概率论1.1—1.3

概率论与数理统计 授课教师 罗琰 Email loyal 考核方式 1 平时成绩 作业10 考勤与提问5 期中考试15 2 期末成绩70 参考书 龙永红 概率论与数理统计中典型例题分析与习题 盛骤 概率论与数理统计 高等教育出版社魏宗舒 概率论与数理统计教程 高等教育出版社 1654年 一个名叫梅累的骑士就 两个赌徒约定赌若干局 且谁先赢c局便算赢家 若在一赌徒胜a局 a c 另一赌徒胜b局 b c 时便终止赌博 问应如何分赌本 为题求教于帕斯卡 帕斯卡与费马通信讨论这一问题 于1654年共同建立了概率论的第一个基本概念 一 概率论的诞生及应用 1 概率论的诞生 2 概率论的应用 概率论是数学的一个分支 它研究随机现象的数量规律 概率论的应用几乎遍及所有的科学领域 例如天气预报 地震预报 产品的抽样调查 经济决策与预测 金融工程等等 在一定条件下必然发生的现象称为确定性现象 太阳不会从西边升起 1 确定性现象 同性电荷必然互斥 水从高处流向低处 实例 自然界所观察到的现象 确定性现象 随机现象 1 1随机事件 在一定条件下可能出现也可能不出现的现象 称为随机现象 实例1在相同条件下掷一枚均匀的硬币 观察正反两面出现的情况 2 随机现象 函数在间断点处不存在导数 等 结果有可能出现正面也可能出现反面 确定性现象的特征 条件完全决定结果 结果有可能为 1 2 3 4 5或6 实例3抛掷一枚骰子 观察出现的点数 实例2用同一门炮向同一目标发射同一种炮弹多发 观察弹落点的情况 结果 弹落点会各不相同 实例4从一批含有正品和次品的产品中任意抽取一个产品 其结果可能为 正品 次品 实例5过马路交叉口时 可能遇上各种颜色的交通指挥灯 实例6出生的婴儿可能是男 也可能是女 实例7明天的天气可能是晴 也可能是多云或雨 随机现象的特征 概率论就是研究随机现象规律性的一门数学学科 条件不能完全决定结果 2 随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶然性 但在大量试验或观察中 这种结果的出现具有一定的统计规律性 概率论就是研究随机现象这种本质规律的一门数学学科 随机现象是通过随机试验来研究的 问题什么是随机试验 如何来研究随机现象 说明 1 随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性联系 其数量关系无法用函数加以描述 一随机事件的概念 如果每次试验的可能结果不止一个 且事先不能肯定会出现哪一个结果 这样的试验称为随机试验 掷骰子试验掷一颗骰子 观察出现的点数 随机试验 E 随机试验具有下列特点 1 重复性 在相同条件下 试验可以重复进行 2 明确性 每次试验的结果具有多种可能性 而且在试验之前可以明确试验的所有可能结果 3 随机性 在每次试验之前不能准确地预言该次试验将出现哪一种结果 随机事件 randomevent 在一次试验中可能发生也可能不发生的事件称为随机事件 简称事件 在随机试验中 我们往往会关心某个或某些结果是否会出现 这就是 例如 在掷骰子试验中 掷出1点 掷出2点 事件 基本事件 复合事件 试验所有可能出现的结果 两个或一些基本事件并在一起 就构成一个复合事件 事件B 掷出奇数点 在掷骰子试验中 观察掷出的点数 事件Ai 掷出i点 i 1 2 3 4 5 6 两个特殊的事件 必 件 然 事 例如 在掷骰子试验中 掷出点数小于7 是必然事件 即在试验中必定发生的事件 常用 表示 不 件 可 事 能 即在一次试验中不可能发生的事件 常用 表示 而 掷出点数8 则是不可能事件 例1 在这个试验中 二 样本空间 samplespace 与事件 我们把随机试验的每个基本结果称为样本点 记作 全体样本点的集合称为样本空间 样本空间用 表示 样本点 如果试验是将一枚硬币抛掷两次 则样本空间由如下四个样本点组成 H H H T T H T T 在每次试验中必有一个样本点出现且仅有一个样本点出现 如果试验是测试某灯泡的寿命 则样本点是一非负数 由于不能确知寿命的上界 所以可以认为任一非负实数都是一个可能结果 t t 0 故样本空间 调查城市居民 以户为单位 烟 酒的年支出 结果可以用 x y 表示 x y分别是烟 酒年支出的元数 也可以按某种标准把支出分为高 中 低三档 这时 样本点有 高 高 高 中 低 低 等9种 样本空间就由这9个样本点构成 这时 样本空间由坐标平面第一象限内一定区域内一切点构成 引入样本空间后 事件便可以表示为样本空间的子集 例如 掷一颗骰子 观察出现的点数 i i 1 2 3 4 5 6 样本空间 事件B就是 的一个子集 B 1 3 5 B发生当且仅当B中的样本点1 3 5中的某一个出现 三 事件间的关系与运算 练习生产某种产品 直到有1000只正品 记录生产产品的总件数 A或B 推广 A且B 事件A不发生 即 注意 讨论 设A B为两个事件 则A B A B 不要把数的运算规律用到事件运算上来 这些运算在事件运算中一般是不成立的 例2 研究随机现象 不仅关心试验中会出现哪些事件 更重要的是想知道事件出现的可能性大小 也就是事件的概率 概率是随机事件发生可能性大小的度量 事件发生的可能性越大 概率就越大 1 2随机事件的概率 一 事件的频率与概率 事件发生的可能性最大是百分之百 此时概率为1 0 P A 1 我们用P A 表示事件A发生的概率 则 事件发生的可能性最小是零 此时概率为0 一个根本的问题是 对于一个给定的随机事件 它发生可能性大小的度量 概率 究竟是多大 以投掷一枚硬币为例 在充分多次试验中 事件的频率总在一个定值附近摆动 而且 试验次数越多 一般来说摆动越小 这个性质叫做频率的稳定性 很大时事件的频率作为概率的估计值 实际中 当概率不易求出时 人们常取实验次数 称此概率为 此定义称为概率的统计定义 优点 直观易懂 缺点 粗糙模糊 不便使用 下面介绍用公理给出的概率定义 1933年 前苏联数学家柯尔莫哥洛夫给出了概率的公理化定义 即通过规定概率应具备的基本性质来定义概率 柯尔莫哥洛夫提出的公理为数很少且极为简单 但在此基础上建立起了概率论的宏伟大厦 因为频率的本质就是概率 因此 可以要求概率也具有以上三条性质 二 概率的公理化定义 完全可加性 三 概率测度的性质 减法公式 加法公式 1 3古典概型与几何概型 常常把这样的试验结果称为 等可能的 e1 e2 eN 试验结果 例如 一个袋子中装有10个大小 形状完全相同的球 将球编号为1 10 把球搅匀 蒙上眼睛 从中任取一球 2 3 4 7 9 10 8 6 1 5 称这样一类随机试验为古典概型 这样就把求概率问题转化为计数问题 排列组合是计算古典概率的重要工具 countingtechniques 1 加法原理 2 乘法原理 排列 组合的几个简单公式 例3设有N件产品 其中有M件次品 现从这N件中任取n件 求其中恰有k件次品的概率 这是一种