人教版高中数学必修一函数知识点(精简版)

函数常考知识点汇总函数常考知识点汇总 1 2 1 函数的概念函数的概念 1 函数的概念 函数的概念 设 A B 是非空的数集 如果按照某个确定的对应关系 f 使对于集合 A 中的任意一个数 x 在集合 B 中都有唯 一确定的数 f x 和它对应 那么就称 f A B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数 记作 y f x x A 定义域补充定义域补充 求函数的定义域时列不等式组的主要依据是 1 分式的分母不等于零 2 偶次方根的被开方数不小于零 3 对数式的真数必须大于零 4 指数 对数式的底数必须大于零且不等于 1 5 如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的 那么 它的定义域是使各部分都有意义的 x 的值组成的集 合 6 指数为零底不可以等于零 7 实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义 3 相同函数的判断方法 相同函数的判断方法 1 定义域一致 2 表达式相同 两点必须同时具备 注意 两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致 而与表示自变量和函数值的字母无关 1 2 2 函数的表示法函数的表示法 4 函数图象知识 函数图象知识 对称变换 将 y f x 在 x 轴下方的图象向上翻得到 y f x 的图象如 书上 P21 例 5 y f x 和 y f x 的图象关于 y 轴对称 如 1 x xx yaya a 与 y f x 和 y f x 的图象关于 x 轴对称 如 1 logloglog aa a yxyxx 与 6 函数的解析式 函数的解析式 A 如果已知函数解析式的构造时 可用待定系数法 B 已知复合函数 f g x 的表达式时 可用换元法 这时要注意元的取值范围 当已知表达式较简单时 也可用凑配 法 C 若已知抽象函数表达式 则常用解方程组消参的方法求出 f x 1 3 1 函数单调性与最大 小 值函数单调性与最大 小 值 1 函数的单调性定义 函数的单调性定义 设函数 y f x 的定义域为 I 如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1 x2 当 x1 x2时 都有 f x1 f x2 那么就说 f x 在区间 D 上是增函数增函数 区间 D 称为 y f x 的单调增区间 注意注意 1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质 是函数的局部性质 2 必须是对于区间 D 内的任意任意两个自变量 x1 x2 当 x1 x2时 总有 f x1 f x2 或 f x1 f x2 3 函数单调区间与单调性的判定方法 函数单调区间与单调性的判定方法 A 定义法 任取 x1 x2 D 且 x1 x2 作差 f x1 f x2 变形 通常是因式分解和配方 定号 即判断差 f x1 f x2 的正负 下结论 指出函数 f x 在给定的区间 D 上的单调性 B 图象法 从图象上看升降 C 复合函数的单调性 复合函数 f g x 的单调性与构成它的函数 u g x y f u 的单调性密切相关 其规律如下 同增异减同增异减 4 判断函数的单调性常用的结论 判断函数的单调性常用的结论 函数 f x g x 都是增 减 函数 则 f xg x 仍是增 减 函数 若 0 0f xg x 且 f x 与 g x 都是增 减 函数 则 f x g xA 也是增 减 函数 若 0 0f xg x 且 f x 与 g x 都是增 减 函数 则 f x g xA 也是减 增 函数 5 函数的最大 小 值定义 函数的最大 小 值定义 一般地 设函数 y f x 的定义域为 I 如果存在实数 M 满足 1 对于任意的 x I 都有 f x M 2 存在 x0 I 使得 f x0 M 那么 称 M 是函数 y f x 的最大值 6 利用函数单调性的判断函数的最大 小 值的方法 利用函数单调性的判断函数的最大 小 值的方法 利用二次函数的性质 配方法 求函数的最大 小 值 1 利用图象求函数的最大 小 值 利用函数单调性的判断函数的最大 小 值 2 3 如果函数 y f x 在区间 a b 上单调递增 在区间 b c 上单调递减则函数 y f x 在 x b 处有最大值 f b 1 3 2 函数的奇偶性函数的奇偶性 1 偶函数定义 偶函数定义 一般地 对于函数 f x 的定义域内的任意一个 x 都有 f x f x 那么 f x 就叫做偶函数 注意注意 函数可能没有奇偶性 也可能既是奇函数又是偶函数 由函数的奇偶性定义可知 函数具有奇偶性的一个必要条件是 即定义域关于原点对称 3 有奇偶性的函数图象特征 有奇偶性的函数图象特征 偶函数的图象关于 y 轴对称 