【解析】江苏省盐城市、南京市2015届高三下学期二模数学试卷-Word版含解析

20152015 年江苏省盐城市 南京市高考数学二模试卷年江苏省盐城市 南京市高考数学二模试卷 一 填空题一 填空题 1 函数 f x sinxcosx 的最小正周期是 2 已知复数 z 2 i 1 3i 其中 i 是虚数单位 则复数 z 在复平面上对应的点位于 第 象限 3 如图是一个算法流程图 如果输入 x 的值是 则输出 S 的值是 4 某工厂为了了解一批产品的净重 单位 克 情况 从中随机抽测了 100 件产品的净重 所得数据均在区间 96 106 中 其频率分布直方图如图所示 则在抽测的 100 件产品中 净重在区间 100 104 上的产品件数是 5 袋中有大小 质地相同的红 黑球各一个 现有放回地随机摸取 3 次 每次摸取一个球 若摸出红球 得 2 分 摸出黑球 得 1 分 则 3 次摸球所得总分至少是 4 分的概率是 6 如图 在平面四边形 ABCD 中 AC BD 相交于点 O E 为线段 AO 的中点 若 R 则 7 已知平面 直线 m n 给出下列命题 若 m n m n 则 若 m n 则 m n 若 m n m n 则 若 m n 则 m n 其中是真命题的是 填写所有真命题的序号 8 如图 在 ABC 中 D 是 BC 上的一点 已知 B 60 AD 2 AC DC 则 AB 9 在平面直角坐标系 xOy 中 已知抛物线 C x2 4y 的焦点为 F 定点 A 2 0 若射 线 FA 与抛物线 C 相交于点 M 与抛物线 C 的准线相交于点 N 则 FM MN 10 记等差数列 an 的前 n 项和为 Sn 已知 a1 2 且数列 也为等差数列 则 a13 11 已知知函数 f x x R 则不等式 f x2 2x f 3x 4 的解集是 12 在平面直角坐标系 xOy 中已知圆 C x2 y 1 2 5 A 为圆 C 与 x 轴负半轴的交点 过点 A 作圆 C 的弦 AB 记线段 AB 的中点为 M 若 OA OM 则直线 AB 的斜率为 13 已知 均为锐角 且 cos 则 tan 的最大值是 14 已知函数 f x 当 x 0 100 时 关于 x 的方程 f x x 的所有解的和为 二 解答题二 解答题 15 在 ABC 中 角 A B C 的对边分别为 a b c 已知 cosC 1 若 求 ABC 的面积 2 设向量 2sin cosB cos 且 求 sin B A 的值 16 如图 在四棱锥 P ABCD 中 AD CD AB AB DC AD CD PC 平面 ABCD 1 求证 BC 平面 PAC 2 若 M 为线段 PA 的中点 且过 C D M 三点的平面与 PB 交于点 N 求 PN PB 的值 17 如图为某仓库一侧墙面的示意图 其下部是矩形 ABCD 上部是圆 AB 该圆弧所在的圆 心为 O 为了调节仓库内的湿度和温度 现要在墙面上开一个矩形的通风窗 EFGH 其中 E F 在圆弧 AB 上 G H 在弦 AB 上 过 O 作 OP AB 交 AB 于 M 交 EF 于 N 交圆弧 AB 于 P 已知 OP 10 MP 6 5 单位 m 记通风窗 EFGH 的面积为 S 单位 m2 1 按下列要求建立函数关系式 i 设 POF rad 将 S 表示成 的函数 ii 设 MN x m 将 S 表示成 x 的函数 2 试问通风窗的高度 MN 为多少时 通风窗 EFGH 的面积 S 最大 18 如图 在平面直角坐标系 xoy 中 椭圆 E 1 a b 0 的离心率为 直 线 l y x 与椭圆 E 相交于 A B 两点 AB 2 C D 是椭圆 E 上异于 A B 两点 且直 线 AC BD 相交于点 M 直线 AD BC 相交于点 N 1 求 a b 的值 2 求证 直线 MN 的斜率为定值 19 已知函数 f x 1 lnx 其中 k 为常数 1 若 k 0 求曲线 y f x 在点 1 f 1 处的切线方程 2 若 k 5 求证 f x 有且仅有两个零点 3 若 k 为整数 且当 x 2 时 f x 0 恒成立 求 k 的最大值 20 给定一个数列 an 在这个数列里 