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第一篇 数与代数 第1节 数与式 1、 实数 1. 实数的分类：整数(包括:正整数、0、负整数)和分数(包括:有限小数和无限环循小数)都是有理数.如: 3, ,0.231,0.737373, , 等；无限不环循小数叫做无理数. 如:, ,0.1010010001(两个1之间依次多1个0)等.有理数和无理数统称为实数. 2. 数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴。实数和数轴上的点一一对应。 3. 绝对值：在数轴上表示数a的点到原点的距离叫数a的绝对值，记作a。正数的绝对值 是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。如:丨 _丨= ；丨3.14丨=3.14. 4. 相反数：符号不同、绝对值相等的两个数，叫做互为相反数。a的相反数是-a，0的相反数 是0。 5. 有效数字：一个近似数,从左边笫一个不是0的数字起,到最末一个数字止,所有的数字,都叫 做这个近似数的有效数字.如:0.05972精确到0.001得0.060,结果有两个有效数字6,0. 6. 科学记数法：把一个数写成a10n的形式(其中1an）；幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘，即 （n为正整数）；零指数： （a0）；负整数指数： （a0，n为正整数）； 2. 整式的乘除法: 几个单项式相乘除,系数与系数相乘除,同底数的幂结合起来相乘除. 单项式乘以多项式,用单项式乘以多项式的每一个项. 多项式乘以多项式,用一个多_项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项. 多项式除以单项式,将多项式的每一项分别除以这个单项式. 平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方，即 ； 完全平方公式：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍，即 3分解因式：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式 4 分解因式的方法： 提公团式法：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而 将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法 运用公式法：公式 ； 5 分解因式的步骤：分解因式时，首先考虑是否有公因式，如果有公因式，一定先提取公团式， 然后再考虑是否能用公式法分解 6 分解因式时常见的思维误区： 提公因式时，其公团式应找字母指数最低的，而不是以首项为准 提取公因式时，若有一项被全部提出，括号内的项“ 1”易漏掉 分解不彻底，如保留中括号形式，还能继续分解等 4. 分式 1分式：整式A除以整式B，可以表示成的形式，如果除式B中含有字母，那么称为分式 注：（1）若B0，则有意义；（2）若B=0，则无意义；（2）若A=0且B0，则=0 2 分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不 变 3约分：把一个分式的分子和分母的公团式约去，这种变形称为分式的约分 4通分：根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通 分 5 分式的加减法法则：（1）同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减；（2）异分母的 分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法则进行计算 6 分式的乘除法法则：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积 的分母；两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘 7 通分注意事项：（1）通分的关键是确定最简公分母，最简公分母应为各分母系救的最小公 倍数与所有相同因式的最高次幂的积；（2）易把通分与去分母混淆，本是通分，却成了去分母，把分式中的分母丢掉 8 分式的混合运算顺序，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的 9 对于化简求值的题型要注意解题格式，要先化简， 第2节 方程与不等式 一、一元一次方程 1 方程：含有未知数的等式叫方程 2一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的指数是1（次）系数不为0，这样的方程叫一元一次方程一般形式：axb=0（a0） 3解一元一次方程的一般步骤及注意事项： 2、 二元一次方程（组） 1 二元一次方程：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程 2二元一次方程组：含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组 3 二元一次方程组的解：二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解 4 二元一次方程组的解法 （1）代人消元法：解方程组的基本思路是“消元”一把“二元”变为“一元”，主要步骤是， 将其中一个方程中 的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代人另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程，这种解方程组的方法称为代人消元法，简称代人法 （2）加减消元法：通过方程两边分别相加（减）消去其中一个未知数，这种解二元一次方程 组的方法叫做加减消元法，简称加减法 三、分式方程 1分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程 2.解分式方程的步骤:去分母,化为整式方程;解整式方程;验根;下结论. 3分式方程的增根问题： 增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的根l增根； 验根：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根 四、一元二次方程 1 一元二次方程：只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，且系数不为 0，这样的方程叫一元二次方 程一般形式：ax2bx+c=0(a0） 2一元二次方程的解法： 配方法：配方法是一种以配方为手段，以开平方为基础的一种解一元二次方程的方法用配方法解一元二次方程：ax2bx+c=0(k0）的一般步骤是：化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；移项，即使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项；配方，即方程两边都加上一次项系数的绝对值一半的平方；化原方程为(x+m）2=n的形式；如果n0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果n=0，则原方程无解 公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法它是通过配方推导出来的一元二次方程的求根公式是 (b24ac0) (2) 正方形的性质：正方形的四边相等；正方形的四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角； (3)正方形的判定：有一个角是直角的菱形是正方形；有一组邻边相等的矩形是正方形。 6.