奇函数的图象关于原点对称 且 f 0 0 在原点处有意义 时 4 利用定义判断函数奇偶性的格式步骤 利用定义判断函数奇偶性的格式步骤 首先确定函数的定义域 并判断其定义域是否关于原点对称 确定 f x 与 f x 的关系 作出结论 若 f x f x 或 f x f x 0 则 f x 是偶函数 同理则是奇函 数 5 函数奇偶性的性质 函数奇偶性的性质 奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性 则其单调性完全相同 偶函数是怎样的 复合函数的奇偶性特点是 内偶则偶 内奇同外 第二章第二章 基本初等函数基本初等函数 2 1 指数函数指数函数 2 1 1 指数与指数幂的运算指数与指数幂的运算 1 根式的概念 根式的概念 负数没有偶次方根 0 的任何次方根都是 0 记作 0 0 n 注意注意 1 2 当 n 是奇数时 当 n 是偶数时 n n aa nn aa 0 0 nn a a aa a a 2 分数指数幂 分数指数幂 1 正数的正分数指数幂的意义 规定 0 1 m nm n aaam nNn 且 2 正数的正分数指数幂的意义 1 0 1 m n m n aam nNn a 且 3 0 的正分数指数幂等于 0 0 的负分数指数幂没有意义 3 实数指数幂的运算性质 实数指数幂的运算性质 1 0 rsr s a aaar sR 2 3 0 rsrs aaar sR b 0 0 rrr aa b abrR 2 指数函数的图象和性质 指数函数的图象和性质 0 a1 图象 定义域 R 值域 0 1 过定点 0 1 即 x 0 时 y 1 2 在 R 上是减函数 2 在 R 上是增函数性质 3 当 x 0 时 0 y 1 当 x1 3 当 x 0 时 y 1 当 x 0 时 0 y0 且 a 1 2 真数 N 0 2 两个重要对数 两个重要对数 1 常用对数 以 10 为底的对数 10 loglgNN记为 2 自然对数 以无理数 e 为底的对数的对数 e 2 71logln eN N记为 3 对数式与指数式的互化 对数式与指数式的互化 log x a xNaN 1 负数和零没有对数 2 logaa 1 loga1 0 特别地 lg10 1 lg1 0 lne 1 ln1 0 3 对数恒等式 log N a aN 4 4 如果 如果 a a 0 0 a a 1 1 M M 0 0 N N 0 0 有有 有时可逆向运用公式 1 2 logM Nloglog aaa MN NM N M aaa logloglog 3 一个正数的 n 次方的对数等于这个正数的对数 n 倍 loglogn n aa MnM R 5 换底公式 换底公式 loglg log0 1 0 1 0 loglg c a c bb baaccb aa 利用换底公式推导下面的结论 a b b a log 1 log loglog m n a a n bb m 2 2 2对数函数及其性质对数函数及其性质 1 对数函数的概念 对数函数的概念 函数 a 0 且 a 1 叫做对数函数 其中 x 是自变量 函数的定义域是 logayx 2 对数函数的图像与性质 对数函数的图像与性质 对数函数 a 0 且 a 1 logayx 0 0 a 1a a 1 图 像 自己画画看 定义域 值域 过点 即当 x 1 时 y 在 0 上是减函数在 0 上是增函数 性 质 当 x 1 时 y 当 x 1 时 y 当 0 x1 时 y 当 x 1 时 y 当 0 x0 且 a 1 与 y logax a 0 且 a 1 互为反函数 图象关于 y x 对称 6 比较大小的方法比较大小的方法 1 利用函数单调性 同底数 2 利用中间值 如 0 1 3 变形后比较 4 作差比较 5 比商判 断 2 3 幂函数幂函数 1 幂函数定义 幂函数定义 一般地 形如的函数称为幂函数 其中 x 是自变量 为常数 yx 2 幂函数性质 幂函数性质 1 所有的幂函数在 0 都有定义 并且图象都过点 1 1 2 0 时 幂函数的图象通过原点 并且在 0 上是增函数 特别地 当 1 时 幂函数的图象下凸 当 0 1 时 幂函数的图象上凸 3 0 时 幂函数的图象在 0 上是减函数 在第一象限内 当 x 从右 边趋向原点时 图象在 y 轴右方无限地逼近 y 轴正半轴 当 x 趋于 时 图象在 x 轴上方无限地逼近 x 轴正半轴 第三章第三章 函数的应用函数的应用 3 1 方程的根与函数的零点方程的根与函数的零点 1 函数零点 函数零点的概念 对于函数 y f x 使 f x 0 的实数 x 叫做函数的零点 实质上是函数 y f x 与 x 轴交点的横坐标 2 函数零点的意义 函数零点的意义 方程 f x 0 有实数根 函数 y f x 的图象与 x 轴有交点 函数 y f x 有零点 3 零点定理 函数零点定理 函数y f x 在区间在区间 a b 上的图象是连续不断的 并且有上的图象是连续不断的 并且有f a f b 0 的根的分布 的根的