抽象函数-题型大全(例题-含答案)

重 庆 书 之 香 教 育 CHONG QING EDUCATION 1 高考抽象函数技巧总结高考抽象函数技巧总结 由于函数概念比较抽象 学生对解有关函数记号的问题感到困难 学好这部分知识 能加深学 f x 生对函数概念的理解 更好地掌握函数的性质 培养灵活性 提高解题能力 优化学生数学思维素质 现将常见解法及意义总结如下 一 求表达式 一 求表达式 1 换元法 即用中间变量表示原自变量的代数式 从而求出 这也是证某些公式或等式常用的方x f x 法 此法解培养学生的灵活性及变形能力 例 1 已知 求 21 1 x fx x f x 解 设 则 1 x u x 1 u x u 2 21 11 uu f u uu 2 1 x f x x 2 凑合法 在已知的条件下 把并凑成以表示的代数式 再利用代换即可求 f g xh x h x g u 此解法简洁 还能进一步复习代换法 f x 例 2 已知 求 3 3 11 f xx xx f x 解 又 22 2 11111 1 3 f xxxxx xxxxx 11 1 xx xx 1 23 3 3f xx xxx x 3 待定系数法 先确定函数类型 设定函数关系式 再由已知条件 定出关系式中的未知系数 例 3 已知二次实函数 且 2 4 求 f x 2 1 1 f xf xx x f x 解 设 则 f x 2 axbxc 22 1 1 1 1 1 1 f xf xa xb xca xb xc 比较系数得 22 222 24axbxacxx 2 4 13 21 1 22 22 ac aabc b 2 13 22 f xxx 4 利用函数性质法 主要利用函数的奇偶性 求分段函数的解析式 例 4 已知 为奇函数 当 0 时 求y f xx lg 1 f xx f x 解 为奇函数 的定义域关于原点对称 故先求0 f x f xxx lg 1 lg 1 fxxx 重 庆 书 之 香 教 育 CHONG QING EDUCATION 2 为奇函数 当 0 时 f xlg 1 xfxf x x lg 1 f xx lg 1 0 lg 1 0 x x f x x x 例 5 一已知为偶函数 为奇函数 且有 求 f x g x f x 1 1 g x x f x g x 解 为偶函数 为奇函数 f x g x fxf x gxg x 不妨用 代换 中的 x f x g x 1 1x x 即 1 1 fxgx x f x 1 1 g x x 显见 即可消去 求出函数再代入 求出 g x 2 1 1 f x x 2 1 x g x x 5 赋值法 给自变量取特殊值 从而发现规律 求出的表达式 f x 例 6 设的定义域为自然数集 且满足条件 及 1 求 f x 1 f xf xf yxy 1 f f x 解 的定义域为 N 取 1 则有 f xy 1 1f xf xx 1 2 1 f 2 f 1 f 3 2 3ff 1 f nf nn 以上各式相加 有 1 2 3 f nn 1 2 n n 1 1 2 f xx xxN 二 利用函数性质 解二 利用函数性质 解的有关问题的有关问题 f x 1 判断函数的奇偶性 例 7 已知 对一切实数 都成立 且 求证为 2 f xyf xyf x f y xy 0 0f f x 偶函数 证明 令 0 则已知等式变为 x 2 0 f yfyff y 在 中令 0 则 2 2 y 0 f 0 f 0 1 为偶函数 0 f 0 f 2 f yfyf y fyf y f x 2 确定参数的取值范围 例 8 奇函数在定义域 1 1 内递减 求满足的实数的取值范 f x 2 1 1 0fmfm m 围 解 由得 为函数 2 1 1 0fmfm 2 1 1 fmfm f x 2 1 1 fmf m 重 庆 书 之 香 教 育 CHONG QING EDUCATION 3 又 在 1 1 内递减 f x 2 2 1 11 11 101 11 m mm mm 3 解不定式的有关题目 例 9 如果 对任意的 有 比较的大小 f x 2 axbxc t 2 2 ftft 1 2 4 fff 解 对任意 有 2 为抛物线 的对称轴t 2 2 ftft xy 2 axbxc 又 其开口向上 2 最小 1 3 在 2 上 为增函数fff f x 3 4 2 1 4 fffff 五类抽象函数解法五类抽象函数解法 1 线性函数型抽象函数 线性函数型抽象函数 是由线性函数抽象而得的函数 例 1 已知函数f x 对任意实数x y 均有f x y f x f y 且当x 0 