求二次函数解析式的常用方法.doc

求二次函数解析式的常用方法二次函数是初中数学的一个重要内容，也是高中数学的一个重要基础。熟练地求出二次函数的解析式是解决二次函数问题的重要保证。 一、二次函数的解析式有三种基本形式：1、一般式：y=ax+bx+c (a0)。2、顶点式：y=a(xh)+k (a0)，其中点(h,k)为顶点，对称轴为x=h。3、交点式：y=a(xx)(xx) (a0)，其中x,x是抛物线与x轴的交点的横坐标。二、求二次函数解析式的方法.求二次函数的解析式一般用待定系数法，但要根据不同条件，设出恰当的解析式：1、若给出抛物线上任意三点，通常可设一般式。2、若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最值，通常可设顶点式。3、若给出抛物线与x轴的交点或对称轴或与x轴的交点距离，通常可设交点式。三、探究问题，典例指津：例1、已知二次函数的图象经过点和求这个二次函数的解析式分析：由于题目给出的是抛物线上任意三点，可设一般式y=ax+bx+c (a0)。解：设这个二次函数的解析式为y=ax+bx+c (a0)依题意得： 解这个方程组得：这个二次函数的解析式为y=2x+3x4。例2、已知抛物线的顶点坐标为，与轴交于点，求这条抛物线的解析式。分析：此题给出抛物线的顶点坐标为，最好抛开题目给出的，重新设顶点式y=a(xh)+k (a0)，其中点(h,k)为顶点。解：依题意，设这个二次函数的解析式为y=a(x4)1 (a0)又抛物线与轴交于点。a(04)1=3 a=这个二次函数的解析式为y=(x4)1，即y=x2x+3。例3 已知A（2，0），B（1，0），C（1，3）三个点在抛物线上，求二次函数的解析式分析：由A、B两点的纵坐标为0知，这两点是抛物线与x轴的交点解 设二次函数的解析式为再把点C（1，-3）的坐标代入，得3a（12）（11），点评：上述3个例题均可采用二次函数的一般式求解练习1：1、已知抛物线经过A（0，4），B（1，3）和C（2，6）三点，求二次函数的解析式2、已知抛物线经过三点A (2,-6),B (3,-8),C (6,10),求它的解析式。y= 2x 212x +103、已知抛物线过A（2，0）、B（1，0）、C（0，2）三点。求这条抛物线的解析式。） y=(x+2)(x1)，即y=xx+2。4、 已知二次函数的图象顶点为（2，3），且经过点（3，1），求这个二次函数的解析式 5、已知抛物线的顶点坐标为A( 2, 8 ),且经过点B( 5 ,1 ),求抛物线的解析式。 y=x 2 + 4x + 46、已知二次函数的图象与X轴交于A(3,0), B(1,0),且经过点C(2,5),求抛物线的解析式. y=x 22x27、已知抛物线的顶点坐标为，与轴交于点，求这条抛物线的解析式。 y=(x2)+1，即y=x4x+5。四、发散思维，提升能力例4 已知二次函数的图象经过点A（3，2）和B（1，0），且对称轴是直线x3求这个二次函数的解析式思路启迪一已知对称轴是直线x3，因对称轴经过顶点，所以这是与顶点有关的问题把A（3，2），b（1，0）两点的坐标代入，得思路启迪二由对称轴是直线x3，且点A的横坐标是3，知点A（3，2）是抛物线的顶点，可设解析式为顶点式思路启迪三由对称轴是直线x3，可得关于a、b的一个方程又知图象经过两定点，可设解析式为一般式。