任取 m m 3 m N 项 并且不改变它们在数 列 an 中的先后次序 得到的数列 an 的一个 m 阶子数列 已知数列 an 的通项公式为 an n N a 为常数 等差数列 a2 a3 a6是数列 an 的一个 3 子阶数列 1 求 a 的值 2 等差数列 b1 b2 bm是 an 的一个 m m 3 m N 阶子数列 且 b1 k 为 常数 k N k 2 求证 m k 1 3 等比数列 c1 c2 cm是 an 的一个 m m 3 m N 阶子数列 求证 c1 c1 cm 2 三 选修三 选修 4 14 1 几何证明选讲 几何证明选讲 21 如图 过点 A 的圆与 BC 切于点 D 且与 AB AC 分别交于点 E F 已知 AD 为 BAC 的 平分线 求证 EF BC 四 选修四 选修 4 24 2 矩阵与变换 矩阵与变换 22 已知矩阵 A A 的逆矩阵 A 1 1 求 a b 的值 2 求 A 的特征值 五 选修五 选修 4 44 4 坐标系与参数方程 坐标系与参数方程 23 在平面直角坐标系 xoy 中 已知曲线 C s 为参数 直线 l t 为参数 设曲线 C 与直线 l 交于 A B 两点 求线段 AB 的长度 六 选修六 选修 4 54 5 不行等式选讲 不行等式选讲 24 已知 x y z 都是正数且 xyz 1 求证 1 x 1 y 1 z 8 25 甲乙两支排球队进行比赛 先胜 3 局者获得比赛的胜利 比赛随即结束 除第五局甲 队获胜的概率是 其余每局比赛甲队获胜的概率都是 设各局比赛结果相互独立 1 分别求甲队 3 0 3 1 3 2 胜利的概率 2 若比赛结果 3 0 或 3 1 则胜利方得 3 分 对方得 0 分 若比赛结果为 3 2 则胜 利方得 2 分 对方得 1 分 求乙队得分 X 的分布列及数学期望 26 已知 m n N 定义 fn m 1 记 am f6 m 求 a1 a2 a12的值 2 记 bm 1 mmfn m 求 b1 b2 b2n所有可能值的集合 20152015 年江苏省盐城市 南京市高考数学二模试卷年江苏省盐城市 南京市高考数学二模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一 填空题一 填空题 1 函数 f x sinxcosx 的最小正周期是 考点 二倍角的正弦 三角函数的周期性及其求法 专题 计算题 三角函数的图像与性质 分析 根据二倍角的正弦公式 化简可得 f x sin2x 再由三角函数的周期公式即可 算出函数 f x 的最小正周期 解答 解 sin2x 2sinxcosx f x sinxcosx sin2x 因此 函数 f x 的最小正周期 T 故答案为 点评 本题给出三角函数式 求函数的周期 着重考查了二倍角的三角函数公式 三角函 数的图象与性质和三角函数周期的求法等知识 属于基础题 2 已知复数 z 2 i 1 3i 其中 i 是虚数单位 则复数 z 在复平面上对应的点位于 第 一 象限 考点 复数代数形式的乘除运算 专题 数系的扩充和复数 分析 利用复数的运算法则 几何意义即可得出 解答 解 复数 z 2 i 1 3i 5 5i 复数 z 在复平面上对应的点 5 5 位于第一象限 故答案为 一 点评 本题考查了复数的运算法则 几何意义 属于基础题 3 如图是一个算法流程图 如果输入 x 的值是 则输出 S 的值是 2 考点 程序框图 专题 算法和程序框图 分析 由已知中的程序算法可知 该程序的功能是利用条件结构计算并输出变量 S 的值 模拟程序的运行过程 可得答案 解答 解 由已知中的程序算法可知 该程序的功能是利用条件结构计算并输出 S 的值 当 x 时 S 2 故答案为 2 点评 本题考查的知识点是程序框图 其中分析出程序的功能是解答的关键 4 某工厂为了了解一批产品的净重 单位 克 情况 从中随机抽测了 100 件产品的净重 所得数据均在区间 96 106 中 其频率分布直方图如图所示 则在抽测的 100 件产品中 净重在区间 100 104 上的产品件数是 55 考点 频率分布直方图 专题 概率与统计 分析 根据频率分布直方图 利用频率 