经典研材料裂项相消法求和大全

精品文档 1欢迎下载 开一数学组教研材料开一数学组教研材料 裂项相消法求和之再研究 裂项相消法求和之再研究 张明刚张明刚 一项拆成两项 消掉中间所有项 剩下首尾对称项一项拆成两项 消掉中间所有项 剩下首尾对称项 基本类型 基本类型 1 形如型 如 11 1 1 knnkknn 1 n n 1 1 n 1 n 1 2 形如an 型 1 2n 1 2n 1 12 1 12 1 2 1 nn 3 12 1 12 1 2 1 1 12 12 2 2 nnnn n an 4 2 1 1 1 1 2 1 2 1 1 nnnnnnn an 5 n n nnnn n n S nnnn nn nn n a 2 1 1 1 2 1 1 2 1 2 1 1 1 2 2 1 1 2 1 则 6 形如an 型 n 1 n2 n 2 2 7 形如an 型 4n 4n 1 4n 1 1 1 3 14 1 14 1 1nn 8 n 1 n n 1 2n 2n n 1 n n 1 2n 1 n 1 2n 1 1 n 2n 9 形如an 型 nkn kknn 11 1 1 1 nnnn an 10 ba baba 11 11 12 13 1 nnnn m n m n m n CCC 1 1 2 1 nSSa nnn 14 1 tan tantan tantan 15 15 利用两角差的正切公式进行裂项利用两角差的正切公式进行裂项 把两角差的正切公式进行恒等变形 例如 可以 tantan1 tantan tan 精品文档 2欢迎下载 另一方面 利用 得 kk kk kk tan 1tan 1 tan 1tan 1tan1tan 1 1tan tan 1tan tan 1tan kk kk 16 利用对数的运算性质进行裂项 对数运算有性质 有些试题则可以构造这种形式进行裂项 NM N M a logloglog 1717 利用排列数或组合数的性质进行裂项利用排列数或组合数的性质进行裂项 排列数有性质 组合数有这样的性质 都可以作为裂项的依据 1 nnnn 1 1 m n m n m n CCC 例例 7 7 求和 22 11 nn 分析分析 直接利用可得结果是 1 nnnn 1 1 n 18 18 求和 有 从而 22 3 2 2nn CCCS 33 1 2 kkk CCC 3 1 3 3 3 1 2 2 nnn CCCCS 裂项相消法求和之再研究 一项拆成两项 消掉中间所有项 剩下首尾对称项 一 多项式数列求和 1 1 用裂项相消法求等差数列前 用裂项相消法求等差数列前 n n 项和 即形如项和 即形如的数列求前的数列求前 n n 项和项和 n aanb 此类型可设左边化简对应系数相等求出 A B 22 1 1 n aAnBnA nB nanb 123 22 2 0 42 93 42 1 1 nn Saaaa ABABABABAB AnBnA nB n AnBn 则 例 1 已知数列的通项公式为 求它的前 n 项和 n a21 n an n S 22 22 222222 123 1 1 21 2 21 221 10 1 121 32 1 n n n nn aAnBnA nB nn aAnBAn AA BAB ann Saaaannn 解 令 则有 2 2 用裂项相消法求多项式数列前 用裂项相消法求多项式数列前 n n 项和 即形如项和 即形如的数列求的数列求 12 1210 mm nmm abnbnbnb 前前 n n 项和 项和 此类型可 11 1111 1 1 1 mmmm nmmmm ac ncnc ncncnc n 设 12 1210 mm mm bnbnbnb 精品文档 3欢迎下载 上边化简对应系数相等得到一个含有 m 元一次方程组 说明 解这个方程组采用代入法 不难求 系数化简可以用二项式定理 这里不解释 解出 再裂项相消法裂项相消法用易知 12 m c cc 1 11 mm nmm Sc ncnc n 例 2 已知数列的通项公式为 求它的前 n 项和 n a 3 n an n S 432432 322 32 3 1 1 1 1 4641 331 21 4 63 432 1 4 41 1 630 2 4320 0 n aAnBnCnDnA nB nC nD n AnnnBnnCnD AnAB nABC nABCD n A A ABB ABC C ABCD 解 设 1 4 0D 二 432432 22 22222222 111111 1 1 1 424424 1 1 22 1 22 31 23 42 3 1 1 1 22222222 n n annnnnn n nnn n nnnn n S 二 多项式数列与等比数列乘积构成的数列 1 1 用裂项相消法求等比数列前 用裂项相消法求等比数列前 n n 项和 即形如项和 即形如的数列求前的数列求前 n n 项和 这里不妨设项和 这里不妨设 n n aaq 1q 时为常数列 前时为常数列 前 n n 项和显然为项和显然为 1q n San 此类型可设 则有 从而有 再用裂 1 A nn n aqAq nn n A aAqaq q 1 Aaq Aa A qq 项相消法求得 n n SAqA 例 3 已知数列的通项公式为 求它的前 n 项和 n a3n n a n S 解 设 则有 从而有 故 1 A nn n aqAq 2 33 3 nn n A a A 3 2 A 1 33 22 nn n a 2324311 123 11 33333333 33 22 nnn nn Saaaa 2 2 用裂项相消法求等差数列与等比数列乘积构成的数列前 