四川省木里县中学高三数学总复习-动点轨迹问题-新人教A版

1 动点轨迹问题动点轨迹问题 一 专题内容 一 专题内容 求动点的轨迹方程实质上是建立动点的坐标之间的关系式 首先要分析 P x y x y 形成轨迹的点和已知条件的内在联系 选择最便于反映这种联系的坐标形式 寻求适当关 系建立等式 常用方法有 1 等量等量 关系法关系法 根据题意 列出限制动点的条件等式 这种求轨迹的方法叫做等量关 系法 利用这种方法时 要求对平面几何中常用的定理和解析几何中的有关基本公式很熟 悉 2 定义法定义法 如果动点满足的条件符合某种已知曲线 如圆锥曲线 的定义 可根据其 定义用待定系数法求出轨迹方程 3 转移代入法转移代入法 如果所求轨迹上的点是随另一个在已知曲线 P x yC 上的动点的变化而变化 且能用表示 即 0F x y 00 M xy 00 xy x y 则将代入已知曲线 化简后即为所求的 0 xf x y 0 yg x y 00 xy 0F x y 轨迹方程 4 参数法参数法 选取适当的参数 如直线斜率等 分别求出动点坐标与参数的关k x y 系式 得出所求轨迹的参数方程 消去参数即可 5 交轨法交轨法 即求两动直线交点的轨迹 可选取同一个参数 建立两动直线的方程 然 后消去参数 即可 有时还可以由三点共线 斜率相等寻找关系 注意 轨迹的完备性和纯粹性 一定要检验特殊点和线 注意 轨迹的完备性和纯粹性 一定要检验特殊点和线 二 相关试题训练二 相关试题训练 一 选择 填空题 一 选择 填空题 1 已知 是定点 动点满足 则动点 1 F 2 F 12 8FF M 12 8MFMF 的轨迹是 A 椭圆 B 直线 C 圆 D 线段M 2 设 的周长为 36 则的顶点的轨迹方程是 0 5 M 0 5 N MNP MNP P A B 22 1 25169 xy 0 x 22 1 144169 xy 0 x C D 22 1 16925 xy 0y 22 1 169144 xy 0y 3 与圆外切 又与轴相切的圆的圆心轨迹方程是 22 40 xyx y 4 P 在以 为焦点的双曲线上运动 则的重心 G 的轨迹方程是 1 F 2 F 22 1 169 xy 12 F F P 2 5 已知圆 C 内一点 圆 C 上一动点 Q AQ 的垂直平 22 3 16xy 3 0 A 分线交 CQ 于 P 点 则 P 点的轨迹方程为 2 2 1 4 x y 6 ABC 的顶点为 ABC 的内切圆圆心在直线上 则顶 5 0 A 5 0 B3x 点 C 的轨迹方程是 22 1 916 xy 3x 变式 若点为双曲线的右支上一点 分别是左 右焦点 则 P 22 1 916 xy 1 F 2 F 的内切圆圆心的轨迹方程是 12 PFF 推广 若点为椭圆上任一点 分别是左 右焦点 圆与线段P 22 1 259 xy 1 F 2 FM 的延长线 线段及轴分别相切 则圆心的轨迹是 1 FP 2 PFxM 7 已知动点到定点的距离比到直线的距离少 1 则点的轨迹方程M 3 0 A40 x M 是 2 12yx 8 抛物线的一组斜率为的平行弦的中点的轨迹方程是 2 2yx k 4 k x 2 8 k y 9 过抛物线的焦点作直线与抛物线交于 P Q 两点 当此直线绕焦点旋转时 2 4yx FF 弦中点的轨迹方程为 PQ 解法分析 解法分析 解法解法 1 1 当直线的斜率存在时 PQ 设 PQ 所在直线方程为 与抛物线方程联立 1 yk x 消去得 2 1 4 yk x yx y 2222 24 0k xkxk 3 设 中点为 则有 11 P x y 22 Q xyPQ M x y 消得 2 12 2 2 2 2 1 xxk x k yk x k k 2 2 1 yx 当直线的斜率不存在时 易得弦的中点为 也满足所求方程 PQPQ 1 0 F 故所求轨迹方程为 2 2 1 yx 解法解法 2 2 设 11 P x y 22 Q xy 由 得 设中点为 2 