数学系常微分方程期末试卷B及答案

精品文档 1欢迎下载 试卷 试卷 B B 试卷份数 考试 本科 考试科目 常 微 分 方 程 题 号一二三四五六七总 分 分 数 阅卷人 第 1 页 共 5 页 试卷说明 1 该门考试课程的考试方式 闭卷 2 考试所用时间 120 分钟 3 使用班级 数计学院 数 11 级 一 填空题 每小题 3 分 本题共 15 分 1 方程的常数解是 2 1 d d y x y 2 方程的基本解组是 04 yy 3 方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是 yx x y sin d d 2 4 线性齐次微分方程组的解组为基本解组的 条 21 xxx n YYY 件是它们的朗斯基行列式 0 xW 5 方程的任一非零解 与轴相交 sin d d yxy x y x 二 单项选择题 每小题 3 分 本题共 15 分 6 方程过点 0 0 有 3 2 3 d d y x y A 无数个解 B 只有一个解 C 只有两个解 D 只有三个解 7 方程 奇解 1 d d y x y A 有一个 B 有两个 C 无 D 有无数个 8 有界是方程初值解唯一的 条件 yxfy d d yxf x y A 必要 B 必要非充分 C 充分 D 充分必要 密 封 线 数计学院 系 级 班 姓名 学号 任课教师 审题人 精品文档 2欢迎下载 年 月 日 9 微分方程的通解 yyxx ln A B 21 lncxxcy 1ln 1 xxcy C D xxyln 21 1lncxxcy 10 阶线性非齐次微分方程的所有解 n A 构成一个线性空间 B 构成一个维线性空间1 n C 构成一个维线性空间 D 不能构成一个线性空间1 n 三 简答题 每小题 6 分 本题共 30 分 11 解方程 yx x y e d d 12 解方程 x y x y x y tan d d 密 封 线 精品文档 3欢迎下载 第 2 页 共 5 页 年 月 日 13 解方程 5 d d xyy x y 14 解方程0 d d2 22 yyxxxy 15 试讨论方程组的奇点类型 其中 a b c 为常数 且cy dt dy byax dt dx ac0 密 封 线 精品文档 4欢迎下载 第 3 页 共 5 页 年 月 日 四 计算题 每小题 10 分 本题共 20 分 16 求方程的通解 2 55xyy 17 解方程组 xyyyxx23 密 封 线 精品文档 5欢迎下载 第 4 页 共 5 页 年 月 日 五 综合能力与创新能力测试题 每小题 10 分 本题共 20 分 18 设和是二阶线性齐次微分方程的两个线性无关解 求证 它们不能有 1 xy 2 xy 共同的零点 19 已知微分方程 0 2 dyxfdxyx 有积分因子 试求所有可能的函数 x xf 密 封 线 精品文档 6欢迎下载 12 13 212 13 2 学期期末考试学期期末考试 常微分方程常微分方程 B B 参考答案及评分标准参考答案及评分标准 数计学院 数计学院 制卷 审核 一 填空题 每小题 3 分 本题共 15 分 1 2 1 yxx2cos 2sin 3 平面xoy 4 充分必要 5 不能 二 单项选择题 每小题 3 分 本题共 15 分 6 A 7 C 8 C 9 D 10 D 三 简答题 每小题 6 分 本题共 30 分 11 解 分离变量得 3 分 xy xy dede 等式两端积分得通积分 6 分 C xy ee 12 解 令 则 代入原方程 得u x y x u xu x y d d d d 2 分 uu x u xutan d d u x u xtan d d 当时 分离变量 再积分 得0tan u 4 分 C x x u u ln d tan d 5 分 Cxulnlnsinln 即通积分为 6 分 Cx x y sin 13 解 方程两端同乘以 得 5 y 2 分 xy x y y 45 d d 令 则 代入上式 得zy 4 x z x y y d d d d 4 5 3 分 xz x z d d 4 1 精品文档 7欢迎下载 通解为 4 1 e 4 xCz x 原方程通解为 6 分 4 1 e 44 xCy x 14 解 因为 所以原方程是全微分方程 2 分 x N x y M 2 取 原方程的通积分为 0 0 00 yx 4 分 Cyyxxy yx 0 2 0 dd2 即 6 分 Cyyx 32 3 1 15 解 因为方程组是二阶线性驻定方程组 且满足条件 故奇点为原点 0 0 2 分0 0 ac c ba 又由 det A E 得 4 分 0 0 2 acca c ba ca 21 所以 方程组的奇点 0 0 可分为以下类型 a c 为实数 6 分 不稳定结点 稳定结点 奇点为奇结点 奇点为退化结点 奇点为鞍点 不稳定 不稳定结点 稳定结点 奇点为结点 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ca ca b b ca ac ca ca ac ca 四 计算题 每小题 10 分 本题共 20 分 16 解 对应齐次方程的特征方程为 1 分 05 2 特征根为 特征根为 2 分 0 1 5 2 齐次方程的通解为 4 分 x CCy 5 21 e 因为是特征根 所以 设非齐次方程的特解为0 6 分 2 1 CBxAxxxy 代入原方程 比较系数确定出 3 1 A 5 1 B 25 2 C 原方程的通解为 精品文档 8欢迎下载 10 分 xxxCCy x 25 2 5 1 3 1 e 235 21 17 解 其系数矩阵为 2 分 32 11 A 特征多项式为 54 32 11 det 2 EA 其特征根为 4 分 2 21 i 当时 由方程组i 2 0 12 11 b a i i 可解得特征向量为 6 分 i T 1 1 由 8 分 tt t ie tt t e i e ttti sincos sin sincos cos 1 1 22 2 可知方程组的基本解组为 10 分 tt t e tt t e tt sincos sin sincos cos 22 五 综合能力与创新能力测试题 每小题 10 分 本题共 20 分 18 证明 由于和是两个线性无关解 则它们的朗斯基行列式 1 xy 2 xy 5 分 0 21 21 xx xx xW 假如它们有共同零点 那么存在一个点 使得 0 x 01 x 0 02 x 于是 0 00 02010201 0201 0 xxxx xx xW 这与 式矛盾 10 精品文档 9欢迎下载 19 解解 令 由所给方程有积分因子知yxyxM 2 xfyxN x 4 分 x xN y xM 即 因此函数满足一阶线性方程 xfxf xx