2.1.2演绎推理65672

2 1合情推理与演绎推理 演绎推理 示例1 类比平面内直角三角形的勾股定理 试给出空间中四面体性质的猜想 图 1 图 2 例2 数一数图中的凸多面体的面数F 顶点数V和棱数E 然后用归纳推理得出它们之间的关系 例题解析 F V E 2 欧拉公式 一 复习回顾 由某类事物的部分对象具有某些特征 推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理 或者由个别事实概栝出一般结论的推理 称为归纳推理 简称归纳 2 类比推理 1 归纳推理 由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征 推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理 简称类比 从具体问题出发 观察 分析比较 联想 提出猜想 归纳 类比 复习 1 归纳推理是从到的推理 特殊 一般 2 类比推理是从到的推理 特殊 特殊 3 归纳推理和类比推理的结论是否一定正确 归纳推理和类比推理能否作为数学证明的工具 类比推理的一般步骤 找出两类对象之间可以确切表述的相似特征 用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征 从而得出一个猜想 检验猜想 对有限的资料进行观察 分析 归纳整理 提出带有规律性的结论 即猜想 检验猜想 归纳推理的一般步骤 案例 1 观察1 3 4 22 1 3 5 9 32 1 3 5 7 16 42 1 3 5 7 9 25 52 由上述具体事实能得到怎样的结论 2 在平面内 若a c b c 则a b 类比地推广到空间 你会得到什么结论 并判断正误 完成下列推理 1 所有的金属都能导电 2 一切奇数都不能被2整除 所以铜能够导电 因为铜是金属 所以2007不能被2整除 因为2007是奇数 一般性的原理 特殊情况 结论 一般性的原理 特殊情况 结论 它们是合情推理吗 它们有什么特点 二 新授课 从一般性的原理出发 推出某个特殊情况下的结论 这种推理称为演绎推理 1 所有的金属都能导电 2 一切奇数都不能被2整除 所以铜能够导电 因为铜是金属 所以2007不能被2整除 因为2007是奇数 大前提 小前提 结论 一般性的原理 特殊情况 结论 一般性的原理 特殊情况 结论 案例分析2 1 演绎推理从的原理出发 推出情况下的结论的推理形式 它的特点是 由的推理 它的特征是 当都正确时 必然正确 一般性 某个特殊 一般到特殊 前提和推理形式 结论 从一般性的原理出发 推出某个特殊情况下的结论 这种推理称为演绎推理 注 演绎推理是由一般到特殊的推理 三段论 是演绎推理的一般模式 包括 大前提 已知的一般原理 小前提 所研究的特殊情况 结论 据一般原理 对特殊情况做出的判断 3 三段论推理的依据 用集合的观点来理解 若集合M的所有元素都具有性质P S是M的一个子集 那么S中所有元素也都具有性质P M S a 4 三段论 的常用格式大前提 小前提 结论 M是P S是M S是P 大前提 刑法规定抢劫罪是以非法占有为目的 使用暴力 胁迫或其他方法 强行劫取公私财物的行为 其刑事责任年龄起点为14周岁 对财物的数额没有要求 小前提 小明超过14周岁 强行向路人抢取钱财50元 结论 小明犯了抢劫罪 小明是一名高二年级的学生 17岁 迷恋上网络 沉迷于虚拟的世界当中 由于每月的零花钱不够用 便向亲戚要钱 但这仍然满足不了需求 于是就产生了歹念 强行向路人抢取钱财 但小明却说我是未成年人而且就抢了50元 这应该不会很严重吧 如果你是法官 你会如何判决呢 例1 下列说法正确的个数是 演绎推理是由一般到特殊的推理 演绎推理得到的结论一定是正确的 演绎推理的一般模式是 三段论 形式 演绎推理得到的结论的正误与大前提 小前提和推理形式有关A 1B 2C 3D 4 答案 C 解析 由演绎推理的概念可知说法 正确 不正确 故应选C 下列几种推理过程是演绎推理的是 A 两条直线平行 同旁内角互补 如果 A与 B是两条平行直线的同旁内角 则 A B 180 B 西华三高1113班有63人 1114班有64人 1115班有66人 由此得高三所有班人数都超过60人C 由平面三角形的性质 推测空间四面体的性质 解析 C是类比推理 