11 2 22 4 4 yx yx 121212 4 yyyyxx PQ M x y 当时 有 又 12 xx 12 12 24 yy y xx 1 PQMF y kk x 所以 即 2 1 y y x 2 2 1 yx 当时 易得弦的中点为 也满足所求方程 12 xx PQ 1 0 F 故所求轨迹方程为 2 2 1 yx 10 过定点作直线交抛物线于 A B 两点 过 A B 分别作抛物线 C 的 1 4 P C 2 2yx 切线交于点 M 则点 M 的轨迹方程为 44yx 二 解答题 二 解答题 1 一动圆过点 且与圆相内切 求该动圆圆心的轨迹方 0 3 P 22 3 100 xy C 程 定义法 2 过椭圆的左顶点作任意弦并延长到 使 22 1 369 xy 1 A 1 A EF 1 EFAE 为椭圆另一顶点 连结交于点 2 AOF 2 A EP 求动点的轨迹方程 P 直接法 定义法 突出转化思想 F 1 A 2 A x y P E O 4 3 已知 是椭圆的长轴端点 是椭圆上关于长轴对称的两 1 A 2 A 22 22 1 xy ab PQ 12 A A 点 求直线和的交点的轨迹 交轨法 1 PA 2 QAM 4 已知点 G 是 ABC 的重心 在轴上有一点 M 满足 0 1 0 1 AB x MAMC GMABR 1 求点 C 的轨迹方程 2 若斜率为的直线 与点 C 的轨迹交于不同两点 P Q 且kl 满足 试求的取值范围 APAQ k 解 1 设 则由重心坐标公式可得 C x y 3 3 x y G 点在轴上 GMAB Mx 0 3 x M 即 MAMC 0 1 A 222 1 33 xx xy 2 2 1 3 x y 故点的轨迹方程为 直接法 C 2 2 1 3 x y 1y 2 设直线 的方程为 的中点为 lykxb 1b 11 P x y 22 Q xyPQN 由消 得 22 33 ykxb xy y 222 1 3 63 1 0kxkbxb 即 2222 3612 1 3 1 0k bkb 22 1 30kb 又 12 2 6 1 3 kb xx k 2 1212 22 62 22 1 31 3 k bb yyk xxbb kk 5 22 3 1 31 3 kbb N kk 即 APAQ ANPQ 1 AN k k 2 2 1 1 1 3 3 1 3 b k kb k k 又由 式可得 且 2 1 32kb 2 20bb 02b 1b 且 解得且 2 01 34k 2 1 32k 11k 3 3 k 故的取值范围是且 k11k 3 3 k 5 已知平面上两定点 为一动点 满足 0 2 M 0 2 NPMP MNPNMN 求动点的轨迹的方程 直接法 PC 若 A B 是轨迹上的两动点 且 过 A B 两点分别作轨迹的切线 CANNB C 设其交点为 证明为定值 QNQ AB 解 设 由已知 P x y 2 MPx y 0 4 MN 2 PNxy 48MP MNy 3 分 22 4 2 PNMNxy MP MNPNMN 48y 22 4 2 xy 整理 得 2 8xy 即动点的轨迹为抛物线 其方程为 PC 2 8xy 6 已知 O 为坐标原点 点 动点 满足 1 0 E 1 0 FAMN AEm EF 求点 M 的轨迹 W 的方程 1m 0MN AF 1 2 ONOAOF AMME 解 0MN AF 1 2 ONOAOF 6 MN 垂直平分 AF 又 点 M 在 AE 上 AMME 2AMMEAEm EFm MAMF 2 MEMFmEF 点 M 的轨迹 W 是以 E F 为焦点的椭圆 且半长轴 半焦距 am 1c 2222 1bacm 点 M 的轨迹 W 的方程为 22 22 1 1 xy mm 1m 7 7 设 为直角坐标系内轴正方向上的单位向量 若向量 x yR i j x y 且 2 axiyj 2 bxiyj 8ab 1 求点的轨迹的方程 定义法 M x yC 2 过点作直线 与曲线交于 