楼宇自动控制系统-03时域分析法A

第三节时域分析法 控制系统的数学模型 是分析 研究 设计控制系统的基础 一旦建立起合理的 便于分析的控制系统数学模型 就可以运用适当的方法对系统的控制性能进行全面的分析和计算 对于线性定常系统 常用的工程方法有 时域分析法 根轨迹法和频率法 后两种方法都是以时域分析法为基础 并且应用了时域分析法中的许多结论 时域分析法是根据系统的微分方程 以拉普拉斯变换作为数学工具 直接解出控制系统的时间响应 然后 依据响应的表达式及其描述曲线来分析系统的控制性能 如稳定性 快速性 稳态精度等 并找出系统结构 参数与这些性能之间的关系 时域分析法是一种直接分析法 还是一种比较准确的方法 可以提供系统时间响应的全部信息 时域分析引言系统加入典型输入信号后 分析其输出响应特性的动态性能和稳态性能 研究其是否满足生产过程对控制系统的性能要求 时域分析是直接在时间域中对系统进行分析的方法 因而时域分析具有直观和准确的优点 系统输出量的时域表示可由微分方程得到 也可由传递函数得到 在初值为零时 利用传递函数进行研究 用传递函数间接评价系统的性能指标 具体是根据闭环系统传递函数的极点和零点来分析系统的性能 3 1典型输入信号及性能指标 一个系统的时间响应 不仅取决于系统本身的结构与参数 而且还同系统的初始状态以及加在系统上的外作用信号有关 为了分析和比较控制系统的优劣 通常对初始状态和外作用信号做一些典型化处理 初始状态 零状态外作用信号 特殊形式的试验信号 一 典型输入信号 1 阶跃函数 其表达式为 当a 1时 称为单位阶跃函数 记作1 t 则有 单位阶跃函数的拉氏变换为 2 速度函数 斜坡函数 其表达式为 当a 1时 r t t 称为单位速度函数 其拉氏变换为 3 加速度函数 抛物线函数 其表达式为 当a 1 2时 称为单位加速度函数 其拉氏变换为 4 脉冲函数 其表达式为 单位脉冲函数 t 其数学描述为 单位脉冲函数的拉氏变换为 5 正弦函数 其表达式为 其拉氏变换为 二 阶跃响应的性能指标 分析时 假定控制系统是单位负反馈的 初始条件为零 给定输入为单位阶跃函数 控制系统的时间响应 从时间顺序上 可以划分为过渡过程和稳态过程 过渡过程是指系统从初始状态到接近最终状态的响应过程 稳态过程是指时间趋于无穷时系统的输出状态 td 延迟时间td tr 上升时间tr 峰值时间tp tp 超调量 调节时间ts 误差带 ts 振荡次数N 稳态误差ess 控制系统的典型单位阶跃响应 ess 1 h 1 延迟时间 h t 到达50 h 的时间2 上升时间3 峰值时间 h t 到达第一个峰值的时间td tr tp表征系统响应初始阶段的快慢 对有振荡系统 响应曲线从零上升到第一次到达稳定值所需时间 4 调整时间 h t 稳定至指定的误差限 如5 h 内所需时间5 超调量6 振荡周期 两个峰值间的时间7 稳态误差 响应的稳态值与希望的给定值之间的偏差 快速性 稳态误差 平稳性 最终 稳态 精度 3 2一阶系统分析 由一阶微分方程描述的系统 称为一阶系统 一 一阶系统的数学模型 一阶系统的微分方程为 其闭环传递函数为 惯性环节 惯性环节 惯性环节 惯性环节 惯性环节 二 一阶系统的单位阶跃响应 单位阶跃输入的拉氏变换为 取C s 的拉氏变换 可得一阶系统的单位阶跃响应 则 或写成 一阶系统中的单位阶跃响应曲线是一条由零开始 按指数规律上升并最终趋于1的曲线 响应曲线具有非振荡特征 故又称为非周期响应 css 1代表稳态分量 代表动态分量 T 0 惯性环节 比例环节T 惯性环节 积分环节 一阶系统的阶跃响应 没有超调量 调节时间ts 3T 5 ts 4T 2 没有稳态误差 即 初 解 1 由结构图写出闭环传递函数 从 s 的分母多项式看出时间常数T 0 1s 故调节时间 2 计算ts 0 1s的反馈系数值 设反馈系数为Kh 则系统闭环传递函数 故 要求ts 0 1s 代入上式得 所以 调节时间 练习 根据定义 求一阶系统的动态性能指标 td tr 3 3二阶系统分析 二阶微分方程描述的系统 称为二阶系统 要求 掌握二阶系统的数学模型及阶跃响应 取不同值时的特征根在 平面上的位置及相应的响应曲线 并能以图表示之重点 典型二阶系统的单位阶跃响应 在工程实际中 三阶或三阶以以上的系统 可以近似或降阶为二阶系统处理 一 二阶系统的数学模型 应用实例 机械位移系统等 典型二阶系统的结构图 闭环传递函数写成如下一般形式 标准式 其闭环特征方程为 方程的特征根为 阻尼比 的取值不同 二阶系统的特征根 闭环极点 在s平面上的分布 欠阻尼状态 临界阻尼状态 过阻尼状态 零阻尼状态 负阻尼状态 过阻尼 临界阻尼 0 1 n n 1 2 s2 n s1 S1 2 1 欠阻尼 1 1 二 二阶系统的单位阶跃响应 1 过阻尼 1的情况 系统闭环特征方程有两个不相等的负实根 式中 