三角函数公式大全关系

三角函数公式大全关系 倒数倒数 tan cot 1 sin csc 1 cos sec 1 商的关系 sin cos tan sec csc cos sin cot csc sec 平方关系 sin 2 cos 2 1 1 tan 2 sec 2 1 cot 2 csc 2 平常针对不同条件的常用的两个公式 sin 2 cos 2 1 tan cot 1 一个特殊公式 sina sin sina sin sin a sin a 证明 sina sin sina sin 2 sin a 2 cos a 2 2 cos a 2 sin a 2 sin a sin a 坡度公式坡度公式 我们通常半坡面的铅直高度 h 与水平高度 l 的比叫做坡度 也叫坡比 用字母 i 表示 即 i h l 坡度的一般形式写成 l m 形式 如 i 1 5 如果把坡面与水平面的夹角记作 a 叫做坡角 那么 i h l tan a 锐角三角函数公式 正弦 sin 的对边 的斜边 余弦 cos 的邻边 的斜边 正切 tan 的对边 的邻边 余切 cot 的邻边 的对边 二倍角公式二倍角公式 正弦 sin2A 2sinA cosA 余弦 1 Cos2a Cos 2 a Sin 2 a 2 Cos2a 1 2Sin 2 a 3 Cos2a 2Cos 2 a 1 即 Cos2a Cos 2 a Sin 2 a 2Cos 2 a 1 1 2Sin 2 a 正切 tan2A 2tanA 1 tan 2 A 三倍角公式三倍角公式 sin3 4sin sin 3 sin 3 cos3 4cos cos 3 cos 3 tan3a tan a tan 3 a tan 3 a 三倍角公式推导 sin 3a sin a 2a sin2acosa cos2asina 2sina 1 sin a 1 2sin a sina 3sina 4sin 3a cos3a cos 2a a cos2acosa sin2asina 2cos a 1 cosa 2 1 cos a cosa 4cos 3a 3cosa sin3a 3sina 4sin 3a 4sina 3 4 sin a 4sina 3 2 sin a 4sina sin 60 sin a 4sina sin60 sina sin60 sina 4sina 2sin 60 a 2 cos 60 a 2 2sin 60 a 2 cos 60 a 2 4sinasin 60 a sin 60 a cos3a 4cos 3a 3cosa 4cosa cos a 3 4 4cosa cos a 3 2 2 4cosa cos a cos 30 4cosa cosa cos30 cosa cos30 4cosa 2cos a 30 2 cos a 30 2 2sin a 30 2 sin a 30 2 4cosasin a 30 sin a 30 4cosasin 90 60 a sin 90 60 a 4cosacos 60 a cos 60 a 4cosacos 60 a cos 60 a 上述两式相比可得 tan3a tanatan 60 a tan 60 a 现列出公式如下 sin2 2sin cos tan2 2tan 1 tan 2 cos2 cos 2 sin 2 2cos 2 1 1 2sin 2 可别轻视这些字符 它们在数学学习中会起到重要作用 包括一 些图像问题和函数问题中 三倍角公式三倍角公式 sin3 3sin 4sin 3 4sin sin 3 sin 3 cos3 4cos 3 3cos 4cos cos 3 cos 3 tan3 tan 3 tan 2 1 3 tan 2 tan a tan 3 a tan 3 a 半角公式半角公式 sin 2 2 1 cos 2 cos 2 2 1 cos 2 tan 2 2 1 cos 1 cos tan 2 sin 1 cos 1 cos sin 万能公式万能公式 sin 2tan 2 1 tan 2 2 cos 1 tan 2 2 1 tan 2 2 tan 2tan 2 1 tan 2 2 其他 sin sin 2 n sin 2 2 n sin 2 3 n sin 2 n 1 n 0 cos cos 2 n cos 2 2 n cos 2 3 n cos 2 n 1 n 0 以及 sin 2 sin 2 2 3 sin 2 2 3 3 2 tanAtanBtan A B tanA tanB tan A B 0 四倍角公式四倍角公式 sin4A 4 cosA sinA 2 sinA 2 1 cos4A 1 8 cosA 2 8 cosA 4 tan4A 4 tanA 4 tanA 3 1 6 tanA 2 tanA 4 五倍角公式五倍角公式 sin5A 16sinA 5 20sinA 3 5sinA cos5A 16cosA 5 20cosA 3 5cosA tan5A tanA 5 10 tanA 2 tanA 4 1 10 tanA 2 5 tanA 4 六倍角公式六倍角公式 sin6A 2 cosA sinA 2 sinA 1 2 sinA 1 3 4 sinA 2 cos6A 1 2 cosA 2 16 cosA 4 16 cosA 2 1 tan6A 6 tanA 20 