指数函数及其性质 习题(含答案)

试卷第 1 页 总 4 页 指数函数及其性质指数函数及其性质 习题 含答案 习题 含答案 一 单选题一 单选题 1 在同一坐标系内 函数和的图象可能是 0 1 A B C D 2 已知函数 若 则 1 1 1 1 A B C D 1 13 3 3 已知函数 其中 a b 的图象如图所示 则函数 g x ax b 的图象大致是 A B C D 4 已知 则的大小关系是 40 7 23 0 20 6 A B C D 0 1 A B C D 0 2 1 3 0 3 1 2 6 在同一坐标系中 函数与的图象都正确的是 2 2 A B C 试卷第 2 页 总 4 页 D 7 设 则的大小关系为 20 5 0 52 20 5 A B C D 8 若 则 的大小关系为 01ab b a a blogba 1 log a b A B 1 loglog ba b a abab 1 loglog ab b a baba C D 1 loglog ba b a aabb 1 loglog ab b a abab 9 若 满足 则 2 3 25 3 2 A B C D 0 且 a 1 的图象恒过定点 13 求值 2 32 3 3 4 27 3 1 32 14 函数的单调减区间为 1 2 2 2 1 15 2 3 8 2 log2 16 计算 2 2 3 2 1 log 18 27 log 3 17 若函数在上是减函数 则实数的取值范围是 23 x f xa Ra 18 已知函数 的定义域和值域都是 则 x f xab 0 1aa 1 0 b a 三 解答题三 解答题 19 1 计算 2 已知用表示 3 1 0 5 2 33 8 1 3 32 3 5 试卷第 3 页 总 4 页 330 20 1 2 40 1 3 log 3 32 11 40 252 22 2 已知 求和的值 1 5aa 22 aa 11 22 aa 21 计算 1 2 13 0 1 32 1 0 027163231 7 2 1 8 1 125 1 2 1 5 1101 0 01 gggg gg 22 化简求值 1 8 27 2 3 0 008 2 3 2 25 2 125 2 3 1 2 2 1 27 1 3 100 1 2 3 1 4 9 3 81 27 23 已知定义在 上的函数是奇函数 2 2 求的值 并判断函数在定义域中的单调性 不用证明 若对任意的 不等式恒成立 求实数 的取值范围 2 2 2 2 0 且 1 0 2 25 本小题满分 10 分 已知函数是偶函数 4 4 1 1 求实数 的值 2 设 若 有且只有一个实数解 求实数 的取值范 4 2 围 26 计算 1 33 8 2 3 0 002 1 2 10 5 2 1 2 3 0 2 lg 5 lg 8 lg 1 000 3lg22 lg lg 0 06 1 6 27 已知 4 1 2 5 2 2 1 求的值域 2 若对任意和都成立 求的取值范 3 2 2 1 1 2 2 围 28 计算下列各式的值 1 12 23 213 231 5 48 试卷第 4 页 总 4 页 2 121 3323 2x yxy 答案第 1 页 总 11 页 参考答案参考答案 1 B 解析 分析 分两种情况讨论 利用函数的单调性 筛选排除即可得结果 详解 若 在递增 排除选项 0 0 递增 排除 纵轴上截距为正数 排除 1 即时 不合题意 0 若 在递减 可排除选项 0 0 由递减可排除 故选 B 1 点睛 本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质 属于中档题 这类题型也是近年高考常 见的命题方向 该题型的特点是综合性较强 考查知识点较多 但是并不是无路可循 解答 这类题型可以从多方面入手 根据函数的定义域 值域 单调性 奇偶性 特殊点以及 时函数图象的变化趋势 利用排除法 将不合题意的选项一 0 0 一排除 2 D 解析 分析 先化简得到 再求的值 1 1 1 2 详解 由题得 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 2 所以故答案为 D 1 1 1 2 1 3 点睛 1 本题主要考查函数求值和指数对数运算 意在考查学生对这些基础知识的掌握 能力和运算能力 2 解答本题的关键是整体代入求值 3 D 解析 分析 根据二次函数的图象得到 继而得到的图象经过一二三象限 1 1 答案第 2 页 总 11 页 问题得以解决 详解 因为是二次函数的零点 由二次函数 其中 的图象可知 1 1 所以的图象经过一二三象限 