2传热学-第二章

第二章导热基本定律及稳态导热 2 1导热基本定律 一 温度场 Temperaturefield 某时刻空间所有各点温度分布的总称温度场是时间和空间的函数 即 稳态温度场Steady stateconduction 非稳态温度场 Transientconduction 等温面与等温线 1 温度不同的等温面或等温线彼此不能相交 等温面 同一时刻 温度场中所有温度相同的点连接起来所构成的面 等温线 用一个平面与各等温面相交 在这个平面上得到一个等温线簇 等温面与等温线的特点 2 在连续的温度场中 等温面或等温线不会中断 它们或者是物体中完全封闭的曲面 曲线 或者就终止与物体的边界上 物体的温度场通常用等温面或等温线表示 等温面上没有温差 不会有热量传递 温度梯度 Temperaturegradient 不同的等温面之间 有温差 有热量传递 温度梯度 沿等温面法线方向上的温度增量与法向距离比值的极限 gradt 直角坐标系 Cartesiancoordinates 注 温度梯度是向量 正向朝着温度增加的方向 热流密度矢量 Heatflux 热流密度 单位时间 单位面积上所传递的热量 直角坐标系中 热流密度矢量 等温面上某点 以通过该点处最大热流密度的方向为方向 数值上正好等于沿该方向的热流密度 不同方向上的热流密度的大小不同 二 导热基本定律 Fourier slaw 1822年 法国数学家傅里叶 Fourier 在实验研究基础上 发现导热基本规律 傅里叶定律 导热基本定律 垂直导过等温面的热流密度 正比于该处的温度梯度 方向与温度梯度相反 热导率 导热系数 直角坐标系中 注 傅里叶定律只适用于各向同性材料各向同性材料 热导率在各个方向是相同的 Thermalconductivity 有些天然和人造材料 如 石英 木材 叠层塑料板 叠层金属板 其导热系数随方向而变化 各向异性材料 各向异性材料中 三 热导率 Thermalconductivity 热导率的数值 就是物体中单位温度梯度 单位时间 通过单位面积的导热量 物质的重要热物性参数 影响热导率的因素 物质的种类 材料成分 温度 湿度 压力 密度等 热导率的数值表征物质导热能力大小 实验测定 不同物质热导率的差异 构造差别 导热机理不同 1 气体的热导率 气体的导热 由于分子的热运动和相互碰撞时发生的能量传递 2 液体的热导率 液体的导热 主要依靠晶格的振动 晶格 理想的晶体中分子在无限大空间里排列成周期性点阵 即所谓晶格 3 固体的热导率 纯金属的导热 依靠自由电子的迁移和晶格的振动主要依靠前者 金属导热与导电机理一致 良导电体为良导热体 1 金属的热导率 晶格振动的加强干扰自由电子运动 非金属的导热 依靠晶格的振动传递热量 比较小 建筑隔热保温材料 2 非金属的热导率 大多数建筑材料和绝热材料具有多孔或纤维结构 多孔材料的热导率与密度和湿度有关 保温材料 国家标准规定 温度低于350度时热导率小于0 12W mK 的材料 绝热材料 2 2导热微分方程式 HeatDiffusionEquation 确定导热体内的温度分布是导热理论的首要任务 傅里叶定律 确定热流密度的大小 应知道物体内的温度场 理论基础 傅里叶定律 热力学第一定律 假设 1 所研究的物体是各向同性的连续介质 2 热导率 比热容和密度均为已知 3 物体内具有内热源 强度qv W m3 内热源均匀分布 qv表示单位体积的导热体在单位时间内放出的热量 化学反应发射药熔化过程 一 导热微分方程式 在导热体中取一微元体 热力学第一定律 d 时间内微元体中 导入与导出净热量 内热源发热量 热力学能的增加 1 导入与导出微元体的净热量 d 时间内 沿x轴方向 经x表面导入的热量 d 时间内 沿x轴方向 经x dx表面导出的热量 d 时间内 沿x轴方向导入与导出微元体净热量 d 时间内 沿z轴方向导入与导出微元体净热量 d 