tanA 3 6 tanA 5 1 15 tanA 2 15 tanA 4 tanA 6 七倍角公式七倍角公式 sin7A sinA 56 sinA 2 112 sinA 4 7 64 sinA 6 cos7A cosA 56 cosA 2 112 cosA 4 64 cosA 6 7 tan7A tanA 7 35 tanA 2 21 tanA 4 tanA 6 1 21 tanA 2 35 tanA 4 7 tanA 6 八倍角公式八倍角公式 sin8A 8 cosA sinA 2 sinA 2 1 8 sinA 2 8 sinA 4 1 cos8A 1 160 cosA 4 256 cosA 6 128 cosA 8 32 cosA 2 tan8A 8 tanA 1 7 tanA 2 7 tanA 4 tanA 6 1 28 tanA 2 70 tanA 4 28 tanA 6 tanA 8 九倍角公式九倍角公式 sin9A sinA 3 4 sinA 2 64 sinA 6 96 sinA 4 36 sinA 2 3 cos9A cosA 3 4 cosA 2 64 cosA 6 96 cosA 4 36 cosA 2 3 tan9A tanA 9 84 tanA 2 126 tanA 4 36 tanA 6 tanA 8 1 36 tanA 2 126 tanA 4 84 tanA 6 9 tanA 8 十倍角公式十倍角公式 sin10A 2 cosA sinA 4 sinA 2 2 sinA 1 4 sinA 2 2 sinA 1 20 sinA 2 5 16 sinA 4 cos10A 1 2 cosA 2 256 cosA 8 512 cosA 6 304 cosA 4 48 cosA 2 1 tan10A 2 tanA 5 60 tanA 2 126 tanA 4 60 tanA 6 5 tanA 8 1 45 tanA 2 210 tanA 4 210 tanA 6 45 tanA 8 tanA 10 N 倍角公式倍角公式 根据棣美弗定理 cos i sin n cos n i sin n 为方便描述 令 sin s cos c 考虑 n 为正整数的情形 cos n i sin n c i s n C n 0 c n C n 2 c n 2 i s 2 C n 4 c n 4 i s 4 C n 1 c n 1 i s 1 C n 3 c n 3 i s 3 C n 5 c n 5 i s 5 比较两 边的实部与虚部 实部 cos n C n 0 c n C n 2 c n 2 i s 2 C n 4 c n 4 i s 4 i 虚部 i sin n C n 1 c n 1 i s 1 C n 3 c n 3 i s 3 C n 5 c n 5 i s 5 对所有的自然数 n 1 cos n 公式中出现的 s 都是偶次方 而 s 2 1 c 2 平方 关系 因此全部都可以改成以 c 也就是 cos 表示 2 sin n 1 当 n 是奇数时 公式 中出现的 c 都是偶次方 而 c 2 1 s 2 平方关系 因此全部都可以改成以 s 也就是 sin 表 示 2 当 n 是偶数时 公式中出现的 c 都是奇次方 而 c 2 1 s 2 平方关系 因此即使 再怎么换成 s 都至少会剩 c 也就是 cos 的一次方无法消掉 例 c 3 c c 2 c 1 s 2 c 5 c c 2 2 c 1 s 2 2 半角公式半角公式 tan A 2 1 cosA sinA sinA 1 cosA cot A 2 sinA 1 cosA 1 cosA sinA sin 2 a 2 1 cos a 2 cos 2 a 2 1 cos a 2 tan a 2 1 cos a sin a sin a 1 cos a 和差化积和差化积 sin sin 2 sin 2 cos 2 sin sin 2 cos 2 sin 2 cos cos 2 cos 2 cos 2 cos cos 2 sin 2 sin 2 tanA tanB sin A B cosAcosB tan A B 1 tanAtanB tanA tanB sin A B cosAcosB tan A B 1 tanAtanB 两角和公式两角和公式 tan tan tan 1 tan tan tan tan tan 1 tan tan cos cos cos sin sin cos cos cos sin sin sin sin cos cos sin sin sin cos cos sin 积化和差积化和差 sin sin cos cos 2 cos cos cos cos 2 sin cos sin sin 2 cos sin sin sin 2 双曲函数双曲函数 sh a e a e a 2 ch a e a e a 2 th a sin h a cos h a 公式一 设 为任意角 终边相同的角的同一三角函数的值相等 sin 2k sin cos 2k cos tan 2k tan cot 2k cot 公式二 设 为任意角 的三角函数值与 的三角函数值之间的关系 sin sin cos cos tan tan cot cot 公式三 任意角 与 的三角函数值之间的关系 sin sin cos cos tan tan