两点 设 是否存在这样的 0 3 lCABOPOAOB 直线 使得四边形是矩形 若存在 求出直线 的方程 若不存在 试说明理lOAPBl 由 解 1 22 1 1216 xy 2 因为 过轴上的点 若直线 是轴 则两点是椭圆的顶点 ly 0 3 ly A B 所以与 重合 与四边形是矩形矛盾 0OPOAOB POOAPB 故直线的斜率存在 设 方程为 ll3ykx 1122 A x yB xy 由 消得此时 22 3 1 1216 ykx xy y 22 43 18210 kxkx 恒成立 且 22 18 4 43 21 kk 0 12 2 18 43 k xx k 12 2 21 43 x x k 所以四边形是平行四边形 OPOAOB OAPB 若存在直线 使得四边形是矩形 则 即 lOAPBOAOB 0OA OB 1122 OAx yOBxy 1212 0OA OBx xy y 即 2 1212 1 3 90kx xk xx 得 2 22 2118 1 3 4343 k kk kk 90 2 5 16 k 5 4 k 故存在直线 使得四边形是矩形 l 5 3 4 yx OAPB 8 8 如图 平面内的定点F到定直线l的距离为 2 定点E满足 2 且于 EF EFl G 点Q是直线 上一动点 点M满足 点P满足 lFMMQ PQEF 0PM FQ I 建立适当的直角坐标系 求动点P的轨迹方程 II 若经过点E的直线与点P的轨迹交于相异两点A B 令 当 1 lAFB 时 求直线的斜率的取值范围 3 4 1 lk 解 1 以的中点为原点 以所在直线为轴 建立平面直角坐标系 FGOEFyxoy 设点 P x y 则 0 1 F 0 3 E 1l y FMMQ PQEF 1 Q x 0 2 x M 0PM FQ 2 0 2 x xy 即所求点的轨迹方程为 P 2 4xy 2 设点 212211 xxyxByxA 设 AF 的斜率为 BF 的斜率为 直线的方程为 1 k 2 k 1 l3 kxy 9 由 6分 yx kxy 4 3 2 0124 2 kxx得 7 分 124 2121 xxkxx9 4 44 221 2 2 2 1 21 xxxx yy 8 分646 2 2121 kxxkyy 1 1 1 1 21212211 yyxxFBFAyxFByxFA 84 164912 1 2 2 212121 k k yyyyxx 1 1 21 yyFBFA 又16416491 22 2121 kkyyyy 10 分 4 2 164 84 cos 2 2 2 2 k k k k FBFA FBFA 由于 11 分 4 3 2 2 4 2 1 2 2 cos1 2 2 k k 即 解得 13 分 22 2 2 4 2 2 2 2 k k k 44 88 kk或 直线斜率 k 的取值范围是 1 l 8 8 44 kkk或 9 如图所示 已知定点 动点在轴上运动 过点作交轴于点 1 0 FPyPPMxM 并延长到点 且 MPN0PM PF PMPN 1 求动点的轨迹方程 N 2 直线 与动点的轨迹交于 两点 若 且 lNAB4OA OB 4 6 4 30AB 求直线 的斜率的取值范围 lk 解 1 设 由得 N x y PMPN 0 Mx 0 2 y P 2 y PMx 1 2 y PF 又 即动点的轨迹方程为0PM PF 2 0 4 y x N 2 4yx 2 x y o M N P F 10 10 已知点 点在轴上 点在轴上 为动点 满足 0 1 FMxNyP0MN MF 0MNMP 1 求点轨迹的方程 PE 2 将 1 中轨迹按向量平移后得曲线 设是上任一点 过作E 0 1 a E Q E Q 圆的两条切线 分别交轴与 两点 求的取值范围 22 1 1xy xAB AB 解 1 设 则 0 M a 0 Nb P x y MNa b 1 MFa MPxa y 由题意得 1 0 0 0 a ba a bxa y 2 0 