只有选项 符合题意 故选 D 点睛 函数图象的辨识可从以下方面入手 1 从函数的定义域 判断图象的左右位置 从函数的值域 判断图象的上下位置 2 从函数的单调性 判断图象的变化趋势 3 从函数的奇偶性 判断图象的对称性 4 从函数的特征点 排除不合要求的图象 4 B 解析 分析 利用指数与对数的单调性与中间量 0 1 可求得三个数大小 详解 由题意可得 所以 选 40 7 22 1 0 0 20 6 B 点睛 本题考查的是比较指数式及对数式值的大小 构造合适函数 利用指数函数与对数函数的 性质及单调性 结合中间量是常用方法 5 D 解析 由题意 过定点 故选 D 1 2 6 A 解析 分析 利用指数函数的单调性和对数函数与指数函数的对称性可得解 详解 因为 所以函数单调递减 排除 B D 2 1 2 与的图象关于轴对称 排除 A 1 2 2 1 2 故选 A 答案第 3 页 总 11 页 点睛 对于指数函数 当时函数单增 当时函数单减 10 1 指数函数与对数函数互为反函数 关于对称 7 C 解析 分析 利用指数函数 y 2x y 0 5x及对数函数 y log2x 的单调性 即可比较出三个 数的大小 详解 0 0 52 1 20 5 1 log20 5 0 a b c 故选 C 点睛 本题考查了指数函数和对数函数类型数的大小比较 充分理解指数函数和对数函数 的单调性是解决问题的关键 8 D 解析 因为 所以 01ab 10 aab baa loglog1 bb ab 所以 01a 1 1 a 1 log0 a b 综上 1 loglog ab b a abab 故选 D 9 A 解析 分析 先利用指数函数的单调性确定的取值范围 再通过对数函数的单调性确定 的范 围 进而比较三个数的大小 详解 因为 2 3 2 22 所以 1 2 因为 3 2 1 3 所以 0 24 2 所以 0且 1 详解 令 则函数 2 0 2 2 1 0 函数的图象必过定点 2 1 2 0 故答案为 2 0 点睛 本题考查了指数函数的性质和 属于基础题 0 1 0且 1 13 5 解析 分析 直接利用对数与指数的运算法则求解即可 详解 2 3 2 3 3 4 27 3 1 32 2 32 1 34 3 3 36 2 32 2 2 32 3 6 故答案为 5 5 点睛 本题主要考查对数与指数的运算法则 意在考查计算能力以及对基本运算法则的掌 握情况 属于简单题 14 1 解析 分析 根据题意 设 则 由二次函数和指数函数的性质分析可得 2 2 1 1 2 以及的单调区间 由复合函数的单调性分析可得答案 2 2 1 1 2 详解 设 u x2 2x 1 因为 y u在 R 上为减函数 所以函数 f x x2 2x 1 的减区 间即为函数 u x2 2x 1 的增区间 答案第 5 页 总 11 页 又 u x2 2x 1 的增区间为 1 所以 f x 的减区间为 1 故答案为 1 点睛 本题主要考查函数单调性的应用 二次函数的图象和性质等基础知识 考查数形结合思想 化归与转化思想 复合函数的单调性的判断方法 即同增异减 在解决函数问题时需要格 外注意函数的定义域 15 4 1 2 解析 22 3 2 33 8224 1 2 22 1 log2log 2 2 故答案为 4 1 2 16 7 解析 由 22 22 3 222 33 2222 1 loglog 18 1 log 18log 92log 3 2 273997 log 3log 3log 3log 3 17 3 2 2 解析 函数在上是减函数 23 x f xa R 0231a 解得 3 2 2 a 实数的取值范围是 a 3 2 2 答案 3 2 2 18 4 解析 当时 函数单调递增 所以函数过点 1 1 和点 0 0 所以1a f x f x 无解 1 0 1 0 ab ab 答案第 6 页 总 11 页 当时 函数单调递减 所以函数过点 1 0 和点 0 1 所以01a f x f x 解得 1 0 0 1 ab ab 1 2 2 a b 所以4 b a 19 1 3 2 解析 分析 利用指数 有理指数幂的运算法则化简求解即可 2 利用指数与对数的互化以及对数的运算性质 求解即可 详解 试题解析 1 1 1 4 3 3 1 0 5 2 33 8 1 3 3 2 2 32 3 5 a log32 b log35 3 30 1 2 3 30 1 2 3 3 2 5 1 2 33 32 35 1 a b 2 点睛 本题考查有理指数幂的运算法则 指数与对数的互化以及对数的运算性质 属基础题 20 1 0 2 