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立体几何问题感悟体验快易通1.如图,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD为正方形,PA平面ABCD,ADP是边长为4的等腰直角三角形,PC,PD的中点分别为E,F.(1)求证:EF平面PAB.(2)求二面角E-AD-B的大小.【解析】(1)在PCD中,因为E,F分别是PC,PD的中点,所以EFCD,因为四边形ABCD为正方形,所以ABCD,所以EFAB.因为AB平面PAB,EF平面PAB,所以EF平面PAB. (2)方法一:因为四边形ABCD为正方形,PA平面ABCD,作EG平面ABCD于G,EHAD于H,连接GH,所以EHG为二面角E-AD-B的平面角.因为ADP是边长为4的等腰直角三角形,E,F分别是PC,PD的中点,所以GH=GE=2,所以GEH是等腰直角三角形,EHG=45.故二面角E-AD-B的大小为45.方法二:因为四边形ABCD为正方形,PA平面ABCD,建立如图所示的空间直角坐标系,因为ADP是边长为4的等腰直角三角形,所以AP=AB=AD=4,所以A(0,0,0),P(0,0,4),D(-4,0,0),E(-2,2,2),所以=(-4,0,0),=(-2,2,2),=(0,0,4).设平面EAD的法向量为n=(x,y,z),则所以即不妨令z=-1,则y=1,所以n=(0,1,-1)为平面EAD的一个法向量,易知向量=(0,0,4)为平面ABD的一个法向量,设二面角E-AD-B的大小为,所以cos =,所以二面角E-AD-B的大小为45.2.已知在如图所示的矩形ABCD中,AB=,AD=4,E为AD上靠近D的一个四等分点.现将BCE以BC为旋转轴旋转到BCF,使平面BCF平面ABCD,设G,H分别为AD,CF的中点,如图所示.(1)求证:平面BGF平面CDF.(2)求平面BGF与平面DGH夹角的余弦值.【解析】(1)在题图中,因为AB=,AD=4,E为AD上靠近D的一个四等分点,所以AE=3,DE=1,所以BE=2,CE=2, 所以BC2=BE2+CE2,得BECE,所以在题图中,BFCF.又平面BCF平面ABCD,且平面BCF平面ABCD=BC,DCBC,所以DC平面BCF,所以DCBF.又DCCF=C,所以BF平面DCF.又BF平面BGF,所以平面BGF平面CDF. (2)以F为坐标原点,FC,FB所在直线分别为x,y轴,过点F且垂直于平面BCF的直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则F(0,0,0),B(0,2,0),G(1,),H(1,0,0),D(2,0,),所以=(0,2,0),=(1,),=(-1,0),=(-1,0,-).设n1=(x1,y1,z1)为平面BFG的法向量,则即即y1=0,令z1=-1,则x1=,所以平面BFG的一个法向量为n1=(,0,-1). 设n2=(x2,y2,z2)为平面DGH的法向量,则即令x2=
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