2017年全国高中数学联赛模拟试题18.doc

2017年全国高中数学联赛模拟试题18第一试（时间：8:00-9:20 满分：120）一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.1设正整数满足且，则 解：易知存在正整数满足，所以所以所以.2方程有唯一实根，则实数的取值范围是 解：原方程可化为且即时易知符合题意；即时，（i）即时符合题意；(ii) 即或时易知不是方程的解，因此，故，解得所以的取值范围是或3长方体内部对角线到三条与它互不相交的棱之间的最短距离分别为，则该长方体的体积为 解：设长宽高分别为，则于是，解得，所以体积为.4直角三角形的斜边，边的中线所在直线方程分别为则的面积为 5抽屉中装有红蓝两种短袜，总数不超过只，随机取出两只短袜，它们同色的概率为，则抽屉中红袜数量的最大值是 解：设分别为抽屉中红蓝两种短袜的数目，因为拿出不同色的两只袜子的概率为，所以即，所以短袜总数是一个完全平方数，令，则，所以，又因为，所以，所以抽屉中红袜数量的最大值是.6正实数满足，且的最小值为整数，则解：把和式中的每一项都看成以和为直角边的三角形的斜边长，把这些直角三角形逐个相接形成一个“梯子”，设为由斜边连接形成的折线的端点，则间的距离为所以，选取适当的可以使等号成立，这时折线为一条直线.因此的最小值是，所以是整数，设，则，解得注：也可由闵可夫斯基不等式得最小值xyOCDMN7设,分别是椭圆：的左、右焦点，过点的直线交椭圆于两点，且，如图，直线与椭圆交于两点，是椭圆上异于的两点，且直线相交于点，直线相交于点.则直线的斜率为解：设，则且，. 由椭圆定义可得，,在中，由余弦定理可得 ,即化简得，而，故. 于是有 ,.因此，可得，故为等腰直角三角形.从而.设，则易得，即同理即，相减得，所以8设为最接近的整数，则 解：设即，而，所以使得的有个，注意到，从而或由于，所以，因此二、解答题：本大题共3小题，共56分.9已知直线与抛物线交于，抛物线上恰有两个使为直角三角形的点，求实数的取值范围解：若设，则，所以由得，所以即方程即，若，由得,所以同理若，则所以是方程的两根，（1）当即时且即方程的解不为，即符合题意；（2）当即时或，符合题意；（3）当即时且，故存在四个点使为直角三角形，不合题意综上可知，实数的取值范围是10数列满足,记，求解：，令设，因为所以，从而，所以，当时；当时；当时当时，也符合该式所以11. 已知当时恒成立，（1）证明：方程有三个实根，（2）求.解：（1）令得令得所以，所以令得.又因为故由得，所以，所以，由得所以，此时.（2）由（1）知，方程即，令则，所以有三个实根，另一方面，设是的一个根，即，则则，所以也是的一个根，因为，所以所以所以即的值为解法二：由可知方程的三个实根均属于，不妨的根为，则，即即，又因为，所以.所以因此2017年全国高中数学联赛模拟试题18加试（时间：9:40-12:10 满分：180）一、（本小题满分40分）在中，点在边上，使得点在边上，使得设是的外接圆与的外接圆的另一个交点射线交于点求的值解： 二、（本小题满分40分）由无穷多个不同的正整数组成，正实数求证：存在无穷多个，使得（这里表示的最