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文档简介

4 5双曲面 1 单叶双曲面 定义4 5 1在直角坐标系下 方程 4 5 1 所表示的曲面叫做单叶双曲面 方程 4 5 1 叫做 单叶双曲面的标准方程 其中 是任意的正常数 现在我们从方程 4 4 1 出发来讨论椭球面的一些最简单的图形性质 单叶双曲面与z轴不相交 与x轴与y轴分别交于点 这四点叫做单叶双曲面的 顶点 因为方程仅含有坐标的平方项 可见当 满足方程时 点 也一定 关于三坐标平面 三坐标轴及坐标原点都对称 满足 其中正负号可任意选取 所以单叶双曲面 1 对称性 2 顶点 1 单叶双曲面关于坐标原点 各坐标面 坐标轴对称 单叶双曲面与x和y坐标轴的交点分别为 这四个点叫做单叶双曲面的顶点 与z轴没有交点 下面继续讨论一般单叶双曲面的形状特点 对称性已经讨论 利用平行截割法即平行平面的截口来研究曲面图形的方法 如果用三个坐标平面 分别截割曲面 那么所得的截线顺次为 y x z o 这三个截口叫做主截线 1 2 3 1 2 3 当我们用一组平行平面 来截割单叶双曲面 4 5 1 便得到椭圆 4 它的两半轴分别是 两轴的端点分别为 容易知道这两对端点分别在主双曲线 2 与 3 上 2 3 单叶双曲面可以看成是由一个椭圆的变动 大小位置都改变 而产生的 这个椭圆在变动中 这样 保持所在的平面与 面平行 且两对顶点分别沿着两个定双曲线 2 与 3 滑动 单叶双曲面 那么截线为 先看方程是什么 如果用平行于 的平面 来截割单叶 双曲面 4 5 1 那么截线的方程为 2 当 时 截线 2 为双曲线 轴 实半轴长为 它的实轴平行于 虚半轴长为 且双曲线 2 的顶点 轴 实半轴长为 虚半轴长为 且双曲线 2 的顶点 在腰椭圆 1 上 2 顶点在腰椭圆上 y x z 当 时 截线仍为双曲线 但它的实轴平行于z轴 实半轴长为 虚半轴平行于x轴 虚半轴长为 而且它的顶点 在主双曲线上 当 时 截线仍为双曲线 但它的实轴平行于z轴 实半轴长为 虚半轴平行于x轴 虚半轴长为 而且它的顶点 在主双曲线上 y x z 当 时 截线变成 或 这是两条直线 或 或 当 时 截线变成两条直线 或 当 时 截线变成两条直线 如果 那么两条直线交于 0 b 0 如果 那么两条直线交于点 0 b 0 0 b 0 0 b 0 y x 在单叶双曲面方程中 如果 那么它就成为 单叶旋转双曲面 4 3 3 方程 与 所表示的图形 也都是单叶双曲面 如果 那么两条直线交于 a 0 0 如果 那么两条直线交于点 a 0 0 求这些椭圆焦点得轨迹 解 这一族椭圆的方程为 即 因为 所以椭圆的长半轴为 短半轴为 从而椭圆焦点的坐标为 消去参数得 显然这族椭圆焦点的轨迹是一条在坐标面上的双曲线 双曲线的实轴为轴虚轴为轴 思考与练习 第16
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