9-第九讲 斜激波

三 三 激波后气流的计算激波后气流的计算 1 的关系式的关系式 121 M p p 由与的关系式 可得到 2 M 1 M 1M 1k 2k 1 1k 1k M 1k 2k p p 2 1 2 1 1 2 2 的关系式的关系式 121 M T T 由与的关系式 可得到 2 M 1 M 2 1 2 2 1 2 1 1 2 M 1k 2 1 k 1M 1k 2k M 2 1k 1 T T 3 的关系式的关系式 11221 M V V 2 12 1 1 2 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 M 1k 2 1k 1k V V M 1 k 2 M 1k 1k T T p p 讨论 讨论 6 1k 1k lim 1 2 M 四 四 Rankine Hugoniot 关系式 激波压缩与等熵压缩的比较关系式 激波压缩与等熵压缩的比较 联系压强比和密度比的重要关系式 1 由 得到 1 M 1k 2k 1 p p 2 1 1 2 2k 1k p p 2k 1k M 1 22 1 2 带入 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 M 1 k 2 M 1k 1k T T p p 得到 Rankine Hugoniot 关系式关系式 1k 1k p p 1 p p 1k 1k 1 2 1 2 1 2 或 1 2 1 2 1 2 1 k 1k 1 1k 1k p p 讨论 讨论 激波与等熵压缩的比较 等熵 k 1k 1212 k 1212 p p T T p p 激波 时 1 M 1k 1k p p 1212 等熵 1212 p p 五 五 激波强度激波强度 定义 压强增量对初始压强之比 即 1M 1k 2k 1 p p p pp P 2 1 1 2 1 12 例例 1 的空气通过静止的激波 试求通过激波后293KT 101kPap 5 1M 111 的气流速度 V 和滞止压强 解 解 1 由激波前后气流马赫数关系式 7011 0 M4915 0 95 2 45 1 2 1k kM M 2 1k 1 M 2 2 1 2 1 2 2 2 由激波前后气流温度关系式 2 1 2 2 1 2 1 1 2 M 1k 2 1 k 1M 1k 2k M 2 1k 1 T T 得到激波后气流温度为 KT 8 386 2 得到激波后气流音速为 smkRTa 3 394 22 得到激波后气流速度为 smaMV 4 276 222 3 由激波前后气流压强关系式 458 2 1 1 2 1 p p 2 1 1 2 M k k 得到激波后气流压强为 kPap 3 248 2 4 由 388 1 M 2 1k 1 p p 1k k 2 2 2 02 得到 kPap 8 344 02 例例 2正激波以 600m s 的速度在静止的空气中前进 静止空气压强为 103kPa 温度为 293K 试求激波后的 M2 p2 T2和 V2 解 1 由相对运动 假设气流以 600m s 的速度流过一个静止的激波 则气流的马赫数计 算如下 749 1 114 343 600 1932874 1 600 1 1 1 kRT V M 2 由激波前后马赫数的关系式 3948 0 0826 4 6118 1 2 1k kM M 2 1k 1 M 2 1 2 1 2 2 可算出激波后气流相对于激波的马赫数 628 0 2 M 3 由激波前后气流速度关系式 439 0 M 1k 2 1k 1k V V 2 11 2 得到激波后气流相对 激波 速度为 smV 45 632 2 激波后气流的绝对速度为 smVVV 55 6 33 212 5 由激波前后气流温度关系式 494 1 52 0 22 413 20612 1 M 1k 2 1 k 1M 1k 2k M 2 1k 1 T T 2 1 2 2 1 2 1 1 2 得到激波后气流温度为 KT5 7 374 2 6 由激波前后气流压强关系式 402 3 1 1 2 1 p p 2 1 1 2 M k k 得到激波后气流压强为 kPap42 350 2 7 激波后气流的音速为 s 39m 419kRTa 22 得到激波后气流的绝对马赫数为 8025 0 a V M 2 s 2 习题 习题 有一来流 波前的马赫数 绝对压强 温度 求9 1M1 75kPap1 273KT1 1 波前的音速和流速 331 2 m s 629 3 m s 2 波后的音速 流速和马赫数 419 9 m s 250 1 m s 0 355 3 波后的压强和滞止压强 303 4 kPa 385 7kPa 第二节第二节 斜激波前后气流参数的关系斜激波前后气流参数的关系 超音速气流流经凹钝角时将会产生斜激波 目的目的 分析斜激波前后气流参数的关系 出发点出发点 四个基本方程 一 一 基本关系式基本关系式 V1 V1tV1n V2t V2n V2 气流折转角 