最大的数为（），这个连续偶数的和为；所以这个连续偶数中最大的数；（方法二）中间个数的和为；所以中间个数（从小到大第、个数）分别为、；所以这个连续偶数中最大的数或。【练习6】 （）（第七届“祖冲之杯”邀请赛）个连续奇数的和比其中最小的数多，这个数中最 大的是多少？（）（四川省德阳市第十一届小学数学邀请赛试题）有个连续奇数（从小到大排列），第个数与第个数的和是，这个数分别是多少？【分析】 （）个连续奇数的和比其中最小的数多，即相邻个奇数和为；所以这个数中最大的是。（）（方法一）第个数比第个数大；第个数为，第个数为或第个数为，第个数为；所以这个连续的奇数分别为、。（方法二）第个数为；所以这个连续的奇数分别为、。【练习7】 个人的年龄各不相同，年龄之和是岁，其中最大的人年龄是岁，请问年龄最小的人至少是多少岁？【分析】 只要是其他人的年龄尽可能大，就能使最小年龄数尽可能小；因为年龄最大是岁，所以余下的个人的年龄依次取、所以，年龄最小的人至少为岁。【练习8】 求这个自然数中，所有加以后能被整除的数之和。【分析】 （方法一）加之后能被整除的数也就是被除余的数。的自然数被除余的数依次为、这是一个首项为，公差为的等差数列，所以这个自然数中，所有加以后能被整除的数之和为。（方法二）所有自然数能被整除依次为、所以这个自然数中，所有加以后能被整除的数之和为。【练习9】 （年第二届“走进美妙的数学花园”中国青少年数学论坛趣味数学解题技能展示大赛四年级）如图所示，个同样大小的等边三角形拼成了大等边三角形，在图中每个结点处都标上一个数，使得图中每条直线上所标的数都顺次成等差数列。已知在大等边三角形的三个顶点放置的数分别是、。求所有结点上数的总和。【分析】 各结点上放置的数如图所示。从到这条直线上的各数的平均数是，平行于这条直线的每条直线上的各数的平均数都是；所以这个数的平均数是；所有结点上数的总和为。补充【补充1】 （年江苏省南通市小学数学竞赛试题），、是连续的自然数。以内的个数，能用几个连续自然数（不包括）的和表示出来的数有哪几个？请将它们连续表示的式子都写出来。能用几个连续的自然数的和表示出来吗？如果能，你能写出几种形式，请写出来？【分析】 第类：将奇数拆成相邻个自然数的和：、，第类：将的倍数拆成相邻个自然数的和：、，因为，所以不可能将这个自然数拆成个或个以上连续自然数的和。，有种形式。【补充2】 设沿路每隔米立一根桩，共立根桩。全部桩都放在中央桩位，要把它们搬到各个桩位，但每次只能搬运一根。请问总共要走多少路程（最初自中央桩出发最后又返回原来位置的距离）？【分析】 从中央桩开始，把桩搬运到从中间向两边数第个桩位（），再返回到中央桩，需要走米；从中央桩开始，把所有桩搬到各个桩位，再返回到中央桩，一共走了 米。【补充3】 （年第一届汉城国际数学竞赛小学组第一试）有奇数块石头，沿直线每隔米放一块。要把石头集中在最中间的位置上，从最右边的石头开始，按顺序每次只能搬一块石头。如果一个人用这样的办法搬石头，除了中间的石头以外，把其余的石头向中间集中，走了米。问：一共放了多少块石头？【分析】 设一共放了块石头（），则除中间一块外两边各有块石头；从中间石头开始，搬运从中间向两边数第块石头（，），需要走米；从中间石头开始，把所有石头集中在当中一共走了米；从最右边的石头开始，把所有石头集中在当中一共走了米；因为；所以，。所以一共放了块石头。【补充4】 （第七届“祖冲之杯”邀请赛）个连续的自然数，最大的个数的和比最小的数大，那么中间的那个数是多少？【分析】 最大的数比最小的数大，所以第大的数（从小到大第数）为；所以中间数（从小到大第数）为；或第大的数比最小的数大，所以最大的数（从小到大第数）为；所以中间数（从小到大第数）为【补充5】 （年“希望杯”全国数学邀请赛培训试题）个连续的自然数，后面个数的积与前面个数的积的差是，那么这个数中最小的是多少？【分析】 后面个数的积与前面个数的积的差等于最大的数与最小的数的差与中间数的乘积；最大的数与最小的数的差为；所以中间数为；所以这个数中最小的数为。【补充6】 （年第十三届“祖冲之杯”邀请赛/小学生数学报全国邀请赛）有个连续的两位自然数，它们的和也是两位自然数，并且和是的倍数，这个自然数分别是多少？【分析】 个连续的两位自然数的和为中间数的倍，即为的倍数；又因为这个连续的两位自然数的和为的倍数；这个连续的两位自