时 f x 0 f 1 2 求f x 在区间 2 1 上的值域 分析 由题设可知 函数f x 是的抽象函数 因此求函数f x 的值域 关键在于 研究它的单调性 解 设 当 即 f x 为增函数 在条件中 令y x 则 再令x y 0 则f 0 2 f 0 f 0 0 故f x f x f x 为奇函数 f 1 f 1 2 又f 2 2 f 1 4 f x 的值域为 4 2 例 2 已知函数f x 对任意 满足条件f x f y 2 f x y 且当x 0 时 f x 2 f 3 5 求不等式的解 分析 由题设条件可猜测 f x 是y x 2 的抽象函数 且f x 为单调增函数 如果这一猜想正确 也就可以脱去不等式中的函数符号 从而可求得不等式的解 解 设 当 则 重 庆 书 之 香 教 育 CHONG QING EDUCATION 4 即 f x 为单调增函数 又 f 3 5 f 1 3 即 解得不等式的解为 1 a 0 时 0 f x 0 的结论 这 是解题的关键性步骤 完成这些要在抽象函数式中进行 由特殊到一般的解题思想 联想类比思维都有 助于问题的思考和解决 定义在 R 上的函数满足 且 求的值 f x f xfx 4fxf x 220 f 2000 解 由 fxf x 220 以代入 有 tx 2ftf t 为奇函数且有 f x f 00 又由f xfx 44 fx f x f x f x f x 8 4 故是周期为 8 的周期函数 f x ff 200000 例 2 已知函数对任意实数都有 且当时 f x xy f xyf xf y x 0 求在上的值域 f xf 012 f x 21 解 设xx 12 且 xxR 12 则 xx 21 0 由条件当时 x 0f x 0 f xx 21 0 又f xfxxx 2211 f xxf xf x 2111 为增函数 f x 重 庆 书 之 香 教 育 CHONG QING EDUCATION 11 令 则yx ff xfx 0 又令 xy 0 得 f 00 fxf x 故为奇函数 f x ff 112ff 2214 上的值域为 f x 在 21 42 二二 求参数范围求参数范围 这类参数隐含在抽象函数给出的运算式中 关键是利用函数的奇偶性和它在定义域内的增减性 去 掉 符号 转化为代数不等式组求解 但要特别注意函数定义域的作用 f 例 3 已知是定义在 上的偶函数 且在 0 1 上为增函数 满足f x 11 试确定的取值范围 f afa 240 2 a 解 是偶函数 且在 0 1 上是增函数 f x 在上是减函数 f x 10 由得 121 141 2 a a 35 a 1 当时 a 2 不等式不成立 f afaf 240 2 2 当时 32 a f afa f a a a aa a 24 4 120 140 24 32 2 22 2 解之得 3 当时 25 a f afa 24 2 重 庆 书 之 香 教 育 CHONG QING EDUCATION 12 f a a a aa a 22 2 4 021 041 24 25解之得 综上所述 所求的取值范围是 a 3225 例 4 已知是定义在上的减函数 若对恒成立 f x 1f mxf mx sin cos 22 1 xR 求实数的取值范围 m 解 mx mx mxmx 2 2 22 3 13 1 sin cos sincos 对恒成立xR mx mxmx 2 22 3 1 sin sincos 对恒成立xR mx mmxxx 2 222 3 1 1 2 5 4 sin sincos sin 对恒成立 xR m mm m 2 2 31 1 5 4 2 110 2 为所求 三三 解不等式解不等式 这类不等式一般需要将常数表示为函数在某点处的函数值 再通过函数的单调性去掉函数符号 f 转化为代数不等式求解 例 5 已知函数对任意有 当时 f x xyR f xf yf xy 2x 0f x 2 求不等式的解集 f 35 f aa 2 223 解 设且xxR 12 xx 12 则xx 21 0 f xx 21 2 即 f xx 21 20 重 庆 书 之 香 教 育 CHONG QING EDUCATION 13 f xfxxx f xxf xf x f xf x 2211 2111 21 2 故为增函数 f x 又fffff 3212123145 f f aaf aa a 13 2231 221 13 2 2 即 因此不等式的解集为 f aa 2 223 aa 13 四四 证明某些问题证明某些问题 例 6 设定义在 R 上且对任意的有 