激波角 1 连续性方程 nn VV 2211 2 状态方程 RTp 3 动量方程 1 沿激波法线方向 n 122111 ppVVV nnn 2 沿激波切线方向 t 沿激波面无切向压强的变化 故为 ttt ttn VVV VVV 21 2111 0 讨论讨论 气流通过斜激波时 切向速度不变 只有法向速度的改变 斜激波相当于法向分速度的正激波 4 能量方程 绝热过程 222 2 2 2 2 1 1 2 0 V i V i V ii 由于 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 tntn VVVVVV 得到 222 0 2 0 2 2 2 2 1 1 i V i V i V i tnn 二 二 斜激波气流关系式斜激波气流关系式 1 因斜激波相当于法向分速度的正激波 故只要将正激波关系式中的各脚标 1 2 换成 1n 2n 总焓以 即可 2 2 00 t V ii sin 11 VV n sin sin M 1 1 1 1 1 1n M a V a V n 2 对斜激波有 1 1 sin 1 2 p p 22 1 1 2 k k M k k 22 1 22 1 1 2 sinM 1 k 2 sinM 1k 1k 2 1 2 2 1 2 1 1 2 M 1k 2 1 k 1M 1k 2k M 2 1k 1 T T sin 1 2 1k sinkM sinM 2 1k 1 M 2 22 1 22 1 2 2 考虑到 2 2 0 0 a 1k 2 1k 2 a 1k kRT i 相应的有 Prandtl 关系式 22 2 t 0 0 2 21 1 1 2 V i 1k 1k 2 i 1k 1k 2 t nn V k k a aVV 3 与的关系式 2 2cos 1sin 2 sin 1 2sin 1 2 1 22 1 22 1 22 1 2 1 1 2 2 1 kM M tgtg Mk Mk V V tg tg V V tg V V tg n n t n t n 讨论 讨论 对每一个 有一个最大值 当 时 就要产生脱体激波 其 1 M m m 原因是由于 过大 是激波后压强过大 致使激波不能稳定在壁面折转点上 而要想 前推移 三 三 激波极线激波极线 利用图形 针对 和 求出激波后的 和 以及 与 1 V 1 M 2 V 2 M 12 p p 的关系 y x t V 2 V 2n V 1n V 1x V 1 V 2y V cosVVsinVV 1t11n 作图步骤 1 设 方向与 x 轴一致 1 V 2 做极角为 和 两条线 3 沿 线分解为 和 1 V t V 1n V 1nt1 VVV 4 波后流动 沿极线 方向 2 V 2nt2y2x2 VVVVV 1 推导与的关系式 2x V 2y V sinVcosVV 2nt2x sinVV cosVV 11n1t 由 Plandtl 关系式 22 21 1 1 tnn V k k aVV 有 22 1 2 1 2 1 2 t 2 1n 2 12x cosV 1k 1k a V 1 cosV V 1k 1k a V sin cosVV 2x 1 2 1 1 2 2x 2 V V a V 1k 2 V a V ctg 由于 2x1 2y VV V tgctg 2 2x1 2 2y 2 V V V ctg 最后有 2x 1 2 1 1 2 2x 2 2x1 2 2y V V a V 1k 2 V a V VV V 上式代表一条环索线 激波极线激波极线 1 2 3 C x V C y V C 1 V C 2 V C 0 0 B K M 1 做 1 VOB 2 做 角极线 点实验得知为 不可能点 2 VV3 12 3 过 B 点及 2 点作直线 BK 则 OK 为激波方向 4 为气流折转角的最大值 BOM 当 要产生脱体激波 m 5 激波极线 无量纲化 将上式无量纲化 通除 得到 a 1 a V a V a V 1k 2 1 a V a V a V a V a V 2x 12 1 2x 1 2 2x 1 2 2y 以为横坐标 以为纵坐标 可对不同的 M 画出不同的环索线 激波极线激波极线 1 a V 2y a V 环索线的一部分如下 2y a V M 例例 3如图 已知 5 290KT 3kPa 101p 2M 111 求 0222222 p V T p M 1 M 1 1 T p 22 22 p T V M 激波 解 由 2 2cos 1sin 2 2 1 22 1 kM M tgtg 3 34 由 sin 1 2 1k sinkM sinM 2 1k 1 M 2 22 1 22 1 2 2 821 1 M2 1 a V 由 215 1 sinM 1 k 2 sinM 1k 1k 22 1 22 1 1 2 3 2 3 1 m 478kg 1 m 215kg 1 315 1 1 1 sin 1 2 p p 22 1 1 2 k k M k k 3kPa 1