B与D均为归纳推理 而合情推理包括类比推理和归纳推理 故B C D都不是演绎推理 而A是由一般到特殊的推理形式 故A是演绎推理 A 分析 即写出推理的大前提 小前提 结论 大前提可能在题目中给出 也可能是已经学过的知识 解析 1 每个菱形的对角线相互垂直大前提正方形是菱形小前提正方形的对角线相互垂直结论 2 两个角是对顶角则两角相等大前提 1和 2不相等小前提 1和 2不是对顶角结论 点评 在三段论中 大前提 提供了一般的原理 原则 小前提 指出了一个特殊场合的情况 结论 在大前提和小前提的基础上 说明一般原则和特殊情况间的联系 平时大家早已能自发地使用三段论来进行推理 学习三段论后我们要主动地理解和掌握这一推理方法 把下列演绎推理写成三段论的形式 1 在一个标准大气压下 水的沸点是100 所以在一个标准大气压下把水加热到100 时 水会沸腾 2 一切奇数都不能被2整除 2100 1 是奇数 所以 2100 1 不能被2整除 3 三角函数都是周期函数 y tan 是周期函数 4 如果 A与 B是两条平行直线的同旁内角 那么 A B 180 解析 1 大前提 在一个标准大气压下 水的沸点100 小前提 在一个标准大气压下把水加热到100 结论 水会沸腾 2 大前提 一切奇数都不能被2整除 小前提 2100 1是奇数 结论 2100 1不能被2整除 3 大前提 三角函数都是周期函数 小前提 y tan 是三角函数 结论 y tan 是周期函数 4 大前提 两条直线平行 同旁内角互补 小前提 A与 B是两条平行直线的同旁内角 结论 A B 180 例3 指出下面推理中的错误 1 因为自然数是整数 大前提而 6是整数 小前提所以 6是自然数 结论 2 因为中国的大学分布于中国各地 大前提而北京大学是中国的大学 小前提所以北京大学分布于中国各地 结论 分析 要判定推理是否正确 主要从三个方面 1 大前提是否正确 2 小前提是否正确 3 推理形式是否正确 只有当上面3条都正确时 结论才正确 解析 1 推理形式错误 M是 自然数 P是 整数 S是 6 故按规则 6 应是自然数 M 此时它是错误的小前提 推理形式不对 所得结论是错误的 2 这个推理错误的原因是大 小前提中的 中国的大学 未保持同一 它在大前提中表示中国的各所大学 而在小前提中表示中国的一所大学 点评 三段论的论断基础是这样一个原理 凡肯定 或否定 了某一类对象的全部 也就肯定 或否定 了这一类对象的各部分或个体 简言之 全体概括个体 M P S三个概念之间的包含关系表现为 如果概念P包含了概念M 则必包含了M中的任一概念S 如图甲 如果概念P排斥概念M 则必排斥M中的任一概念S 如图乙 M 二次函数的图象是一条抛物线 例4完成下面的推理过程 二次函数y x2 x 1的图象是 函数y x2 x 1是二次函数 函数y x2 x 1的图象是一条抛物线 大前提 小前提 结论 解 一条抛物线 P S 试将其恢复成完整的三段论 例5 在锐角三角形ABC中 AD BC BE AC D E是垂足 求证AB的中点M到D E的距离相等 大前提 小前提 结论 大前提 小前提 结论 练1分析下列推理是否正确 说明为什么 1 自然数是整数 3是自然数 3是整数 大前提错误 推理形式错误 小前提错误 5 如图 在 ABC中 AC BC CD是AB边上的高 求证 ACD BCD 证明 在 ABC中 因为CD AB AC BC所以AD BD 于是 ACD BCD 错因 偷换概念 例6证明函数f x x2 2x在 1 是增函数 函数f x x2 2x在 1 是增函数 证明 满足对于任意x1 x2 D 若x1 x2 有f x1 f x2 成立的函数f x 是区间D上的增函数 大前提 小前提 结论 合情推理与演绎推理的区别 合情推理 归纳推理 类比推理 由部分到整体 个别到一般的推理 由特殊到特殊的推理 结论不一定正确 有待进一步证明 演绎推理 由一般到特殊的推理 在前提和推理形式都正确时 得到的结论一定正确 合情推理的结论需要演绎推理的验证 而演绎推理的方向和思路一般是通过合情推理获得的 1 已知lg2 m 计算lg0 8 思考题 lg8 3lg2 lg a b lga lgb a 0 b 0 lg0 8 lg 8 10 lg0 8 lg8 lg10 3lg2 1 解 1 a 0 2 下列几种推理