思路启迪四由点B（1，0）的纵坐标是0知，它是抛物线与x轴的交点，若能求出抛物线与x轴的另一个交点，即点B关于对称轴x3的对称点则可设解析式为交点式思路启迪五同解法4得到B（5，0），就具备了图象过三个定点，可设其解析式为一般式点评：例4各解法中以解法2最佳它体现在对点A（3，2）是所求抛物线的顶点这一隐含条件挖掘得好因此，我们在解题过程中既要学会一题多思，一题多解，拓开思路；更要注意寻求合理的解题途径，选好突破口注 本题还可直接把A、B、B三点坐标代入所设一般式，求a、b、c的值例5 已知二次函数的图象经过和两点，且图象与x轴的两个交点间的距离为4求二次函数的解析式思路启迪已知抛物线与x轴的两个交点间的距离，不知道它的对称轴，情况就比上述问题要复杂得多利用A、B两点的坐标可以确定两个方程，即根据待定系数法的要求，必须设法找到第三个方程，才能利用二次函数的一般式求得a、b、c的值规范解法1 因为抛物线与x轴交点的横坐标是一元二次方程的两个根方程的求根公式为即。两边平方，得规范解法2 根据一元二次方程根与系数的关系，点评：以上变形方法应熟练掌握，它们对解决“已知抛物线与x轴的两个交点间的距离，求二次函数解析式”的问题大有益处练习2：1、已知抛物线经过两点A(1,3) , B (1, 5) , 且对称轴是直线x =2,求抛物线的解析式. y=x 2 + 4x +2已知二次函数的图象与x轴交于A（-2，0），B（3，0）两点，且函数有最大值为2，求二次函数的解析式。二次函数y=ax2+4ax+c的最大值为4，且图象经过点（-3，0），求二次函数的解析式。2、已知二次函数的顶点坐标为（3，2），并且图象与x轴两交点间的距离为4求二次函数的解析式 例6：如图,抛物线y=ax2-5ax+4经过ABC的三个顶点,已知BCx轴,点A在x轴的负半轴上,点C在y轴上,且AC=BC求抛物线的解析式.例7：直线y=-x-1与抛物线y=ax2+4ax+b交于x轴上A点和另一点D，抛物线交y轴于C点，且CDx轴，求抛物线解析式解：如图，直线y=-x-1交于x轴上A点，A（-1，0），抛物线y=ax2+4ax+b交于x轴上A点，a-4a+b=0，b=3a，由抛物线y=ax2+4ax+b可知C（0，b），CDx轴，D的纵坐标为b，点D在直线y=-x-1上，x=-b-1，D（-b-1，b），直线y=-x-1与抛物线y=ax2+4ax+b交于点D,b=a（-b-1）2+4a（-b-1）+b，a（-3a-1）2+4a（-3a-1）=0，即：a（-3a+3a）（-3a-1）=0，解得：a=0（舍去）或a=1或a=-1/3 ，抛物线解析式为y=x2+4x+3或y=- 1/3x2- 3/4x-1例8、如图，已知两点A（8，0），（2，0），以AB为直径的半圆与y轴正半轴交于点C。求经过A、B、C三点的抛物线的解析式。分析：A、B两点实际上是抛物线与x轴的交点，所以可设交点式y=a(xx)(xx) (a0)，其中x,x是抛物线与x轴的交点的横坐标。解：依题意，设这个二次函数的解析式为y=a(x+8)(x2)又连结AC、BC，利用射影定理或相交弦定理的推论易得：OC=ACBC=82 OC=4即C(0,4)。a(0+8)(02)=4 a=这个二次函数的解析式为y=(x+8)(x2)，即y=xx+4。例9、 如图,二次函数y =ax 2+bx +c的图象与x轴交与A、B两点,与y轴交与C点,且AC=20, BC=15,ACB=90,求这个二次函数的解析式. 解：在RtABC中 AB= = =25 S ABC = ACBC = ABOC , OC= =12 AC2 =ACAB OA = =16 OB=ABOA= 9 从而得A(16, 0 ), B (9,0), C ( 0,12), 于是可得函数解析式为 y =x2 x12例10：已知抛物线与x轴交于点A（1，0），B（3，0），且过点C（0，3）（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；（2）请你写出一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在直线y=x上，并写出平移后抛物线的解析式 解：（1）抛物线与x轴交于点A（1，0），B（3，0），可设抛物线解析式为。