求证 是周期函数 并f x xf xf xf x 12f x 找出它的一个周期 分析 这同样是没有给出函数表达式的抽象函数 其一般解法是根据所给关系式进行递推 若能得 出 T 为非零常数 则为周期函数 且周期为 T f xTf x f x 证明 f xf xf x 121 f xf xf x 1232 得 12 f xf x 33 由 3 得f xf x 364 由 3 和 4 得 f xf x 6 上式对任意都成立 因此是周期函数 且周期为 6 xR f x 例 7 已知对一切 满足 且当时 f x xy ff xyf xf y 00 x 0f x 1 求证 1 时 2 在 R 上为减函数 x 001 f x f x 证明 对一切有 xyR f xyf xf y 且 令 得 f 00 xy 0f 01 现设 则 x 0 x0fx 1 而ff xfx 01 重 庆 书 之 香 教 育 CHONG QING EDUCATION 14 fx f x 1 1 01f x 设且 xxR 12 xx 12 则01 21 f xx f xfxxx 2211 f xxf xf x 2111 f xf x 12 即为减函数 f x 五五 综合问题求解综合问题求解 抽象函数的综合问题一般难度较大 常涉及到多个知识点 抽象思维程度要求较高 解题时需把握 好如下三点 一是注意函数定义域的应用 二是利用函数的奇偶性去掉函数符号 前的 负号 三f 是利用函数单调性去掉函数符号 f 例 8 设函数定义在 R 上 当时 且对任意 有yf x x 0f x 1mn 当时 f mnf mf n mn f mf n 1 证明 f 01 2 证明 在 R 上是增函数 f x 3 设 Axyf xf yf 22 1 若 求满足的条件 Bxyf axbycabcRa 10AB abc 解 1 令得 mn 0fff 000 或 f 00f 01 若 当时 有 这与当时 矛盾 f 00 m 0f mf mf 00mn f mf n f 01 2 设 则 由已知得xx 12 xx 21 0 重 庆 书 之 香 教 育 CHONG QING EDUCATION 15 因为 若时 由f xx 21 1 x10 f x 1 1 x10 xfx 11 01 ff xfx 0 11 f x fx f xf xxf xf x f xR 1 1 22111 1 0 在 上为增函数 3 由得f xf yf 22 1 xy 22 11 由得 2 f axbyc 1axbyc 0 从 1 2 中消去得 因为y abxacxcb 22222 20 AB 240 22222 acabcb 即abc 222 例 9 定义在 上的函数满足 1 对任意都有 11 f x xy 11 f xf yf xy xy 1 2 当时 有 x 10 f x 0 1 试判断的奇偶性 2 判断的单调性 f x f x 3 求证 fff nn f 1 5 1 11 1 31 1 2 2 分析 这是一道以抽象函数为载体 研究函数的单调性与奇偶性 再以这些性质为基础去研究数列 求和的综合题 解 1 对条件中的 令 再令可得xy xy 0yx 所以是奇函数 fff f xfx f fxf x 000 0 00 f x 2 设 则 10 12 xxf xf xf xfxf xx x x 1212 12 12 1 xxx x 1212 001 由条件 2 知 从而有 即 xx x x 12 12 1 0f xx x x 12 12 1 0 f xf x 12 0 f xf x 12 故上单调递减 由奇函数性质可f x 在 10知 在 0 1 上仍是单调减函数 f x 重 庆 书 之 香 教 育 CHONG QING EDUCATION 16 3 f nn 1 31 2 f nn f nn nn 1 121 1 1 1 2 1 1 1 1 2 f n f n f n f n fff nn fffff n f n ff n n f n 1 1 1 2 1 1 1 2 1 5 1 11 1 31 1 2 1 3 1 3 1 4 1 1 1 2 1 2 1 2 0 1 2 1 1 2 0 2 ff n f fff nn f 1 2 1 2 1 2 1 5 1 11 1 31 1 2 2 抽象函数问题分类解析抽象函数问题分类解析 我们将没有明确给出解析式的函数称为抽象函数 近年来抽象函数问题频频出现于各类考试题中 由于这类问题抽象性强 灵活性大 多数同学感到困惑 求解无从下手 本文试图通过实例作分类解析 供学习参考 1 1 求定义域求定义域 