频数与样本容量的关系 求出对应的频数即可 解答 解 根据频率分布直方图 得 净重在区间 100 104 上的产品频率是 0 150 0 125 2 0 55 对应的产品件数是 100 0 55 55 故答案为 55 点评 本题考查了频率分布直方图的应用问题 也考查了频率 的应用问题 是基础题目 5 袋中有大小 质地相同的红 黑球各一个 现有放回地随机摸取 3 次 每次摸取一个球 若摸出红球 得 2 分 摸出黑球 得 1 分 则 3 次摸球所得总分至少是 4 分的概率是 考点 古典概型及其概率计算公式 专题 概率与统计 分析 一共有 8 种不同的结果 3 次摸球所得总分为低于 4 分 为事件 A 事件 A 包含的 基本事件为 黑 黑 黑 由此利用对立事件概率计算公式能求出 3 次摸球所得总分至 少是 4 分的概率 解答 解 一共有 8 种不同的结果 列举如下 红 红 红 红 红 黑 红 黑 红 红 黑 黑 黑 红 红 黑 红 黑 黑 黑 红 黑 黑 黑 3 次摸球所得总分为低于 4 分 为事件 A 事件 A 包含的基本事件为 黑 黑 黑 3 次摸球所得总分至少是 4 分的概率 p 1 p A 1 故答案为 点评 本题考查概率的求法 是基础题 解题时要认真审题 注意对数事件概率计算公式 的合理运用 6 如图 在平面四边形 ABCD 中 AC BD 相交于点 O E 为线段 AO 的中点 若 R 则 考点 平面向量的基本定理及其意义 专题 平面向量及应用 分析 可得 由 E 为线段 AO 的中点 可得 再利用平面向量基本定理即可得出 解答 解 E 为线段 AO 的中点 2 解得 故答案为 点评 本题考查了平面向量基本定理 向量共线定理 考查了推理能力与计算能力 属于 中档题 7 已知平面 直线 m n 给出下列命题 若 m n m n 则 若 m n 则 m n 若 m n m n 则 若 m n 则 m n 其中是真命题的是 填写所有真命题的序号 考点 空间中直线与平面之间的位置关系 专题 空间位置关系与距离 分析 利用线面平行 面面平行 面面垂直的性质定理和判定定理对四个命题分别分析解 答 解答 解 对于 若 m n m n 则 与 可能平行 故 错误 对于 若 m n 则 m 与 n 的位置关系有 平行 相交或者异面 故 错误 对于 若 m n m n 利用线面垂直的性质定理和面面垂直的判定定理可以判 断 故 正确 对于 若 m n 利用面面垂直 线面垂直的性质定理可以得到 m n 故 正确 故答案为 点评 本题考查了线面平行 面面平行 面面垂直的性质定理和判定定理的运用 关键是 熟练掌握定理 8 如图 在 ABC 中 D 是 BC 上的一点 已知 B 60 AD 2 AC DC 则 AB 考点 解三角形的实际应用 专题 综合题 解三角形 分析 利用余弦定理求出 ADB 45 再利用正弦定理 即可求出 AB 解答 解 由题意 cos ADC ADC 135 ADB 45 B 60 AD 2 AB 故答案为 点评 本题考查正弦定理 余弦定理的运用 考查学生的计算能力 比较基础 9 在平面直角坐标系 xOy 中 已知抛物线 C x2 4y 的焦点为 F 定点 A 2 0 若射 线 FA 与抛物线 C 相交于点 M 与抛物线 C 的准线相交于点 N 则 FM MN 1 3 考点 抛物线的简单性质 专题 计算题 圆锥曲线的定义 性质与方程 分析 求出抛物线 C 的焦点 F 的坐标 从而得到 AF 的斜率 k 过 M 作 MP l 于 P 根据抛物线物定义得 FM PM Rt MPN 中 根据 tan MNP 从而得到 PN 2PM 进而 算出 MN 3PM 由此即可得到 FM MN 的值 解答 解 抛物线 C x2 4y 的焦点为 F 0 1 点 A 坐标为 2 0 抛物线的准线方程为 l y 1 直线 AF 的斜率为 k 过 M 作 MP l 于 P 根据抛物线物定义得 FM PM Rt MPN 中 tan MNP k 可得 PN 2PM 得 MN 3PM 因此可得 FM MN PM MN 1 3 故答案为 1 3 点评 本题给出抛物线方程和射线 FA 求线段的比值 着重考查了直线的斜率 抛物线 的定义 