时间内 沿y轴方向导入与导出微元体净热量 导入与导出净热量 傅里叶定律 2 微元体中内热源的发热量 d 时间内微元体中内热源的发热量 3 微元体热力学能的增量 d 时间内微元体中热力学能的增量 由 1 2 3 导热微分方程式 导热过程的能量方程 若物性参数 c和 均为常数 热扩散率a反映了导热过程中材料的导热能力 与沿途物质储热能力 c 之间的关系 a值大 即 值大或 c值小 说明物体的某一部分一旦获得热量 该热量能在整个物体中很快扩散 热扩散率表征物体被加热或冷却时 物体内各部分温度趋向于均匀一致的能力 Thermaldiffusivity 在同样加热条件下 物体的热扩散率越大 物体内部各处的温度差别越小 a反应导热过程动态特性 研究不稳态导热重要物理量 若物性参数为常数且无内热源 若物性参数为常数 无内热源稳态导热 圆柱坐标系 r z 球坐标系 r 导热微分方程式的不适应范围 非傅里叶导热过程 极短时间 如10 产生极大的热流密度的热量传递现象 如激光加工过程 极低温度 接近于0K 时的导热问题 导热过程的单值性条件 导热微分方程式的理论基础 傅里叶定律 热力学第一定律 它描写物体的温度随时间和空间变化的关系 它没有涉及具体 特定的导热过程 通用表达式 对特定的导热过程 需要得到满足该过程的补充说明条件的唯一解 单值性条件 确定唯一解的附加补充说明条件 单值性条件包括四项 几何 物理 时间 边界 完整数学描述 导热微分方程 单值性条件 1 几何条件 如 平壁或圆筒壁 厚度 直径等 说明导热体的几何形状和大小 2 物理条件 如 物性参数 c和 的数值 是否随温度变化 有无内热源 大小和分布 是否各向同性 说明导热体的物理特征 3 时间条件 稳态导热过程不需要时间条件 与时间无关 说明在时间上导热过程进行的特点 对非稳态导热过程应给出过程开始时刻导热体内的温度分布 时间条件又称为初始条件 Initialconditions 边界条件 说明导热体边界上过程进行的特点反映过程与周围环境相互作用的条件 边界条件一般可分为三类 第一类 第二类 第三类边界条件 第一类边界条件 s 边界面 tw f x y z 边界面上的温度 已知任一瞬间导热体边界上温度值 稳态导热 tw const 非稳态导热 tw f 例 Boundaryconditions 2 第二类边界条件 根据傅里叶定律 已知物体边界上热流密度的分布及变化规律 第二类边界条件相当于已知任何时刻物体边界面法向的温度梯度值 稳态导热 非稳态导热 特例 绝热边界面 3 第三类边界条件 傅里叶定律 当物体壁面与流体相接触进行对流换热时 已知任一时刻边界面周围流体的温度和表面传热系数 导热微分方程式的求解方法 导热微分方程 单值性条件 求解方法 温度场 积分法 杜哈美尔法 格林函数法 拉普拉斯变换法 分离变量法 积分变换法 数值计算法 牛顿冷却定律 2 3通过平壁 圆筒壁 球壳和其它变截面物体的导热 通过本节的学习 让学生了解求解传热问题的基本步骤 建立导热微分方程和相应的定解条件求解导热微分方程 得到温度分布 根据要求 求传热量 对于稳态导热问题 如果不要求温度分布 也可直接求传热量 导热微分方程的获得 可以由两种方法 从通用微分方程式出发 或取微元体 用能量平衡 关心的问题 温度分布 传热量的计算 传热热阻提醒学生一维无内热源稳态导热的特点 通过每一个截面的热量相等 2 3通过平壁 圆筒壁 球壳和其它变截面物体的导热 本节将针对一维 稳态 常物性 无内热源情况 考察平板和圆柱内的导热 直角坐标系 1单层平壁的导热 a几何条件 单层平板 b物理条件 c 已知 无内热源 c时间条件 d边界条件 第一类 x 直接积分 得 根据上面的条件可得 第一类边条 控制方程 边界条件 带入边界条件 带入Fourier定律 线性分布 热阻分析法适用于一维 稳态 无内热源的情况 变物性一维导热 思考温度变化的规律 