答案见解析 解析 试题分析 1 根据指数的运算性质 可得答案 2 由已知利用 1 5aa 平方法 可得及 进而得到答案 2 221 2aaaa 2 11 1 22 2aaaa 试题解析 1 原式 4 1 4 123 2 523 0 2 2 221 223aaaa 2 11 1 22 27aaaa 答案第 7 页 总 11 页 由得 11 22 0aa 11 22 7 aa 21 1 2 202 解析 试题分析 本题考查指数和对数的运算 1 根据指数幂的运算法则求解即可 2 根据对数运算的性 质求解即可 试题解析 1 原式 1 32 33 4 2 311 22 1073 6 2 1011 22 33 1 7 101 49642 33 20 2 原式 1 2 2 18 12512 5 1 101 10 gg gg 3 1 101 10 11 10 21 10 2 gg gg 3 1 1 2 2 2 22 1 2 37 22 9 解析 分析 1 利用指数性质 运算法则直接求解 2 利用指数 对数性质 运算法则直接求解 详解 1 原式 2 3 3 2 3 1000 8 2 3 2 25 4 9 25 2 25 22 9 2 原式 53 2 3 2 1 2 3 3 1 3 10 lg3 lg 32 1 4 lg 3 1 2 lg 81 27 52 22 31 10 3 3 25 4 3 10 1 37 点睛 本题考查对数式 指数式化简求值 考查对数 指数的性质 运算法则等基础知识 灵活 答案第 8 页 总 11 页 应用运算法则 可使运算更简便 23 1 1 3 解析 分析 可以通过奇函数性质以及得出结果 0 0 可通过函数的奇偶性和单调性将转化为 在通 2 2 2 2 2 2 过计算得出结果 详解 因为是定义在 上的奇函数 所以 所以 0 1 1 0 1 所以 所以 1 2 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 即对一切实数 都成立 2 1 2 1 所以 所以 1 1 不等式等价于 2 2 2 2 0 2 2 2 2 所以对恒成立 3 2 2 3 1 3 2 1 3 所以 1 3 即实数 的取值范围是 1 3 点睛 奇函数的性质 定义域关于 y 轴对称 0 0 24 3 解析 分析 分和两种情况结合函数的单调性讨论 0 1 详解 若 在上为减函数 故 矛盾 若 则 0 1 在上为增函数 故 此时函数的值域 1 0 2 2 2 1 2 3 答案第 9 页 总 11 页 为 故实数 0 2 3 点睛 一般地 对于底数不确定的函数 讨论其单调性时需分和两种情况 本题中 0 1 注意定义域和值域端点的对应的关系 25 1 2 的取值范围是 1 1 2 2 2 2 解析 试题分析 1 通过偶函数的定义 知 化简得 4 4 1 4 4 1 进而求出 2 通过分析得出题意可化为方程有 4 4 1 4 1 2 1 2 2 1 2 2 且只有一个实根 令 则有且只有一个正根 再通过 2 0 1 2 1 0 0 分三种情况 讨论求的取值范围 10 1 试题解析 1 由函数是偶函数可知 4 4 1 4 4 1 化简得 4 4 1 4 1 2 即对一切恒成立 2 1 2 2 函数与的图象有且只有一个公共点 即方程有且只有一个实根 4 4 1 1 2 4 2 化简得 方程有且只有一个实根 2 1 2 2 且成立 则 2 0 0 令 则有且只有一个正根 2 0 1 2 1 0 设 注意到 1 2 1 0 1 0 所以 当时 有 合题意 1 1 当时 图象开口向下 且 则需满足 0 1 0 1 0 0 2 2 2 2 2 2 当时 又 方程恒有一个正根与一个负根 1 0 1 综上可知 的取值范围是 1 2 2 2 考点 对数函数的奇偶性和分类整合思想 答案第 10 页 总 11 页 26 1 167 9 2 1 解析 分析 1 直接利用根式与分数指数幂的运算法则求解即可 化简过程注意避免出现符号错误 2 直接利用对数的运算法则求解即可 解答过程注意避免出现计算错误 详解 1 原式 1 500 10 2 1 10 10 20 1 2 原式 lg 5 3lg 2 3 3lg22 lg 1 lg 6 lg 6 2 3lg 2 lg 5 3lg 5 3lg22 2 3lg 2 lg 5 lg 2 3lg 5 2 3lg 2 3lg 5 2 3 lg 2 lg 5 2 3 2 1 点睛 本题主要考查对数的运算法则 指数幂的运算 属于中档题 指数幂运算的四个原则 1 有括号的先算括号里的 无括号的先做指数运算 2 先乘除后加减 负