标准方程和简单几何性质等知识 属于中档题 10 5 分 记等差数列 an 的前 n 项和为 Sn 已知 a1 2 且数列 也为等差数列 则 a13 50 考点 等差数列的前 n 项和 专题 等差数列与等比数列 分析 由题意可得 的值 由数列 也为等差数列可得 2 解方程可得 d 值 由等差数列的通项公式可得 解答 解 设等差数列 an 的公差为 d a1 2 数列 也为等差数列 2 解得 d 4 a13 2 12 4 50 故答案为 50 点评 本题考查等差数列的求和公式 属基础题 11 已知知函数 f x x R 则不等式 f x2 2x f 3x 4 的解集是 1 2 考点 其他不等式的解法 专题 函数的性质及应用 不等式的解法及应用 分析 讨论 x 的符号 去绝对值 作出函数的图象 由图象可得原不等式即为 或 分别解出它们 再求并集即可 解答 解 当 x 0 时 f x 1 当 x 0 时 f x 1 作出 f x 的图象 可得 f x 在 0 上递增 不等式 f x2 2x f 3x 4 即为 或 即有或 解得 x 2 或 1 x 即有 1 x 2 则解集为 1 2 故答案为 1 2 点评 本题考查函数的单调性的运用 解不等式 主要考查二次不等式的解法 属于中档 题和易错题 12 在平面直角坐标系 xOy 中已知圆 C x2 y 1 2 5 A 为圆 C 与 x 轴负半轴的交点 过点 A 作圆 C 的弦 AB 记线段 AB 的中点为 M 若 OA OM 则直线 AB 的斜率为 2 考点 直线与圆的位置关系 专题 综合题 直线与圆 分析 因为圆的半径为 所以 A 2 0 连接 CM 显然 CM AB 求出圆的直径 在三角形 OCM 中 利用正弦定理求出 sin OCM 利用 OCM 与 OAM 互补 即可得出结 论 解答 解 因为圆的半径为 所以 A 2 0 连接 CM 显然 CM AB 因此 四点 C M A O 共圆 且 AC 就是该圆的直径 2R AC 在三角形 OCM 中 利用正弦定理得 2R 根据题意 OA OM 2 所以 所以 sin OCM tan OCM 2 OCM 为钝角 而 OCM 与 OAM 互补 所以 tan OAM 2 即直线 AB 的斜率为 2 故答案为 2 点评 本题考查直线与圆的位置关系 考查正弦定理 考查学生的计算能力 属于中档 题 13 已知 均为锐角 且 cos 则 tan 的最大值是 考点 两角和与差的正弦函数 专题 函数的性质及应用 三角函数的求值 分析 直接对三角函数关系式中的角进行恒等变换 再利用弦化切建立一元二次不等式 最后求出结果 解答 解 知 均为锐角 且 cos 则 cos sin sin sin 化简为 cos sin sin cos cos sin 转化为 tan 2tan 即 则 2tan tan2 tan tan 0 所以 0 即 1 8tan2 0 解得 由于 为锐角 所以 则 tan 的最大值为 故答案为 点评 本题考查的知识要点 三角函数关系式中角的恒等变换 弦化切在做题中得应用 一元二次不等式有解得情况讨论 14 已知函数 f x 当 x 0 100 时 关于 x 的方程 f x x 的所有解的和为 10000 考点 根的存在性及根的个数判断 专题 函数的性质及应用 分析 根据函数的解析式分别求出各段上方程的根的和 找出规律作和即可 解答 解 x 0 1 时 f x x 1 2 2 x 1 1 x2 令 f x x 得 x2 x 0 x1 x2 1 x 1 2 时 f x x 1 2 1 令 f x x 得 x3 x4 3 x 3 4 时 f x x 2 2 2 令 f x x 得 x5 x6 5 x n n 1 时 f x x n 2 n 令 f x x 得 x2n 1 x2n 2 2n 1 x 99 100 时 f x x 99 2 99 令 f x x 得 x199 x200 199 1 3 5 199 10000 故答案为 10000 点评 本题考查了分段函数问题 考查了分类讨论以及二次函数的性质 是一道基础题 二 解答题二 解答题 15 在 ABC 中 角 A B C 的对边分别为 a b c 已知 cosC 1 若 求 