于是闭环传递函数为 因此 过阻尼二阶系统可以看成两个时间常数不同的惯性环节的串联 当输入为单位阶跃信号时 系统的输出 取C s 的拉氏反变换 得到单位阶跃响应 稳态分量为1 动态分量为两项指数项 过阻尼二阶系统的单位阶跃响应曲线 过阻尼二阶系统调节时间特性 取相对变量ts T1及T1 T2经计算机解算后制成曲线 当T1 T2 1的临界阻尼情况 调节时间ts 4 75T1 当T1 4T2 1 25 时 ts 3 3T1 当T1 4T2 1 25 时 ts 3T1 2 临界阻尼 1的情况 取C s 的拉氏反变换 得临界阻尼下二阶系统的单位阶跃响应 3 欠阻尼0 1的情况 欠阻尼二阶系统具有一对实部为负的共轭复根 时间响应呈衰减振荡特性 故又称为振荡环节 系统闭环传递函数的一般形式为 特征根为一对共轭复根 衰减系数 d阻尼振荡频率 当输入信号为单位阶跃作用时 取C s 的拉氏变换 得欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应 或者写成 系统的响应由稳态分量和动态分量两部分组成 稳态分量的值等于1 动态分量是一个随时间t的增长而衰减的振荡过程 欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应曲线 包络线方程 初相角 第一项为单位阶跃响应的稳态分量 第二项为动态分量 它是一以指数规律衰减的正弦振荡波 振荡频率为wd 单位阶跃响应h t 衰减速度取决于共轭复数极点负实部 n值大小 n越大 共轭复数极点离虚轴越远 h t 衰减得越快 采用无因次时间 nt作为横坐标 则时间响应就仅仅是阻尼比 的函数 阻尼正弦振荡的滞后角为 0 707时的单位阶跃响应曲线 二阶系统单位阶跃响应的通用曲线 不同 值下的有相应的二阶系统单位阶跃响应曲线 1 二阶系统单位阶跃响应曲线单调上升 1 单调上升的特性中较 1时短0 1 阶跃响应曲线振荡特性加强 0 阶跃响应曲线等幅振荡 0 阶跃响应曲线发散振荡 0 4 0 8 比 1时小 振荡特性不严重 工程上希望二阶系统工作在0 4 0 8的欠阻尼状态 平稳性 阻尼比 越大 超调量越小 响应的振荡倾向越弱 平稳性越好 反之 阻尼比 越小 振荡越强 平稳性越差 当 0时 零阻尼响应为 响应为具有频率为 n的不衰减 等幅 振荡 结论 要使系统单位阶跃响应的平稳性好 就要求阻尼比 大 自然频率 n小 阻尼比 和超调量 的关系曲线 快速性 过大 系统响应迟钝 调节时间ts长 快速性差 过小 虽然响应的起始速度较快 但因为振荡强烈 衰减缓慢 所以调节时间ts也长 快速性差 对于一定的阻尼比 所对应的无因次时间的响应是一定的 因此 当 一定时 n越大 调节时间ts也就越短 即快速性越好 稳态精度 瞬态分量随时间t的增长衰减到零 而稳态分量等于1 因此 欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应不存在稳态误差 三 欠阻尼二阶系统单位阶跃响应性能指标 1 上升时间tr 单位阶跃响应曲线第一次到达稳态值的时间就是上升时间 因为 一定时 n tr 而 n一定时 tr 所以 所以 即 2 峰值时间tp 响应曲线达到第一峰值所需的时间 对时间t求导并令其为零 可得到峰值时间 则 到达第一个峰值时应满足 所以 峰值时间等于阻尼振荡周期的一半 一定时 n tp 而 n一定时 tp 3 超调量 超调量的定义 将峰值时间表达式代入单位阶跃响应表达式 得到输出量的最大值 所以 超调量只是阻尼比的函数 阻尼比 和超调量 的关系曲线 4 调节时间ts 无因次调节时间 nts与阻尼比 之间的关系曲线 如 n一定 则ts先随 的增大而减小 达到最小值之后 随 的增大而又增大 无因次调节时间 nts与阻尼比 的关系曲线 曲线的不连续性解释 n一定 不同 由图看出 实际响应的收敛速度总是比包络线要快 根据调节时间的定义 调节时间满足下列不等式 即 而h t 的稳态值h 1 因此 而 将条件改为 解得 若取 5 得 若取 2 得 当阻尼比 0 8时 近似取为 设计二阶系统时 一般取 0 707作为最佳阻尼比 ts与 n成反比 n为极点至虚轴的距离 5 振荡次数N 振荡次数N是在0 t ts时间间隔内 系统的单位阶跃曲线h t 穿越其稳态值直线h 的次数之半 即 若取2 误差带 则 若取5 误差带 则 则振荡次数 振荡次数N与 的关系 p 则 n一定时 tp ts与 n成反比 n为极点至虚轴的距离 注 要综合考虑各项性能指标 先由 p决定 ts由 n决定 即在不改变超调量的条件下 通过改变 n的值可改变调整时间 欠阻尼标准二阶系统的动态性能指标计算小结 例设位置随动系统的开环传递函数当给定位置为单位阶跃时 试计算放大器增益KA 200时 输出位置响应特性的性能指标 峰值时间tp 调节时间ts和超调量 如果将