这类问题只要紧紧抓住 将函数中的看作一个整体 相当于中的 x 这一特性 问f g x g x f x 题就会迎刃而解 例 1 函数的定义域为 则函数的定义域是 yf x 1yfx log 2 2 2 分析 因为相当于中的 x 所以 解得log 2 2x f x log 2 2 21x 或 22 x 22x 例 2 已知的定义域为 则的定义域是 f x 0 1yf xaf xaa 1 2 重 庆 书 之 香 教 育 CHONG QING EDUCATION 17 分析 因为及均相当于中的 x 所以xa xa f x 01 01 1 1 xa xa axa axa 1 当时 则 1 2 0axaa 1 2 当时 则0 1 2 axaa 1 2 2 判断奇偶性判断奇偶性 根据已知条件 通过恰当的赋值代换 寻求与的关系 f x fx 例 3 已知的定义域为 R 且对任意实数 x y 满足 求证 是偶函数 f x f xyf xf y f x 分析 在中 令 f xyf xf y xy 1 得ffff 11110 令 得xy 1ffff 11110 于是fxfxff xf x 11 故是偶函数 f x 例 4 若函数与的图象关于原点对称 求证 函数yf xf x 0yf x 是偶函数 yf x 证明 设图象上任意一点为 P yf x xy 00 与的图象关于原点对称 yf x yf x 关于原点的对称点在的图象上 P xy 00 xy 00 yf x yfx yfx 00 00 又yf x 00 fxf x 00 即对于函数定义域上的任意 x 都有 所以是偶函数 fxf x yf x 3 3 判断单调性判断单调性 重 庆 书 之 香 教 育 CHONG QING EDUCATION 18 根据函数的奇偶性 单调性等有关性质 画出函数的示意图 以形助数 问题迅速获解 例 5 如果奇函数在区间上是增函数且有最小值为 5 那么在区间上是f x 37 f x 73 A 增函数且最小值为B 增函数且最大值为 5 5 C 减函数且最小值为D 减函数且最大值为 5 5 分析 画出满足题意的示意图 1 易知选 B 图 1 例 6 已知偶函数在上是减函数 问在f x 0 f x 上是增函数还是减函数 并证明你的结论 0 分析 如图 2 所示 易知在上是增函数 证明如f x 0 下 任取xxxx 1212 00 因为在上是减函数 所以 f x 0 fxfx 12 又是偶函数 所以f x fxf xfxf x 1122 从而 故在上是增函数 f xf x 12 f x 0 图 2 4 4 探求周期性探求周期性 这类问题较抽象 一般解法是仔细分析题设条件 通过类似 联想出函数原型 通过对函数原型的 分析或赋值迭代 获得问题的解 例 7 设函数的定义域为 R 且对任意的 x y 有f x 并存在正实数 c 使 试问是否为周期函数 若是 f xyf xyf xf y 2f c 2 0 f x 求出它的一个周期 若不是 请说明理由 分析 仔细观察分析条件 联想三角公式 就会发现 满足题设条件 且 猜测yx coscos 2 0 是以 2c 为周期的周期函数 f x fx cc fx cc f x c f c f xcf x f xcf xcf x 2222 2 22 0 2 y 5 O 7 3 3 7 x 5 y O x 重 庆 书 之 香 教 育 CHONG QING EDUCATION 19 故是周期函数 2c 是它的一个周期 f x 5 5 求函数值求函数值 紧扣已知条件进行迭代变换 经有限次迭代可直接求出结果 或者在迭代过程中发现函数具有周期 性 利用周期性使问题巧妙获解 例 8 已知的定义域为 且对一切正实数 x y 都成立 若 f x R f xyf xf y f 84 则 f 2 分析 在条件中 令 得f xyf xf y xy 4 ffff 844244 f 42 又令 xy 2 得 fff 4 2 2 2 f 2 1 例 9 已知是定义在 R 上的函数 且满足 f x f xf xf x 2 11 求的值 f 11997 f 2001 分析 紧扣已知条件 并多次使用 发现是周期函数 显然 于是f x f x 1 f x f x f x 2 1 1 f x f x f x f x f x f x f x f x 4 12 12 1 1 1 1 1 1 1 所以f x f x f x 8 1 4 故是以 8 为周期的周期函数 从而f x fff 2001 8250111997 6 6 比较函数值大小比较函数值大小 利用函数的奇偶性 对称性等性质将自变量转化到函数的单调区间内 