2多层平壁的导热 多层平壁 由几层不同材料组成 例 房屋的墙壁 白灰内层 水泥沙浆层 红砖 青砖 主体层等组成 假设各层之间接触良好 可以近似地认为接合面上各处的温度相等 边界条件 热阻 由热阻分析法 问 现在已经知道了q 如何计算其中第i层的右侧壁温 第一层 第二层 第i层 单位 传热系数 多层 第三类边条 3单层圆筒壁的导热 圆柱坐标系 一维 稳态 无内热源 常物性 第一类边界条件 a 假设单管长度为l 圆筒壁的外半径小于长度的1 10 对上述方程 a 积分两次 第一次积分 第二次积分 应用边界条件 获得两个系数 将系数带入第二次积分结果 显然 温度呈对数曲线分布 圆筒壁内温度分布 圆筒壁内温度分布曲线的形状 下面来看一下圆筒壁内部的热流密度和热流分布情况 长度为l的圆筒壁的导热热阻 虽然时稳态情况 但热流密度q与半径r成反比 4n层圆筒壁 由不同材料构成的多层圆筒壁 其导热热流量可按总温差和总热阻计算 通过单位长度圆筒壁的热流量 单层圆筒壁 第三类边界条件 稳态导热 通过单位长度圆筒壁传热过程的热阻 mK W 1 单层圆筒壁 思考 温度分布应如何求出 2 多层圆筒壁 通过球壳的导热自己推导 5其它变面积或变导热系数问题 求解导热问题的主要途径分两步 求解导热微分方程 获得温度场 根据Fourier定律和已获得的温度场计算热流量 对于稳态 无内热源 第一类边界条件下的一维导热问题 可以不通过温度场而直接获得热流量 此时 一维Fourier定律 当 t A A x 时 分离变量后积分 并注意到热流量 与x无关 稳态 得 当 随温度呈线性分布时 即 0 at 则 实际上 不论 如何变化 只要能计算出平均导热系数 就可以利用前面讲过的所有定导热系数公式 只是需要将 换成平均导热系数 总结 2 4通过肋片的导热 第三类边界条件下通过平壁的一维稳态导热 为了增加传热量 可以采取哪些措施 1 增加温差 tf1 tf2 但受工艺条件限制 2 减小热阻 a 金属壁一般很薄 很小 热导率很大 故导热热阻一般可忽略 b 增大h1 h2 但提高h1 h2并非任意的 c 增大换热面积A也能增加传热量 在一些换热设备中 在换热面上加装肋片是增大换热量的重要手段 肋壁 直肋 环肋 等截面 变截面 1通过等截面直肋的导热 l 已知 矩形直肋肋跟温度为t0 且t0 t 肋片与环境的表面传热系数为h h和Ac均保持不变求 温度场t和热流量 分析 严格地说 肋片中的温度场是三维 稳态 无内热源 常物性 第三类边条的导热问题 但由于三维问题比较复杂 故此 在忽略次要因素的基础上 将问题简化为一维问题 简化 a宽度l andH 肋片长度方向温度均匀 l 1b 大 H 认为温度沿厚度方向均匀边界 肋根 第一类 肋端 绝热 四周 对流换热求解 这个问题可以从两个方面入手 a导热微分方程b能量守恒 Fourierlaw 能量守恒 Fourier定律 Newton冷却公式 关于温度的二阶非齐次常微分方程 导热微分方程 混合边界条件 引入过余温度 则有 方程的通解为 应用边界条件可得 最后可得等截面内的温度分布 双曲余弦函数 双曲正切函数 双曲正弦函数 稳态条件下肋片表面的散热量 通过肋基导入肋片的热量 肋端过余温度 即x H 几点说明 1 上述推导中忽略了肋端的散热 认为肋端绝热 对于一般工程计算 尤其高而薄的肋片 足够精确 若必须考虑肋端散热 取 Hc H 2 2 上述分析近似认为肋片温度场为一维 当Bi h 0 05时 误差小于1 对于短而厚的肋片 二维温度场 上述算式不适用 实际上 肋片表面上表面传热系数h不是均匀一致的 数值计算 l 肋片传热总结 2肋片效率为了从散热的角度评价加装肋片后换热效果 引进肋片效率 肋片的纵截面积 可见 与参量有关 其关系曲线如图2 14所示 这样 矩形直肋的散热量可以不用 2 38 计算 而直接用图2 14查出然后 散热量 影响肋片效率的因素 