2 ab x aby 2 1 4 yx 故动点的轨迹方程为 P 2 1 4 yx 2 11 如图和两点分别在射线 上移动 且 3 A mm 3 B nn OSOT 1 2 OA OB 为坐标原点 动点满足 OPOPOAOB 1 求的值 2 求点的轨迹的方程 并说明它表示怎样的曲线 m n PC 3 若直线l过点交 2 中曲线于 两点 且 求 的方 2 0 ECMN3MEEN l 程 解 1 由已知得 1 3 3 2 2 OA OBmmnnmn 1 4 mn O A P B x y 11 2 设 P 点坐标为 由得 x y0 x OPOAOB 3 3 x ymmnn 3 mnmn 消去 可得 3 xmn ymn mn 2 2 4 3 y xmn 又因 P 点的轨迹方程为 1 4 mn 2 2 1 0 3 y xx 它表示以坐标原点为中心 焦点在轴上 且实轴长为 2 焦距为 4 的双曲线x 的右支 2 2 1 3 y x 3 设直线l的方程为 将其代入 C 的方程得2xty 即 22 3 2 3tyy 22 31 1290tyty 易知 否则 直线l的斜率为 它与渐近线平行 不符合题意 2 31 0t 3 又 222 14436 31 36 1 0ttt 设 则 1122 M x yN xy 121222 129 3131 t yyy y tt l与 C 的两个交点在轴的右侧 M Ny 2 12121212 2 2 2 4x xtytyt y yt yy 2 2 222 91234 240 313131 tt tt ttt 即 又由同理可得 2 310t 21 0 3 t 12 0 xx 21 0 3 t 由得 3MEEN 1122 2 3 2 xyxy 12 12 23 2 3 xx yy 由得 122222 12 32 31 t yyyyy t 22 6 31 t y t 由得 2 122222 9 3 3 31 y yyyy t 2 22 3 31 y t 消去得 考虑几何求法 考虑几何求法 2 y 2 222 363 31 31 t tt 解之得 满足 21 15 t 21 0 3 t 故所求直线l存在 其方程为 或 152 50 xy 152 50 xy 12 12 设 A B 分别是直线和上的两个动点 并且 动 2 5 5 yx 2 5 5 yx 20AB 点 P 满足 记动点 P 的轨迹为 C OPOAOB I 求轨迹 C 的方程 II 若点 D 的坐标为 0 16 M N 是曲线 C 上的两个动点 且 求实数DMDN 的取值范围 解 I 设 因为 A B 分别为直线和上的点 故可设 P x y 2 5 5 yx 2 5 5 yx 11 2 5 5 A xx 22 2 5 5 B xx OPOAOB 12 12 2 5 5 xxx yxx 12 12 5 2 xxx xxy 又 20AB 22 1212 4 20 5 xxxx 即曲线 C 的方程为 22 54 20 45 yx 22 1 2516 xy II 设 N s t M x y 则由 可得 x y 16 s t 16 DNDM 故 xs 16 16 yt M N 在曲线 C 上 1 16 1616t 25 s 1 16 t 25 s 222 22 消去 s 得 1 16 1616t 16 t16 222 由题意知 且 解得 0 1 1715 2 t 又 解得 4t 4 2 1517 3 5 5 3 1 故实数的取值范围是 3 5 5 3 1 13 13 设双曲线的两个焦点分别为 离心率为 2 22 2 1 3 yx a 1 F 2 F 1 求此双曲线的渐近线 的方程 1 l 2 l 3 3 yx 2 若 A B 分别为 上的动点 且 求线段 AB 的中点 M 的轨迹方 1 l 2 l 12 2 5 ABFF 程 并说明是什么曲线 22 3 1 7525 xy 提示 又 2 2 1212 10 10ABxxyy 11 3 3 yx 22 3 