然后利用其单调性使问题获 解 重 庆 书 之 香 教 育 CHONG QING EDUCATION 20 例 10 已知函数是定义域为 R 的偶函数 时 是增函数 若 且f x x 0f x x10 x20 则的大小关系是 xx 12 fxfx 12 分析 且 xx 12 00 xx 12 00 1221 xxxx 又时 是增函数 x 0f x fxf x 21 是偶函数 f x fxf x 11 故fxfx 12 7 7 讨论方程根的问题讨论方程根的问题 例 11 已知函数对一切实数 x 都满足 并且有三个实根 则这三个f x fxfx 11 f x 0 实根之和是 分析 由知直线是函数图象的对称轴 fxfx 11 x 1f x 又有三个实根 由对称性知必是方程的一个根 其余两根关于直线对f x 0 x11 xx 23 x 1 称 所以 故 xx 23 212 xxx 123 3 8 8 讨论不等式的解讨论不等式的解 求解这类问题利用函数的单调性进行转化 脱去函数符号 例 12 已知函数是定义在上的减函数 且对一切实数 x 不等式f x 1 恒成立 求 k 的值 f kxf kx sin sin 22 分析 由单调性 脱去函数记号 得 kx kxkx kx kkx 22 22 22 22 1 11 1 4 1 2 sin sinsin sin sin 2 由题意知 1 2 两式对一切恒成立 则有xR 重 庆 书 之 香 教 育 CHONG QING EDUCATION 21 kx kkx k 22 22 11 1 4 1 2 9 4 1 sin sin min max 9 9 研究函数的图象研究函数的图象 这类问题只要利用函数图象变换的有关结论 就可获解 例 13 若函数是偶函数 则的图象关于直线 对称 yf x 2yf x 分析 的图象的图象 而是偶函数 对称轴是yf x 右移 个单位 左移 个单位 2 2 yf x 2yf x 2 故的对称轴是 x 0yf x x 2 例 14 若函数的图象过点 0 1 则的反函数的图象必过定点 f x f x 4 分析 的图象过点 0 1 从而的图象过点 由原函数与其反函数图象间f x f x 4 41 的关系易知 的反函数的图象必过定点 f x 4 14 10 10 求解析式求解析式 例 15 设函数存在反函数 与的图象关于直线对称 则函f x g xfxh x 1 g x xy 0 数h x A B C D f x fx fx 1 fx 1 分析 要求的解析式 实质上就是求图象上任一点的横 纵坐标之间yh x yh x P xy 00 的关系 点关于直线的对称点适合 即 P xy 00 yx yx 00 yfx 1 xgy 00 又 g xfx 1 xfyyfxyfx 0 1 00000 即 选 B h xfx 抽象函数的周期问题抽象函数的周期问题 2001 年高考数学 文科 第 22 题 设是定义在上的偶函数 其图象关于直线对称 f x Rx 1 对任意都有 xx 12 0 1 2 f xxf xf x 1212 I 设求 f 12 ff 1 2 1 4 重 庆 书 之 香 教 育 CHONG QING EDUCATION 22 II 证明是周期函数 f x 解析 解析 I 解略 II 证明 证明 依题设关于直线对称yf x x 1 故f xfxxR 2 又由是偶函数知f x fxf xxR fxfxxR 2 将上式中以代换 得 xx f xf xxR 2 这表明是上的周期函数 且 2 是它的一个周期f x R 是偶函数的实质是的图象关于直线对称f x f x x 0 又的图象关于对称 可得是周期函数f x x 1f x 且 2 是它的一个周期 由此进行一般化推广 我们得到 思考一 思考一 设是定义在上的偶函数 其图象关于直线对称 证明是周期函f x Rxa a 0f x 数 且是它的一个周期 2a 证明 证明 关于直线对称 f x xa f xfaxxR 2 又由是偶函数知f x fxf xxR fxfaxxR 2 将上式中以代换 得 xx f xfaxxR 2 是上的周期函数 f x R 且是它的一个周期2a 思考二 思考二 设是定义在上的函数 其图象关于直线和对称 证明是f x Rxa xb ab f x 周期函数 且是它的一个周期 2 ba 重 庆 书 之 香 教 育 CHONG QING EDUCATION 23 证明 证明 关于直线对称 f x xaxb 和 f xfaxxR f xfbxxR faxfbxxR 2 2 22 将上式的以代换得 xx faxfbxxR 