肋片材料的热导率 肋片表面与周围介质之间的表面传热系数h 肋片的几何形状和尺寸 P A H 3通过环肋及三角形截面直肋的导热为了减轻肋片重量 节省材料 并保持散热量基本不变 需要采用变截面肋片 环肋及三角形截面直肋是其中的两种 对于变截面肋片来讲 由于从导热微分方程求得的肋片散热量计算公式相当复杂 因此 人们仿照等截面直肋 利用肋片效率曲线来计算方便多了 书中图2 14和2 15分别给出了三角形直肋和矩形剖面环肋的效率曲线 图2 14 图2 15 4 通过接触面的导热 实际固体表面不是理想平整的 所以两固体表面直接接触的界面容易出现点接触 或者只是部分的而不是完全的和平整的面接触 给导热带来额外的热阻 当界面上的空隙中充满导热系数远小于固体的气体时 接触热阻的影响更突出 接触热阻 当两固体壁具有温差时 接合处的热传递机理为接触点间的固体导热和间隙中的空气导热 对流和辐射的影响一般不大 Thermalcontactresistance 1 当热流量不变时 接触热阻rc较大时 必然在界面上产生较大温差 2 当温差不变时 热流量必然随着接触热阻rc的增大而下降 3 即使接触热阻rc不是很大 若热流量很大 界面上的温差是不容忽视的 接触热阻的影响因素 1 固体表面的粗糙度 3 接触面上的挤压压力 例 2 接触表面的硬度匹配 4 空隙中的介质的性质 在实验研究与工程应用中 消除接触热阻很重要 导热姆 导热油 硅油 银 先进的电子封装材料 AIN 导热系数达400以上 2020 4 6 67 1具有内热源的导热 2 5具有内热源的导热及多维导热 如图所示 一无限大平板中具有均匀的内热源 其两侧同时与温度为tf的流体对流换热 表面传热系数h 现在要确定平板中任一x处的温度及通过该截面的热流密度 对称边界的处理 2020 4 6 68 2 5具有内热源的导热及多维导热 续 控制方程 边界条件 第几类 第几类 积分两次 应用边界条件 2020 4 6 69 2 5具有内热源的导热及多维导热 续 与无内热源的一维稳态平板导热相比 热流密度不是常数 温度呈二次曲线分布 2020 4 6 70 2二维稳态导热 2 5具有内热源的导热及多维导热 续 工程上经常遇到二维和三维稳态导热问题 如 导热微分方程式 二维 常物性 无内热源 上面方程求解方法 1 分析解法 简单形状 线性边界条件 常用分离变量法 2 数值计算 复杂形状 复杂边界条件 3 利用导热形状因子 工程计算 两个边界的温度恒定 2020 4 6 71 2 5具有内热源的导热及多维导热 续 1 分析解法 简单形状 线性边界条件 分离变量法 这是个关于温度的齐次方程 为能采用分离变量法 需要将其边界条件表达式也齐次化 最多只能包含一个非齐次边界条件 为此 引进以下无量纲过余温度作为求解变量 2020 4 6 72 2 5具有内热源的导热及多维导热 续 于是上述方程变为 采用分离变量法 令 通解 2020 4 6 73 带入边界条件 并利用傅立叶级数 可得出温度场的分析解 二维温度分布示意图 2020 4 6 74 2 5具有内热源的导热及多维导热 续 2 形状因子法 看一下如下几个公式 2 19 p 29 一维 稳态 常物性 无内热源的平板导热 一维 稳态 常物性 无内热源的圆筒壁导热 2 28 p 34 一维 稳态 常物性 无内热源的球壳导热 2 32 p 34 一维 稳态 无内热源变截面变导热系数的导热 2 34 p 35 2020 4 6 75 理论分析表明 对于二维或三维问题中两个等温面间的导热热量计算 上面的公式依然成立 其中S与导热物体的形状及大小有关 称为形状因子 表2 1列出了部分结果 2 5具有内热源的导热及多维导热 续 以上公式均为第一类边条下的热流量计算公式 可以归纳为统一形式 2020 4 6 76 第二章小结2 1导热基本定律温度场 等温面和等温线 温度梯度 Fourier定律的一般形式 导