ABC 的面积 2 设向量 2sin cosB cos 且 求 sin B A 的值 考点 两角和与差的正弦函数 平面向量共线 平行 的坐标表示 平面向量数量积的运 算 专题 三角函数的求值 平面向量及应用 分析 1 利用 求出 ab 的值 然后求解 ABC 的面积 2 通过 求出 tanB 的值 推出 B 转化 sin B A sin A sin C 利用两角和与差的三角函数求解即可 解答 解 1 由 得 abcosC 又因为 cosC 所以 ab 2 分 又 C 为 ABC 的内角 所以 sinC 4 分 所以 ABC 的面积 S absinC 3 6 分 2 因为 所以 2sin cos cosB 即 sinB cosB 8 分 因为 cosB 0 所以 tanB 因为 B 为三角形的内角 所以 B 10 分 所以 A C 所以 A C 所以 sin B A sin A sin C sinC cosC 14 分 点评 本题考查两角和与差的三角函数 向量共线的充要条件的应用 考查三角形的解 法 16 如图 在四棱锥 P ABCD 中 AD CD AB AB DC AD CD PC 平面 ABCD 1 求证 BC 平面 PAC 2 若 M 为线段 PA 的中点 且过 C D M 三点的平面与 PB 交于点 N 求 PN PB 的值 考点 直线与平面垂直的判定 余弦定理 专题 综合题 空间位置关系与距离 分析 1 连结 AC 证明 BC AC BC PC 利用线面垂直的判定定理 可得 BC 平面 PAC 2 证明 AB MN 利用 M 为线段 PA 的中点 可得 N 为线段 PB 的中点 即可得出结论 解答 1 证明 连结 AC 不妨设 AD 1 因为 AD CD AB 所以 CD 1 AB 2 因为 ADC 90 所以 AC CAB 45 在 ABC 中 由余弦定理得 BC 所以 AC2 BC2 AB2 所以 BC AC 3 分 因为 PC 平面 ABCD BC 平面 ABCD 所以 BC PC 5 分 因为 PC 平面 PAC AC 平面 PAC PC AC C 所以 BC 平面 PAC 7 分 2 解 如图 因为 AB DC CD 平面 CDMN AB 平面 CDMN 所以 AB 平面 CDMN 9 分 因为 AB 平面 PAB 平面 PAB 平面 CDMN MN 所以 AB MN 12 分 在 PAB 中 因为 M 为线段 PA 的中点 所以 N 为线段 PB 的中点 即 PN PB 的值为 14 分 点评 本题考查线面平行 垂直的判定 考查学生分析解决问题的能力 正确运用线面平 行 垂直的判定定理是关键 17 如图为某仓库一侧墙面的示意图 其下部是矩形 ABCD 上部是圆 AB 该圆弧所在的圆 心为 O 为了调节仓库内的湿度和温度 现要在墙面上开一个矩形的通风窗 EFGH 其中 E F 在圆弧 AB 上 G H 在弦 AB 上 过 O 作 OP AB 交 AB 于 M 交 EF 于 N 交圆弧 AB 于 P 已知 OP 10 MP 6 5 单位 m 记通风窗 EFGH 的面积为 S 单位 m2 1 按下列要求建立函数关系式 i 设 POF rad 将 S 表示成 的函数 ii 设 MN x m 将 S 表示成 x 的函数 2 试问通风窗的高度 MN 为多少时 通风窗 EFGH 的面积 S 最大 考点 函数模型的选择与应用 专题 计算题 应用题 函数的性质及应用 导数的综合应用 分析 1 由题意知 OF OP 10 MP 6 5 OM 3 5 i 在 Rt ONF 中与矩形 EFGH 中表示出边长 从而由 S EF FG 写出面积公式 S 10sin 20cos 7 注意角 的取值范围 ii 在 Rt ONF 中与矩形 EFGH 中利用勾股定理等表示出边长 从而写出 S EF FG x 注意 x 的取值范围 2 方法一 选择 i 中的函数模型 利用导数确定函数的单调性 从而示函数的最大 值及最大值点 再代入求 NM 的长度即可 方法二 选择 ii 中的函数模型 利用导数确定函数的单调性 从而示函数的最大值及 最大值点即可 解答 解 1 由题意知 OF OP 10 MP 6 5 故 OM 3 5 