山东大学 高等数学【三套试题汇总】

一一 求下列极限求下列极限 1 1 limsin n n n 1sin n 0 1 lim n n 0sin 1 lim n n n 2 求 不存在 0 lim x x x 1lim 0 x x x 1lim 0 x x x 0 lim x x x 3 求 不存在 1 0 lim x x e lim 1 0 x x e0lim 1 0 x x e 1 0 lim x x e 原式 0 sin 4lim sin5 x xx xx 1 5sin 1 sin 1 lim 0 x x x x x 一一 求下列极限求下列极限 1 1 limcos n n n 1cos n 0 1 lim n n 0cos 1 lim n n n 2 求 不存在 2 2 lim 2 x x x 1 2 2 lim 2 2 lim 22 x x x x xx 1 2 2 lim 2 x x x 2 2 lim 2 x x x 3 求 不存在 1 0 lim2 x x 22lim 1 lim 1 0 0 x x x x 022lim 1 lim 1 0 0 x x x x 1 0 lim2x x 原式 0 2sin 4lim 3sin x xx xx 求 4 3 sin 31 sin 21 lim 0 x x x x x 一一 求下列极限求下列极限 1 不存在 1 lim n tgn n 2 求 不存在lim xa xa xa 1limlim ax ax ax ax axax 1limlim ax xa ax ax axax lim xa xa xa 3 求 不存在 1 2 0 lim x x e lim 2 1 0 x x e0lim 2 1 0 x x e 1 2 0 lim x x e 原式 0 sin 4lim sin x mx nx n m nx mx nxnx nx mx mxmx xx 00 lim sin sin lim 二 取什么值 连续a 0 0 x ex f x axx 解 时 均连续 i0 x 0 x f x 时 ii0 x 0 fa 00 1f 00 fa 所以时 1a 0 0 1ff 在处连续 f x0 x 综上所述 a 1 时连续 f x sin 0 00 x x f xx x 二讨论在 x 0 处的连续性 解 1 sin lim 0 x x xf x 1 sin lim 0 x x xf x 在处不连续 0 点为可去间断点 xf0 x 讨论 f x 在处的导数 2 0 0 xx f x xx 二已知0 x 解 在处不可导 10 f 00 f xf0 x 三 计算下列各题 1 已知 求解 2sinlnyxx y x xxxy 1 sin2lncos2 2 xf x yf eey 已知 求 解 xfefefeeexfefeefey xxxxfxfxxfxx 解 2 3 x xe dx 求 cedxedxxe xxx 222 2 1 2 1 2 1 解 ln ln ln yxy 求 xxx y 1 ln 1 lnln 1 2 yx xyy 求 两边取对数 yxxylnln 两边分别求导 y y x y x yxy ln 1 ln 整理得 xyxx yyxy y ln ln 解 原式 1 3 xx dx ee 求 Ce e de dx e e x x x x x arctan 1 1 22 1 解 3 tan ln yxy 已知求 x xxy 1 lnseclntan3 22 2 解 2 yf xy 已知 求 2 2xf xy 3 解 原式 2 11 cosdx xx 3求 C xx d x 1 sin 11 cos 四 若 求 2 0 2tan sec x y xxytdt dy dx 解 两边对求导 其中是的函数xyx 2 2 2sec 1 sec 1 xyyxyy 2 2sec 1 2xyy 2 1 1 sec y xy 所以 22 1 cos sin yxyxy 2 2 22 0 10 0 22 0 10 0 4 9 0 4 8 0 cos lim sin cos lim 22cos lim 10 1cos lim 50 x x x x x x xt dt x xt dt x xxx x x x 四求 解原式 34 7 0 4sin1 lim 4010 x xx x 四 其中在讨论的区间连续 2 32 00 1 2 aa x f xdxxf x dx 证明 0 a f x 证明 对于 32 0 a x f xdx 令 则 2 xt 2xdxddt 且时 时xa 2 ta 0 x 0t 2 2 32 0 0 0 1 2 1 2 a a a x f xdx tf t dt xf x dx 左边 右边 证毕 五 求 和所围平面图形的面积yx 2yx 2 yx 解 12 2 01 223 2 2 12 11 0123 181 41 233 7 6 Axx dxxxdx xxx 五 求和所围平面图形的面积 2 25yx 4yx 解 28 00 222 4 Axdxxxdx 2 28 331 2224 02222 1263232 18 x xx xxx 五 计算反常积分 2 d 1 x x 2 d arctan 221 x x x 解 原式 六 22 1 24 dy xxyx dx 解 此方程为一阶非齐次线性微分方程 2 2 1 x P x x 2 2 4 1 x Q x x 22 22 2 3 11 22 414 113 xx dxdx xx x yeedxccx xx 所以原方程通解为 3 2 14 13 ycx x 六 求的通解 2 1 arctan ydxyx dy 解 方程化为22 11 arctan 11 dx xy dyyy 此方程为倒线性微分方程 22 11 11 2 1 arctan 1 dydy yy xeyedyc y arctanarctan 2 1 arctan 1 yy eyedyc y arctanarctan arctan yy eydec arctanarctanarctan arctan yyy eyeec 所以方程通解为 arctan arctan1 y xcey 题外 四 证明 22 00 sin cos fx dxfx dx 证明 令 则 xt 2 0 2 2 0 tx tx dxdt 且 得证 2 0 2 0 0 2 2 0 cossincossin dxxfdttfdttfdxxf 解 x C xCx x Cdxxeey xdxxdx cos cos 3 2 cos 3 2 cos 1 2sin 23 tantan 222 111 lim 12 n nnnn 二求 解 n项 n项 nnn nnnnnnnnnn 1111 2 1 1 1111 222222 又 1 nn n 2 1 lim11lim n 故 1 111 lim 222 nnnnnn n 五 求的通解 tansin2yyxx 解 计 x C xCx x Cdxxeey xdxxdx cos cos 3 2 cos 3 2 cos 1 2sin 23 tantan 算 1 20 d 1 x x 解 20 1 arcsinarcsin 1 1 0 1 02 xxd x dx 一 求下列极限 求 1 1 lim 1 x x x 解 1 1 1 lim 1 1 lim 11 x x x x xx 1 1 1 lim 1 1 lim 11 x x x x xx 不存在 1 1 1 lim x x e 求 解 不存在 1 1 1 lim x x e 1 1 lim 1 x x 1 1 lim 1 x x 1 1 1 lim x x e 求求 解 2 0 cos1 lim x x x 2 1 2 sin lim cos1 lim 0 2 0 x x x x xx 原式 5 6 0 sin 2 5lim ln 1 x x tgx x 求 5 6 5 0 2 1cos sin 2 lim x x xx x 求 ctgx x xsin21lim 0 2 cos2 sin2 1 00 sin21limsin21limexx x x x ctgx x 求 原式 1 0 1 lim 1 x x x x 2 1 2 lim1 2 2 1 0 0 1 2 1limee x x x xx x x x 三 计算下列各题 1 22 ln yxxay 已知求 解 222222 1 2 2 1 1 axax x axx y 求 求 3 1 2 3 xx y x y 解 3 2 2 3 2 3 21 32 6 3 1 3 23332 3 21 3 1 x xx xx x x xxxx x xx y 2 1 3ln xdx x 求 解 Cxxxdxdx x 322 ln 3 1 lnlnln