用裂项相消法求等差数列与等比数列乘积构成的数列前 n n 项和 即形如项和 即形如的数列求前的数列求前 n n aanb q n n 项和 项和 此类型通常的方法是乘公比错位错位相减法 其实也可以用裂项相消法 这里依然不妨设 1q 时为等差数列 不再赘述 1q 精品文档 4欢迎下载 可设 则有 则有 1 1 nn n aAnB qA nB q 11 nn n aAqA nBqAB qaqnbq q 从而得到方程组 继而解出 A B 再用裂项相消法求得 AqAaq BqABbq n n SAnB qB 例 4 已知数列的通项公式为 求它的前 n 项和 n a3n n an n S 解 设 则有 则有 1 3 1 3 nn n aAnBA nB 11 22 333 nn n aAnBAn 从而得到方程组 解得 23 20 A BA 3 2 3 4 A B 1 2123 33 44 nn n nn a 2223211 123 11 33 3 335 33 3 21 3 23 3 21 33 44 nnn nn Saaaannn 3 3 用裂项相消法求多项式数列与等比数列乘积构成的数列前 用裂项相消法求多项式数列与等比数列乘积构成的数列前 n n 项和 项和 即形如即形如的数列求前的数列求前 n n 项和 项和 12 1210 mmn nmm abnbnbnb q 此类型有一个采用 m 次错位相减法的方法求出 但是当次数较高时错位相减法的优势就完全失去了 同样这里依然不妨设 时为多项式数列 不再赘述 1q 1q 下面介绍错位相减法的方法 设 12121 12101210 1 1 1 mmnmmn nmmmm aBnBnBnB qBnBnB nB q 先对上式化简成的形式 其中的形式 其中 011 m C CC 是用是用 12 1210 mmn nmm aCnCnC nC q 011 m B BBq 来表示的一次式子 同样让对应系数相等得到一个来表示的一次式子 同样让对应系数相等得到一个 m m 元一次方程组 用代入法可以解出元一次方程组 用代入法可以解出 再用再用用裂项相消法求得 011 m B BB 12 12100 mmn nmm SBnBnBnB qB 例 5 已知数列的通项公式为 求它的前 n 项和 n a 2 2n n an n S 解 设 则有 221 2 1 1 2 nn n aAnBnCA nB nC 2121 2 222 nn n aAnAB nABCn 从而得到 解得 所以 2 20 0 A AB ABC 2 4 6 A B C 212 23 2 1 2 1 3 2 nn n annnn 232212 123 21 2 23 23 22 2 23 2 1 2 1 3 2 23 26 nn nn n Saaaannnn nn 事实上裂项求和适合用于所有能将化成形式的所有数列 与存在形 n a 1 n af nf n n a f n n a 式上相似性 从而利用待定系数法的方式得到的表达式 最终可以得到 这里部 f n 0 n Sf nf 分可用倒叙相加法的数列不能使用此法是因为它没有一个统一形式不带省略号的前 n 项和公式 例如调 和数列也不能用此法 事实上调和数列是不可求前 n 项和的数列 1 n 1 n 四 结论 从上面的论断不难得出裂项相消法 适合所有可求前裂项相消法 适合所有可求前 n n 项和的数列 项和的数列 不愧为数列求前 n 项和的万能 方法 不过值得肯定的是有部分数列利用裂项相消法 不易找出它的裂项方法 尤其是与指数函数 对 数函数 三角函数这些比较高级的基本初等函数相关的初等函数 对于前两个大点得出的结论 我们当 精品文档 5欢迎下载 然也可以使用待定系数法来求 只是不要忘记它们都是用裂项相消法证明出来的结论 保留原来的参 n S 数得到结论也可以使用 从而直接得出待定参数的值 但对记性的要求很高 这里就不再啰嗦 例 6 已知数列的通项公式为 求它的前 n 项和 n a 34 1 2 n n a n nn n S 解 设则 1 1 1 2 n AnBA nB a n nnn 2 2 1 2 1 2 n AnB nn AnABAnB a n nnn nn 所以 解得 所以 234 1 2 1 2 AnBn n nnn nn 3 24 A B 3 2 A B 3231 1 1 2 n nn a n nnn 123 2 14473231 1 22 32 33 4 1 1 2 1313 2 1 2 2 1 2 nn nn Saaaa n nnn nnn nnnn 例 7 已知数列的通项公式为 求它的前 n 项和 n a 21 2 23 21 n n nn a n S 解 2111 2211 23 21 21 21 2121 nn n nnnnnn a 1 1223111 111111122 1 2121212121212121 n n nnnn S 例 8 已知数列的通项公式为 求它的前 n 项和 n a 2 sin o n an n S 89 S 解 2 11 sincos2 22 oo n ann sin1 cos2sin 21 sin 21 cos2 sin12sin1 oooo o oo nnn n 1sin 21 1sin 21 1 22sin122sin1 oo n oo nn ann 1sin 21 1 22sin1 o n o n Sn 89 1sin 2 89 1 89 1 44 5 22sin1 o o S 作业 1 请用裂项相消法求下列各数列的和 1 已知数列的通项公式为 求它的前 n 项和 n a 4 n an n S 精品文档 6欢迎下载 2 已知数列的通