22 f xbafxabfxaaf xxR 22222 是上的周期函数 f x R 且是它的一个周期2 ba 若把这道高考题中的 偶函数 换成 奇函数 还是不是周期函数 经过探索 我们得到f x 思考三 思考三 设是定义在上的奇函数 其图象关于直线对称 证明是周期函数 且f x Rx 1f x 4 是它的一个周期 证明 证明 关于对称 f x x 1 f xfxxR 2 又由是奇函数知 f x fxf xxR fxfxxR 2 将上式的以代换 得 xx fxf xxR f xfx f x f x f xxR 2 422 2 是上的周期函数 且 4 是它的一个周期 f x R 是奇函数的实质是的图象关于原点 0 0 中心对称 又的图象关于直线对f x f x f x x 1 称 可得是周期函数 且 4 是它的一个周期 由此进行一般化推广 我们得到f x 思考四 思考四 设是定义在上的函数 其图象关于点中心对称 且其图象关于直线f x RM a 0 对称 证明是周期函数 且是它的一个周期 xb ba f x 4 ba 证明 证明 关于点对称 f x M a 0 faxf xxR 2 重 庆 书 之 香 教 育 CHONG QING EDUCATION 24 关于直线对称 f x xb f xfbxxR fbxfaxxR 2 22 将上式中的以代换 得 xx fbxfaxxR f xba fbxba faxba fbxa faxa f xxR 22 4 224 224 22 22 是上的周期函数 且是它 f x R4 ba 的一个周期 由上我们发现 定义在上的函数 其图象若有两条对称轴或一个对称中心和一条对称轴 则Rf x 是上的周期函数 进一步我们想到 定义在上的函数 其图象如果有两个对称中心 那f x RRf x 么是否为周期函数呢 经过探索 我们得到f x 思考五 思考五 设是定义在上的函数 其图象关于点和对称 证明f x RM a 0N bab 0 是周期函数 且是它的一个周期 f x 2 ba 证明 证明 关于对称 f x M aN b 00 faxf xxR fbxf xxR faxfbxxR 2 2 22 将上式中的以代换 得 xx faxfbxxR f xbafbxa faxa f xxR 22 222 22 是周期函数 f x 且是它的一个周期2 ba 抽象函数解法例谈抽象函数解法例谈 抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像 只给出一些函数符号及其满足的条件的函数 如函 数的定义域 解析递推式 特定点的函数值 特定的运算性质等 它是高中函数部分的难点 也是大学高等数 学函数部分的一个衔接点 由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体 因此理解研究起来比较困难 但 由于此类试题即能考查函数的概念和性质 又能考查学生的思维能力 所以备受命题者的青睐 那么 怎样 求解抽象函数问题呢 我们可以利用特殊模型法 函数性质法 特殊化方法 联想类比转化法 等多种方法从 多角度 多层面去分析研究抽象函数问题 一一 函数性质法函数性质法 函数的特征是通过其性质 如奇偶性 单调性周期性 特殊点等 反应出来的 抽象函数也是如此 只有充分 挖掘和利用题设条件和隐含的性质 灵活进行等价转化 抽象函数问题才能转化 化难为易 常用的解题方 法有 1 利用奇偶性整体思考 2 利用单调性等价转化 3 利用周期性回归已知 4 利用对称性数形结合 5 借助特殊点 布列方程等 重 庆 书 之 香 教 育 CHONG QING EDUCATION 25 二二 特殊化方法特殊化方法 1 在求解函数解析式或研究函数性质时 一般用代换的方法 将 x 换成 x 或将 x 换成等 2 在求函数值时 可用特殊值代入 3 研究抽象函数的具体模型 用具体模型解选择题 填空题 或由具体模型函数对综合题 的解答提供思路和 方法 总之 抽象函数问题求解 用常规方法一般很难凑效 但我们如果能通过对题目的信息分析与研究 采用特 殊的方法和手段求解 往往会收到事半功倍之功效 真有些山穷水复疑无路 柳暗花明又一村的快感 1 已知函数 f x 对任意 x y R 都有 f x y f x f y 3xy x y 2 3 且 f 1 1 若 t 为自然数 t 0 试求 f t 的表达式 满足 f t t 的所有整数 t 能否构成等差数列 若能求出此数列 若不能说明理由 若 t 为自然数且 t 4 时 f t mt2 4m 1 t 3m 恒成立 求 m 的最大值 