3 yx 则 1221 3 3 yyxx 2112 3 3 yyxx 又 代入距离公式即可 12 2xxx 12 2yyy 3 过点是否存在直线 使 与双曲线交于 两点 且 若 1 0 NllPQ0OP OQ 存在 求出直线 的方程 若不存在 说明理由 不存在 l 14 已知点 直线 设动点 P 到直线 的距离为 已知 1 0 F 2lx ld 2 2 PFd 且 1 求动点 P 的轨迹方程 23 32 d 2 若 求向量与的夹角 1 3 PF OF OP OF 3 如图所示 若点 G 满足 点 M 满足2GFFC 且线段 MG 的垂直平分线经过点 P 求3MPPF l x y C GF O P M 14 PGF 的面积 15 如图 直线与椭圆 交于 A B 两点 以 OA OB 1l ykx 22 2C axy 1a 为邻边作平行四边形 OAPB O 为坐标原点 1 若 且四边形 OAPB 为矩形 求的值 1k a3a 2 若 当变化时 求点 P 的轨迹方程 2a kkR 22 220 xyy 0y 16 双曲线 C 的离心率为 2 其中 22 22 1 xy ab 0a 0b 0 Ab 0 B a 15 且 1 求双曲线 C 的方程 2222 4 3 OAOBOAOB 2 若双曲线 C 上存在关于直线 对称的点 求实数的取值范围 l4ykx k 解 I 依题意有 2222 222 c 2 a 4 aba b 3 abc 解得 2 3 1 cba 所求双曲线的方程为 6 分 1 3 2 2 y x 当 k 0 时 显然不存在 7 分 当 k 0 时 设双曲线上两点 M N 关于直线l对称 由l MN 直线 MN 的方程为 则 M N 两点的坐标满足方程组 1 yxb k 由 消去 y 得 22 1 yxb k 3xy3 9 分 2222 3k1 x2kbx b3 k0 显然 2 3k10 2222 2kb 4 3k1 b3 k0 即 222 k b3k10 设线段 MN 中点 D 00 x y 则 0 2 2 0 2 kb x 3k1 3k b y 3k1 D 在直线l上 00 x y 即 22 22 3k bk b 4 3k13k1 22 k b 3k1 16 把 带入 中得 222 k b bk0 解得或 b0 b1 或 2 2 3k1 0 k 2 2 3k1 1 k 即或 且 k 0 3 k 3 1 k 2 k 的取值范围是 14 分 3113 0 0 3223 17 已知向量 2 0 0 1 动点 M 到定直线y 1 的距离等于d 并OA OC AB 且满足 K d2 其中 O 为坐标原点 K 为参数 OM AM CM BM 求动点 M 的轨迹方程 并判断曲线类型 如果动点 M 的轨迹是一条圆锥曲线 其离心率e满足 e 求实数 K 的取 3 3 2 2 值范围 18 过抛物线的焦点作两条弦 若 2 4yx ABCD0AB CD 1 2 OMOAOB 1 2 ONOCOD 1 求证 直线过定点 2 记 1 中的定点为 求证为钝角 MNQAQB 3 分别以 为直径作圆 两圆公共弦的中点为 求的轨迹方程 并指出ABCDHH 轨迹是什么曲线 19 05 年江西 如图 是抛物线上上的一点 动弦 分别交轴于M 2 yx MEMFx 两点 且 1 若为定点 证明 直线的斜率为定值 ABMAMB MEF 17 2 若为动点 且 求 的重心的轨迹 M90EMF EMFG 思路分析 思路分析 1 由直线 或 方程与抛物线方程组成的方程组解出点F和点MFME 的坐标 利用斜率公式来证明 2 用点的坐标将 点的坐标表示出来 进而EMEF 表示出点坐标 消去即得到的轨迹方程 参数法 G 0 yG 解 1 法一 法一 设 直线的斜率为 2 00 M yyMEk0k 则直线的斜率为 方程为 MFk 2 00 yyk xy 由 消得 2 00 2 yyk xy yx x 2 00 1 0kyyyky 解得 0 1 F ky y k