把C（0，3）代入得：3a=3，解得：a=1。抛物线解析式为，即。，顶点坐标为（2，1）。（2）先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的抛物线的解析式为y=x2，平移后抛物线的顶点为（0，0）落在直线y=x上。例11：将抛物线c1：y=-3x2+3沿x轴翻折,得抛物线c2。（1）请直接写出抛物线c2的关系式；（2）现将抛物线C1向左平移m个单位长度,平移后得到的新抛物线的顶点为M,与x轴的交点从左到右依次为A,B；将抛物线C2向右也平移m个单位长度,平移后得到的新抛物线的顶点为N,与x轴交点从左到右依次为D,E当B,D是线段AE的三等分点时,求m的值；在平移过程中,是否存在以点A,N,E,M为顶点的四边形是矩形的情形?解：（1）y=3x-3 （2）令-3x+3=0 x=1所以C1与x轴的两个交点为（-1,0）,（1,0）A（-1-m,0）B（1-m,0）同理：D（-1+m,0）E（1+m,0） 当AD=1/3AE时,（-1+m）-（-1-m）=1/3(1+m)-(-1-m)m=1/2 当AB=1/3AE时,(1-m)-(-1-m)=1/3(1+m)-(-1-m) m=2 当m=1/2或2时,B、D是线段AE的三等分点 连结AN、NE、EM、MA,由题意得M(-m,3),N（m,-3） 即M,N关于原点对称,OM=ON A（-1-m,0）,E（1+m,0） A,E关于原点O对称, OA=OE, 四边形ANEM为平行四边形. 要使平行四边形ANEM为矩形,必需满足OM=OA, 即m+（3）=（-1-m） .m=1.当m=1时,以点A,N,E,M为顶点的四边形是矩形.例12：将抛物线Y=2x2-4x-1沿直线x=-1翻折 得到的抛物线解析式为 解：Y=2x-4x-1=2(x-2x+1)-1-1=2(x-1)-1-1=2(x-1)-2-1=2(x-1)-3此抛物线的顶点是（1,-3）将它沿直线x=-1翻折,则顶点变为（-3,-3）,但抛物线的开口方向和开口的大小不变,则所得的抛物线的解析式是：y=2(x+3)-3=2x+12x+15.例14：把抛物线y=-x2+x沿x轴向右平移1个单位后，再沿x轴翻折得到抛物线C1称为第一次操作，把抛物线C1沿x轴向右平移1个单位后，再沿x轴翻折得到抛物线C2称为第二次操作，以此类推，则抛物线y=-x2+x经过第2014此操作后得到的抛物线C2014的解析式为( )A.y=- B.y=- C.y=+ D.y=-+例14：如图,已知抛物线C1:y=2/3x的平方+16/3x+8与抛物线C2关于y轴对称,求抛物线C2的解析式. y=2/3x2-16/3x+8例15：将抛物线y=x-2x+1的图像绕它的顶点a旋转180度,求旋转后,抛物线的解析式.解：原抛物线的顶点为（1,0）,抛物线y=x2-2x+1的图象绕它的顶点A旋转180后开口方向将改变,顶点坐标不再改变,所以a=-1,新抛物线的顶点坐标为（1,0）,可设旋转后的抛物线的函数关系式为y=-（x-h）2+k,解得y=-（x-1）2,整理得y=-x2+2x-1例16：如图所示，已知抛物线C1、C2关于x轴对称，抛物线C1、C3关于y轴对称如果抛物线C2的解析式是，那么抛物线C3的解析式是_例17、 已知：如图，抛物线与轴交于点A（，0）和点B，将抛物线沿轴向上翻折，顶点P落在点P（1，3）处（1）求原抛物线的解析式；（2）学校举行班徽设计比赛，九年级5班的小明在解答此题时顿生灵感：过点P作轴的平行线交抛物线于C、D两点，将翻折后得到的新图象在直线CD以