2 已知函数 f x 且 f x g x 定义域都是 R 且 g x 0 g 1 2 g x 是增函数 g m 1 1 xg xg g n g m n m n R 求证 f x 是 R 上的增函数 当 nN n 3 时 f n 1 n n 解 设 x1 x2 g x 是 R 上的增函数 且 g x 0 g x1 g x2 0 g x 1 1 g x2 1 0 0 1 2 2 xg1 2 1 xg 0 1 2 2 xg1 2 1 xg f x1 f x2 1 1 1 1 1 1 xg xg 1 1 2 2 xg xg 1 2 1 xg1 2 2 xg 0 1 2 2 xg1 2 1 xg f x1 f x2 f x 是 R 上的增函数 g x 满足 g m g n g m n m n R 且 g x 0 g n g 1 n 2n 重 庆 书 之 香 教 育 CHONG QING EDUCATION 26 当 nN n 3 时 2n n f n 1 1 12 12 n n 12 2 n 1 n n 1 1 n 2n 1 1 n 1 n n 1 2n 1 i n C 2n 1 2n 2 1 12 2 n 1 1 n12 2 n 1 1 n 当 nN n 3 时 f n 1 n n 3 设 f1 x f2 x 是 0 上的函数 且 f1 x 单增 设 f x f1 x f2 x 且对于 0 上的任意两相异实数 x1 x2 恒有 f1 x1 f1 x2 f2 x1 f2 x2 求证 f x 在 0 上单增 设 F x x f x a 0 b 0 求证 F a b F a F b 证明 设 x1 x2 0 f1 x 在 0 上单增 f1 x1 f1 x2 0 f1 x1 f1 x2 f1 x1 f1 x2 0 f1 x1 f1 x2 f2 x1 f2 x2 f1 x2 f1 x1 f2 x1 f2 x2 f1 x2 f2 x2 f x1 f x2 f x 在 0 上单增 F x x f x a 0 b 0 a b a 0 a b b 0 F a b a b f a b af a b bf a b f x 在 0 上单增 F a b af a bf b F a F b 4 函数 y f x 满足 f a b f a f b f 4 16 m n 为互质整数 n 0 求 f 的值 n m 重 庆 书 之 香 教 育 CHONG QING EDUCATION 27 f 0 f 0 0 f 0 f 0 f2 0 f 0 0 或 1 若 f 0 0 则 f 4 16 f 0 4 f 0 f 4 0 矛盾 f 1 1 f 4 f 2 f 2 f 1 f 1 f 1 f 1 16 f 1 f2 0 2 1 f 1 2 仿此可证得 f a 0 即 y f x 是非负函数 f 0 f a a f a f a f a 1 af n N 时 f n fn 1 2n f n 2 n f 1 f fn 2 n 1 n 1 n 1 n 1 f n 1 n 1 2 f f m n m n 1 n m 2 5 定义在 1 1 上的函数 f x 满足 任意 x y 1 1 都有 f x f y f x 1 0 时 xy yx 1 有 f x 0 1 判定 f x 在 1 1 上的奇偶性 并说明理由 2 判定 f x 在 1 0 上的单调性 并给出证明 3 求证 f f f 13 1 2 nn1 1 n2 1 n 或 f f f f n N 5 1 11 1 13 1 2 nn2 1 解 1 定义在 1 1 上的函数 f x 满足任意 x y 1 1 都有 f x f y f 则当 y 0 时 f x f 0 f x xy yx 1 f 0 0 当 x y 时 f x f x f 0 重 庆 书 之 香 教 育 CHONG QING EDUCATION 28 f x 是 1 1 上的奇函数 2 设 0 x1 x2 1 f x1 f x2 f x1 f x2 1 21 21 xx xx f 0 x1 x2 1 x 1 0 时 有 f x 0 1 x1 x2 0 x1 x2 0 0 1 21 21 xx xx f 即 f x 在 1 0 上单调递增 3 f f 13 1 2 nn123 1 2 nn f f 2 1 1 1 2 1 1 nn nn 2 1 1 1 1 2 1 1 1 nn nn f f 1 1 n2 1 n f f f 5 1 11 1 13 1 2 nn f f f f f f f 2 1 3 1 3 1 4 1 4 1 1 1 n2 1 n f f f f 2 1