cot cot 公式四 利用公式二和公式三可以得到 与 的三角函数值之间的关系 sin sin cos cos tan tan cot cot 公式五 利用公式 和公式三可以得到 2 与 的三角函数值之间的关系 sin 2 sin cos 2 cos tan 2 tan cot 2 cot 公式六 2 及 3 2 与 的三角函数值之间的关系 sin 2 cos cos 2 sin tan 2 cot cot 2 tan sin 2 cos cos 2 sin tan 2 cot cot 2 tan sin 3 2 cos cos 3 2 sin tan 3 2 cot cot 3 2 tan sin 3 2 cos cos 3 2 sin tan 3 2 cot cot 3 2 tan 以上 k Z A sin t B sin t A B 2ABcos sin t arcsin A sin B sin A 2 B 2 2ABcos 表示根号 包括 中的内容 三角函数的诱导公式 六公式 公式一 sin sin cos cos tan tan 公式二 sin 2 cos cos 2 sin 公式三 sin 2 cos cos 2 sin 公式四 sin sin cos cos 公式五 sin sin cos cos 公式六 tanA sinA cosA tan 2 cot tan 2 cot tan tan tan tan 诱导公式记背诀窍 奇变偶不变 符号看象限 万能公式 sin 2tan 2 1 tan 2 cos 1 tan 2 1 tan 2 tan 2tan 2 1 tan 2 其它公式 1 sin 2 cos 2 1 平方和公式 2 1 tan 2 sec 2 3 1 cot 2 csc 2 证明下面两式 只需将一式 左右同除 sin 2 第二个除 cos 2 即可 4 对于任意非直角三角形 总有 tanA tanB tanC tanAtanBtanC 证 A B C tan A B tan C tanA tanB 1 tanAtanB tan tanC 1 tan tanC 整理可得 tanA tanB tanC tanAtanBtanC 得证 同样可以得证 当 x y z n n Z 时 该关系式也成立 由 tanA tanB tanC tanAtanBtanC 可得出以下结论 5 cotAcotB cotAcotC cotBcotC 1 6 cot A 2 cot B 2 cot C 2 cot A 2 cot B 2 cot C 2 7 cosA 2 cosB 2 cosC 2 1 2cosAcosBcosC 8 sinA 2 sinB 2 sinC 2 2 2cosAcosBcosC 其他非重点三角函数 csc a 1 sin a sec a 1 cos a seca 2 csca 2 seca 2 csca 2 幂级数展开式 sin x x x 3 3 x 5 5 1 k 1 x 2k 1 2k 1 x cos x 1 x 2 2 x 4 4 1 k x 2k 2k x arcsin x x 1 2 x 3 3 1 3 2 4 x 5 5 x 1 arccos x x 1 2 x 3 3 1 3 2 4 x 5 5 x 1 arctan x x x 3 3 x 5 5 x 1 无限公式 sinx x 1 x 2 2 1 x 2 4 2 1 x 2 9 2 cosx 1 4x 2 2 1 4x 2 9 2 1 4x 2 25 2 tanx 8x 1 2 4x 2 1 9 2 4x 2 1 25 2 4x 2 secx 4 1 2 4x 2 1 9 2 4x 2 1 25 2 4x 2 sinx x cosx 2cosx 4cosx 8 1 4 tan 4 1 8 tan 8 1 16 tan 16 1 arctan x x x 3 3 x 5 5 x 1 和自变量数列求和有关的公式 sinx sin2x sin3x sinnx sin nx 2 sin n 1 x 2 sin x 2 cosx cos2x cos3x cosnx cos n 1 x 2sin nx 2 sin x 2 tan n 1 x 2 sinx sin2x sin3x sinnx cosx cos2x cos3x cosnx sinx sin3x sin5x sin 2n 1 x sinnx 2 sinx cosx cos3x cos5x cos 2n 1 x sin 2nx 2sinx 编辑本段 内容规律 三角函数看似很多 很复杂 但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函 数各个公式之间有强大的联系 而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键 所在 1 三角函数本质 1 根据右图 有 sin y r cos x r tan y x cot x y 深刻理解了这一点 下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来 比如以推导 sin A B sinAcosB cosAsinB 为例 推导 首先画单位圆交 X 轴于 C D 在单位圆上有任意 A B 点 角 AOD 为 BOD 为 旋转