等腰梯形 (1) 等腰梯形的性质:等腰梯形同一底边上的两个内角相等等腰梯形的两条对角线相等。 (2)等腰梯形的判定：同一底边上的两个角相等的梯形是等腰梯形；*两条对角线相等的梯形是等腰梯形。 六、圆 1.圆有关的概念: （1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，其中，定点为圆心，定长为半径 （2）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角 （3）圆周角：顶点在圆上，两边分别与圆还有另一个交点的角叫做圆周角 （4）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧 称为劣弧 （5）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径 2.圆的有关的性质： （1）圆心角、弦和弧三者之间的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等； （2）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧； （3）圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数； （4）圆心角与圆周角的关系: 同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的国心角的一半 （5）圆内接四边形:顶点都在国上的四边形，叫圆内接四边形圆内接四边形对角互补. （6）圆周角定理：直径所对的圆周角是直角，反过来， 的圆周角所对的弦是直径； （7）切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线； （8）切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径； （9）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，这一点到两切点的线段相等，它与圆心的 连线平分两切线的夹角； 3三角形的内心和外心 （1）确定圆的条件：不在同一直线上的三个点确定一个圆 （2）三角形的外心：三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆 的圆心就是三角形三边的垂直平分线的交点，叫做三角形的外心 （3）三角形的内心：和三角形的三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三 角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心 4.点与圆的位置关系：点在圆外，点在圆上，点在圆内，设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则点在圆外 dr点在圆上 d=r点在圆内 dr 5直线和圆的位置关系有三种：相交、相切、相高 设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则直线与圆相交 dr，直线与圆相切 d=r，直线与圆相离 dr 6.圆与圆的位置关系3设两圆的圆心距为d，两圆的半径分别为R和r，则 两圆外离 dR+r； 两圆外切 d=Rr； 两圆相交 RrdR+r（Rr） 两圆内切 d=Rr（Rr） 两圆内含 dRr（Rr） 7.圆有关的计算: (1)弧长计算公式： （R为圆的半径，n是弧所对的圆心角的度数， 为弧长） (2)扇形面积： 或 （R为半径，n是扇形所对的圆心角的度数， 为扇形的弧长） (3)圆锥:_. 七、尺规作图（基本作图、利用基本图形作三角形和圆）作一条线段等于已知线段，作一个角 等于已知角；作已知角的平分线；作线段的垂直平分线；过一点作已知直线的垂线； 八、视图与投影 1视图：主视图、左视图、俯视图 2基本几何体的三视图画法：（1）观察方向：正面、侧面、上面（2）视图特点：长对正，高平齐，宽相等 （3）要注意实线与虚线的用法 3.平行投影：太阳光线可以看成是平行光线，像这样的光线形成的投影称为平行投影 4.中心投影：光线可以看成是从一点发出的，像这样的光线形成的投影称为中心投影 第二节 图形与变换 一.图形的轴对称 1.轴对称的基本性质：对应点所连的线段被对称轴平分； 2.等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正多边形、圆是轴对称图形； 二.图形的平移 1、平移的概念：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移，平移不改变图形的形状和大小 注:（1）平移是运动的一种形式，是图形变换的一种，本讲的平移是指平面图形在同一平面内的变换 （2）图形的平移有两个要素：一是图形平移的方向，二是图形平移的距离，这两个要素是图形平移 的依据 （3）图形的平移是指图形整体的平移，经过平移后的图形，与原图形相比，只改变了位置，而不改变图形的大小，这个特征是得出图形平移的基本性质的依据 2平移的基本性质：由平移的基本概念知，经过平移，图形上的每一个点都沿同一个方向移动相同的距离，平移不改变图形的形状和大小，因此平移具有下列性质：经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等 注：（1）要注意正确找出“对应线段，对应角”，从而正确表达基本性质的特征（2）“对应点所连的线段平行且相等”，这个基本性质既可作为平移图形之间的性质，又可作为平移作图的依据 三.图形的旋转 1.图形旋转的基本性质：对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等； 2.中心对称图形:_ 3.平行四边形、矩形、菱形、正多边形（边数是偶数）、圆是中心对称图形； 四.图形的相似 1.比例的基本性质：如果 ，则 ，如果 ，则 2.相似三角形的判定： 两组角对应相等；两边对应成比例且夹角对应相等；三边对 应成比例 3.相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等；相似三角形的对应边成比例；相似三角形的周长之比等于相似比；相似三角形的面积比等于相似比的平方； 4.图形的位似与图形相似的关系：两个图形相似不一定是位似图形，两个位似图形一定是相似图形； 第三篇 概率与统计 一统计 1.数据收集方法、数据的表示方法:统计表和扇形统计图、折线统计图、条形统计图. 2.总体与样本:所要考察对象的全体叫做总体，其中每一个考察对象叫做个体，从总体中所抽取的一部分个体叫做总体的一个样本，样本中个体数目叫做样本容量。 3.众数与中位数 众数：在一组数据中,出现次数最多的数(有时不止一个),叫做这组数据的众数. 中位数：将一组数据按大小顺序排列,把处在最中间的一个数(或两个数的平均数)叫做这组数据的中位数. 4.频率分布直方图 把一组数分成若干个小组,组距=(最大值最小值)组数(求组数时,用收尾法取整数),这时,落在某小组内的数据的个数叫做这组的频数,每一小组的频数与数据总个数的比值叫做这一小组的频率（ ）.因此, 各小组的频数之和等于总数，各小组的频率之和等于1.在频率分布直方图中,各小长方形的面积等于相应各组的频率. 5.平均数的两个公式 n个数 、 , 的平均数为： ； 如果在n个数中， 出现 次、 出现 次, 出现 次，并且 + + =n，则 ，这时 也叫加权平均数，其中 ， ， 叫做权。 6.极差、方差与标准差计算公式： (1)极差：用一组数据的最大值减去最小值所得的差来反映这组数据的变化范围，用这种方法得到的差称为极差， 即：极差=最大值-最小值； (2)方差： = (3)标准差：= 二、概率 1.不可能事件、必然事件和随机事件 _是不可能事件. _是必然事件. _是随机事件. 2.等可能事件的概率:一般地,_那么事件A发生的概率为P(A)= . 3.在具体情境中了解概率的意义，运用列举法（包括列表、画树状图）计算简单事件发生的 概率;大量的重复实验时频率可视为事件发生概率的估计值. 4频数、频率、概率：对一个随机事