全等三角形证明分类整理

全等三角形证明分类 题型一题型一 公共边类型的全等三角形公共边类型的全等三角形 图形图形 1 1 图形图形 2 2 图形图形 3 3 注意 隐含条件 AD AD 隐含条件 AB BA 隐含条件 AC CA 例例 1 1 在中 AB AC AD 平分 BAC 求证 ABC ABD ACD 例例 2 2 如图 ABC DCB ACB DBC 求证 AC DB 例例 3 3 已知 如图 AB CD AB CD 求证 AD BC 题型二题型二 公共角类型的全等三角形公共角类型的全等三角形 例例 4 4 如图 AB AC AD AE BE 和 CD 相交于 P PB PC 求证 PD PE 题型三题型三 对顶角类型的全等三角形对顶角类型的全等三角形 图形图形 1 1 图形图形 2 2 例例 5 5 如图 1 已知 AB CD AD CB 求证 B D 例例 6 6 如图 两条直线 AC BD 相交于 O BO DO AO CO 直线 EF 过点 O 且分 别交 AB CD 于点 E F 求证 OE OF A B C D A B C D B C A D D D C B A A B C D D 题型四题型四 边加减类型的全等三角形边加减类型的全等三角形 图形图形 1 1 图形图形 2 2 图形图形 3 3 图形图形 4 4 例例 7 7 已知点 B E C F 在同一条直线上 AB DF AC DE BE CF 求证 A D 例例 8 8 如图 已知 求证 CFBEDEACDFAB DFAB 例例 9 9 已知 如图 A C F D 在同一直线上 AF DC AB DE BC EF 求证 ABC DEF 例例 10 10 如图 已知 求证 1 BFCEDFAECDAB 2 AE DF DEAF A D B E F C 1 A B F E C D 4 A B B F E D C 2 A B E F D C 3 BE CFBE CF BE EF CF EFBE EF CF EF BF CEBF CE BE CFBE CF BE EF CF EFBE EF CF EF BF CEBF CE BE CFBE CF BE EF CF EFBE EF CF EF BF CEBF CE BE CFBE CF BE EF CF EFBE EF CF EF BF CEBF CE A D B E C F B C D E F A 题型五题型五 角加减 旋转 类型的全等三角形角加减 旋转 类型的全等三角形 图形图形 1 1 图形图形 2 2 图形图形 3 3 图形图形 4 4 例例 11 11 如图 已知 AB AD B D 1 2 证明 BC DE 例例 12 12 已知 如图 1 AB AD BC DE 1 2 求证 1 AC AE 2 CAE CDE 例例 13 13 已知 如图 2 E F 90 B C AE AF 给出下列结论 1 2 BE CF CAN ABM CD DN 其中正确的结论是 题型六题型六 大山型的全等三角形大山型的全等三角形 例例 14 14 已知 如图 AB CD ED BD AB CD BC DE 求证 AC CE 同步练习 1 如图所示 已知 E是AC上一点 求证 CDCBADAB AEDAEB E D C B A N M F E D C BA E D C B A 2 已知 如图 AB DC AC DB BE CE 求证 AE DE 3 如图 在 ABE 中 AB AE AD AC BAD EAC BC DE 交于点 O 求证 1 ABC AED 2 OB OE 4 如图 已知 ED AMEMCNDN 求证 点B是线段AC的中点 5 已知 如图 在 MPN中 H是高MQ和NR的交点 且MQ NQ 求证 HN PM 6 已知 如图 AE AB BC AB AE AB ED AC 求证 ED AC 学法提炼 1 三角形全等的证题思路 判定方法有 SSS SAS ASA AAS 或 HL Rt 1 2 SAS HL SSS 找夹角 已知两边找直角 找另一边 ASA AAS 找夹边 已知两角 找任意一边 3 AAS SAS ASA AAS 边为角的对边找任意一角 找夹角的另一边 已知一边和一角 边为角的邻边找夹边的另一角 找边的对角 1 角平分线的作法 尺规作图 角平分线的作法 尺规作图 以点 O 为圆心 任意长为半径画弧 交 OA OB 于 C D 两点 分别以 C D 为圆心 大于 CD 长为半径画弧 两弧交于点 P 过点 P 作射线 OP 射线 OP 即为所求 2 角平分线的性质及判定角平分线的性质及判定 1 角平分线的性质 角的平分线上的点到角的两边的距离相等 数学语言表达 如图所示 OP 平分 MON 1 2 PA OM PB ON PA PB 2 角平分线的判定 到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 数学语言表达 如图所示 PA OM PB ON PA PB 1 2 OP 平分 MON 3 三角形三个内角平分线的性质 三角形三条内角平分线交于一点 且这一点到三角形三边的距离相等 3 角平分线性质及判定的应用角平分线性质及判定的应用 为推导线段相等 角相等提供依据和思路 实际生活中的应用 例 一个工厂 在公路西侧 到公路的距离与到河岸的距离相等 并且 到河上公路桥头的距离为 300 米 在下图中标出工厂的位置 并说明理由 例题讲解例题讲解 1 在 ABC 中 AC BC AD 为 BAC 的平分线 DE AB AB 7 AC 3 求 BE 的长 2 如图 在 ABC 中 C 90 AD 是 BAC 的平分线 DE AB 于 E F 在 E D C B A E A BC D F AC 上 BD DF 求证 CF EB 3 如图 P 为 AOB 内一点 OA OB 且 OPA 与 OPB 面积相等 求证 AOP BOP 同步练习同步练习 1 在 Rt ABC 中 BD 平分 ABC DE AB 于 E 则 哪条线段与 DE 相等 为什么 若 AB 10 BC 8 AC 6 求 BE AE 的长和 AED 的周长 2 ABC 中 C 90 AD 为角平分线 BC 64 BD DC 9 7 求 D 到 AB 的 距离 角平分线性质的应用角平分线性质的应用 一 证明线段相等 一 证明线段相等 例例 1 1 已知 如图 B C 90 DM 平分 ADC AM 平分 DAB 求证 MB MC 二 证明角的平分线 二 证明角的平分线 例例