i 在 Rt ONF 中 NF OFsin 10sin ON OFcos 10cos 在矩形 EFGH 中 EF 2MF 20sin FG ON OM 10cos 3 5 故 S EF FG 20sin 10cos 3 5 10sin 20cos 7 即所求函数关系是 S 10sin 20cos 7 0 0 其中 cos 0 ii 因为 MN x OM 3 5 所以 ON x 3 5 在 Rt ONF 中 NF 在矩形 EFGH 中 EF 2NF FG MN x 故 S EF FG x 即所求函数关系是 S x 0 x 6 5 2 方法一 选择 i 中的函数模型 令 f sin 20cos 7 则 f cos 20cos 7 sin 20sin 40cos2 7cos 20 由 f 40cos2 7cos 20 0 解得 cos 或 cos 因为 0 0 所以 cos cos 0 所以 cos 设 cos 且 为锐角 则当 0 时 f 0 f 是增函数 当 0 时 f 0 f 是减函数 所以当 即 cos 时 f 取到最大值 此时 S 有最大值 即 MN 10cos 3 5 4 5m 时 通风窗的面积最大 方法二 选择 ii 中的函数模型 因为 S 令 f x x2 351 28x 4x2 则 f x 2x 2x 9 4x 39 因为当 0 x 时 f x 0 f x 单调递增 当 x 时 f x 0 f x 单调递减 所以当 x 时 f x 取到最大值 此时 S 有最大值 即 MN x 4 5m 时 通风窗的面积最大 点评 本题考查了导数在实际问题中的应用及三角函数的应用 属于中档题 18 如图 在平面直角坐标系 xoy 中 椭圆 E 1 a b 0 的离心率为 直 线 l y x 与椭圆 E 相交于 A B 两点 AB 2 C D 是椭圆 E 上异于 A B 两点 且直 线 AC BD 相交于点 M 直线 AD BC 相交于点 N 1 求 a b 的值 2 求证 直线 MN 的斜率为定值 考点 椭圆的简单性质 专题 综合题 圆锥曲线的定义 性质与方程 圆锥曲线中的最值与范围问题 分析 1 根据椭圆的几何性质 利用离心率 e 以及 AB 的长 求出 a b 的值 2 方法一 结合椭圆 E 的方程 求出 A B 的坐标 讨论 CA CB DA DB 斜率都存在时 利用斜率的关系 写出直线方程 与椭圆方程联立 求 出 M N 的坐标 计算 kMN的值 CA CB DA DB 中 有直线的斜率不存在时 求出 M N 的坐标 计算 kMN的值 从而得 出正确的结论 方法二 利用椭圆 E 的方程 求出 A B 的坐标 讨论 CA CB DA DB 斜率都存在时 设出直线的斜率 由直线与椭圆联立 求出 M N 点的 坐标 计算 kMN的值 CA CB DA DB 中 有直线的斜率不存在时 求出 M N 点的坐标 计算 kMN的值 即可 得出正确的结论 解答 解 1 因为 e 所以 c2 a2 即 a2 b2 a2 所以 a2 2b2 2 分 故椭圆方程为 1 由题意 不妨设点 A 在第一象限 点 B 在第三象限 由解得 A b b 又 AB 2 所以 OA 即 b2 b2 5 解得 b2 3 故 a b 5 分 2 方法一 由 1 知 椭圆 E 的方程为 1 从而 A 2 1 B 2 1 当 CA CB DA DB 斜率都存在时 设直线 CA DA 的斜率分别为 k1 k2 C x0 y0 显然 k1 k2 从而 k1 kCB 所以 kCB 8 分 同理 kDB 于是直线 AD 的方程为 y 1 k2 x 2 直线 BC 的方程为 y 1 x 2 由解得 从而点 N 的坐标为 用 k2代 k1 k1代 k2得点 M 的坐标为 11 分 所以 kMN 1 即直线 MN 的斜率为定值 1 14 分 当 CA CB DA DB 中 有直线的斜率不存在时 根据题设要求 至多有一条直线斜率不存在 故不妨设直线 CA 的斜率不存在 从而 C 2 1 仍然设 DA 的斜率为 k2 由 知 kDB 此时 CA x 2 DB y 1 x 2 它们交点 M 2 1 BC y 1 AD y 1 k2 x 2 它们交点 N 2 1 从而 kMN 1 也成立 由 可知 直线 MN 的斜率为定值 1 16 分 方法二 由 1 知 椭圆 E 的方程为 1 从而 A 2 1 B 2 1 当 CA CB DA DB 斜率都存在时 设直线 CA DA 的斜率分别为 k1 k2 显然 k1 k2 直线 AC 的方程 y 1 k1 x 2 即 y k1x 1 2k1 由得 1 2k12 x2 4k1 1 2k1 x 2 4k12 4k1 2 0 设点 C 的坐标为 x1 y1 则 2 x1 从而 x1 所以 C 又 B 2 1 所以 kBC 8 分 所以直线 BC 的方程为 y 1 x 2 又直线 AD 的方程为 y 1 k2 x 2 由解得 从而点 N 的坐标为 用 k2代 k1 k1代 k2得点 M 的坐标为 11 分 所以 kMN 1 即直线 MN 的斜率为定值 1 14 分 当 CA CB DA DB 中 有直线的斜率不存在时 根据题设要求 至多有一条直线斜率不存在 故不妨设直线 CA 的斜率不存在 从而 C 2 1 仍然设 DA 的斜率为 k2 则由 知 kDB 此时 CA x 2 DB y 1 x 2 它们交点 M 2 1 BC y 1 AD y 1 k2 x 2 它们交点 N 2 1 从而 kMN 1 也成立 由 可知 直线 MN 的斜率为定值 1 16 分 点评 本题考查了椭圆的几何性质的应用问题 也考查了直线与椭圆的综合应用问题 考 查了分类讨论思想的应用问题 是较难的题目 19 已知函数 f x 1 lnx 其中 k 为常数 1 若 k 0 求曲线 y f x 在点 1 f 1 处的切线方程 2 若 k 5 求证 f x 有且仅有两个零点 3 若 k 为整数 且当 x 2 时 f x 0 恒成立 求 k 的最大值 考点 利用导数研究曲线上某点切线方程 利用导数求闭区间上函数的最值 专题 函数的性质及应用 导数的概念及应用 导数的综合应用 分析 1 求出 f x 的解析式 求出导数和切线的斜率和切点坐标 由点斜式方程即 可得到切线方程 2 求出 k 5 时 f x 的解析式和导数 求得单调区间和极小值 再由函数的零点存在 定理可得 1 10 之间有一个零点 在 10 e4 之间有一个零点 即可得证 3 方法一 运用参数分离 运用导数 判断单调性 求出右边函数的最小值即可 方法二 通过对 k 讨论 运用导数求出单调区间 求出 f x 的最小值 即可得到 k 的最 大值为 4 解答 解 1 当 k 0 时 f x 1 lnx 因为 f x 从而 f 1 1 又 f 1 1 所以曲线 y f x 在点 1 f 1 处的切线方程 y 1 x 1 即 x y 0 2 证明 当 k 5 时 f x lnx 4 因为 f x 从而 当 x 0 10 f x 0 f x 单调递减 当 x 10 时 f x 0 f x 单调递增 所以当 x 10 时 f x 有极小值 因 f 10 ln10 3 0 f 1 6 0 所以 f x 在 1 10 之间有一个零点 因为 f e4 4 4 0 所以 f x 在 10 e4 之间有一个零点 从而 f x 有两个不同的零点 3 方法一 由题意知 1 lnx 0 对 x 2 恒成立 即 k 对 x 2 恒成立 令 h x 则 h x 设 v x x 2lnx 4 则 v x 当 x 2 时 v x 0 所以 v x 在 2 为增函数 因为 v 8 8 2ln8 4 4 2ln8 0 v 9 5 2ln9 0 所以存在 x0 8 9 v x0 0 即 x0 2lnx0 4 0 当 x 2 x0 时 h x 0 h x 单调递减 当 x x0 时 h x 0 h x 单调递增 所以当 x x0时 h x 的最小值 h x0 因为 lnx0 所以 h x0 4 4 5 故所求的整数 k 的最大值为 4 方法二 由题意知 1 lnx 0 对 x 2 恒成立 f x 1 lnx f x 当 2k 2 即 k 1 时 f x 0 对 x 2 恒成立 所以 f x 在 2 上单调递增 而 f 2 1 ln2 0 成立 所以满足要求 当 2k 2 即 k 1 时 当 x 2 2k 时 f x 0 f x 单调递减 当 x 2k f x 0 f x 单调递增 所以当 x 2k 时 f x 有最小值 f 2k 2 ln2k k 从而 f x 0 在 x 2 恒成立 等价于 2 ln2k k 0 令 g k 2 ln2k k 则 g k 0 从而 g k 在 1 为减函数 因为 g 4 ln8 2 0 g 5 ln10 3 0 所以使 2 ln2k k 0 成立的最大正整数 k 4 综合 知所求的整数 k 的最大值为 4 点评 本题考查导数的运用 求切线方程和求单调区间及极值 最值 主要考查导数的几 何意义和函数的单调性的运用 不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题 运用分类讨 论的思想方法和函数方程的转化思想是解题的关键 20 给定一个数列 an 在这个数列里 任取 m m 3 m N 项 并且不改变它们在数 列 an 中的先后次序 得到的数列 an 的一个 m 阶子数列 已知数列 an 的通项公式为 an n N a 为常数 等差数列 a2 a3 a6是数列 an 的一个 3 子阶数列 1 求 a 的值 2 等差数列 b1 b2 bm是 an 的一个 m m 3 m N 阶子数列 且 b1 k 为 常数 k N k 2 求证 m k 1 3 等比数列 c1 c2 cm是 an 的一个 m m 3 m N 阶子数列 求证 c1 c1 cm 2 考点 数列的求和 等差数列的性质 专题 等差数列与等比数列 分析 1 利用等差数列的定义及其性质即可得出 2 设等差数列 b1 b2 bm的公差为 d 由 b1 可得 b2 再利用等差数列 的通项公式及其不等式的性质即可证明 3 设 c1 t N 等比数列 c1 c2 cm的公比为 q 由 c2 可得 q 从而 cn c1qn 1 1 n m n N 再利用等比数列的前 n 项和公式 函数的单调性即可得出 解答 1 解 a2 a3 a6成等差数列 a2 a3 a3 a6 又 a2 a3 a6 代入得 解得 a 0 2 证明 设等差数列 b1 b2 bm的公差为 d b1 b2 从而 d b2 b1 bm b1 m 1 d 又 bm 0 0 即 m 1 k 1 m k 2 又 m k N m k 1 3 证明 设 c1 t N 等比数列 c1 c2 cm的公比为 q c2 q 从而 cn c1qn 1 1 n m n N c1 c2 cm 设函数 f x x m 3 m N 当 x 0 时 函数 f x x 为单调增函数 当 t N 1 2 f 2 即 c1 c2 cm 2 点评 本题考查了利用等比数列与等差数列的通项公式及其前 n 项和公式 函数的单调性 不等式的性质 考查了推理能力与计算能力 属于难题 三 选修三 选修 4 14 1 几何证明选讲 几何证明选讲 21 如图 过点 A 的圆与 BC 切于点 D 且与 AB AC 分别交于点 E F 已知 AD 为 BAC 的 平分线 求证 EF BC 考点 与圆有关的比例线段 专题 选作题 立体几何 分析 由切线的性质知 BDE BAD 再根据角平分线的性质及平行线的判定定理求出 EF BC 解答 证明 如图 连接 ED 因为圆与 BC 切于 D 所以 BDE BAD 4 分 因为 AD 平分 BAC 所以 BAD DAC 又 DAC DEF 所以 BDE DEF 所以 EF BC 10 分 点评 主要考查的是相似三角形判定和性质的应用 切线的性质 比较简单 四 选修四 选修 4 24 2 矩阵与变换 矩阵与变换 22 已知矩阵 A A 的逆矩阵 A 1 1 求 a b 的值 2 求 A 的特征值 考点 特征向量的定义 逆矩阵的意义 专题 选作题 矩阵和变换 分析 1 利用矩阵 A A 的逆矩阵 A 1 建立方程组 求 a b 的值 2 确定 A 的特征多项式 可求 A 的特征值 解答 解 1 因为 AA 1 所以 解得 a 1 b 5 分 2 由 1 得 A 则 A 的特征多项式 f 3 1 令 f 0 解得 A 的特征值 1 1 2 3 10 分 点评 本题考查逆变换与逆矩阵 本题是一个基础题 解题的关键是记住公式 代入数据 时 不要出错 五 选修五 选修 4