利用MATLAB实现Sa信号的抽样与重构仿真.doc

0 郑州轻工业学院 课程设计说明书课程设计说明书 题目 题目 利用利用 MATLABMATLAB 实现实现 SaSa 信号的抽样与重构仿真信号的抽样与重构仿真 姓姓 名 名 院院 系 系 电气信息工程学院电气信息工程学院 专业班级 专业班级 电子信息工程电子信息工程 10 1 班班 学学 号 号 指导教师 指导教师 任景英任景英 成成 绩 绩 时间 时间 2013 年年 6 月月 24 日至日至 2013 年年 6 月月 28 日日 利用 MATLAB 实现 Sa 信号的抽样与重构仿真 1 目目 录录 摘要摘要 3 1 概述概述 4 1 1 设计内容设计内容 4 1 2 设计目的设计目的 4 1 3 设计要求设计要求 4 2 课程设计方案课程设计方案 6 2 1 设计原理设计原理 6 2 1 12 1 1 MATLABMATLAB 简介简介 6 6 2 1 22 1 2 连续时间信号连续时间信号 6 6 2 1 32 1 3 连续信号的采样定理连续信号的采样定理 7 7 2 1 42 1 4 信号抽样信号抽样 9 9 2 1 52 1 5 信号重构信号重构 1010 3 设计过程详述设计过程详述 13 3 1 设计思路设计思路 13 3 2 设计连续信号设计连续信号 SA T 及频谱及频谱 13 3 2 13 2 1 设计连续信号设计连续信号SASA T T 1313 3 2 23 2 2 设计连续信号设计连续信号SASA T T 的频谱的频谱 1414 3 3 设计连续信号设计连续信号 SA T 的采样与信号重构的采样与信号重构 15 3 3 13 3 1 临界抽样情况临界抽样情况 1515 3 2 23 2 2 过抽样情况过抽样情况 1717 利用 MATLAB 实现 Sa 信号的抽样与重构仿真 2 3 2 33 2 3 欠采样情况欠采样情况 1919 总结总结 22 致谢致谢 23 参考文献参考文献 24 利用 MATLAB 实现 Sa 信号的抽样与重构仿真 3 摘要摘要 本次课程设计以信号与系统和数字信号处理这两门理论与实践紧密结合的课程为 基础 经过两个学期的理论学习和上机实验后我们已初步掌握 MATLAB 软件 通过课 程设计更加有助于我们进一步理解和巩固所学知识 学习应用 MATLAB 软件的仿真技 术 初步掌握线性系统的设计方法 提高分析和解决实际问题的能力 培养独立工作 能力 本实验设计的题目是 利用 MATLAB 实现 Sa 信号的抽样与重构仿真 通过对该 连续的 Sa 信号进行抽样 在满足采样定理和不满足采样定理即过抽样和欠抽样两种情 况下对连续的 Sa 信号和采样信号进行频谱分析 利用 MATLAB 实现 Sa 信号的抽样与重构仿真 4 1 概述概述 1 1 设计内容设计内容 首先对连续信号分别进行抽样 分析不同抽样情况下信号频谱的变化 tSatf 设被抽样后形成的抽样信号为 信号的重构是指由经过内插处理后 恢 tf tfs tfs 复出原来信号的过程 又称为信号恢复 分析重构后的信号和原信号的差别 利 tf 用 MATLAB 编写程序对进行抽样和重构 完成对抽样定理的验证 tSa 1 2 设计目的设计目的 1 掌握利用 MATLAB 分析系统频率响应的方法 增加对仿真软件 MATLAB 的感性认 识 学会该软件的操作和使用方法 2 掌握利用 MATLAB 实现连续信号采用与重构的方法 加深理解采样与重构的概 念 3 初步掌握线性系统的设计方法 培养独立工作能力 4 学习 MATLAB 中信号表示的基本方法及绘图函数的调用 实现对常用连续时间 信号的可视化表示 加深对各种电信号的理解 5 加深理解采样对信号的时域和频域特性的影响 验证信号与系统的基本概念 基本理论 掌握信号与系统的分析方法 6 加深对采样定理的理解和掌握 以及对信号恢复的必要性 掌握对连续信号在 时域的采样与重构的方法 1 3 设计要求设计要求 利用 MATLAB 实现 Sa 信号的抽样与重构仿真 5 1 掌握利用 MATLAB 实现连续信号抽样与重构的方法 2 利用 MATLAB 实现对常用连续时间信号的可视化表示 3 加深理解抽样对信号的时域和频域特性的影响 4 掌握连续信号在时域的采样与重构的方法 利用 MATLAB 实现 Sa 信号的抽样与重构仿真 6 2 课程设计方案课程设计方案 2 1 设计原理设计原理 2 1 1 MATLAB 简介简介 MATLAB Matrix Laboratory 是 1984 年美国 Math Works 公司产品 Matlab 的推出得到了各个领域专家学者的广泛关注 并越来越多的应用到我们的学习生活中 来 是目前通信工程上最广泛应用的软件之一 Matrix Laboratory 意为 矩阵实验室 最初的 MATLAB 只是一个数学计算工具 但现在的 MATLAB 已经远不仅仅是一个 矩阵实验室 它已经成为一个集概念设计 算法开发 建模仿真 实时实现于一体 的集成环境 它拥有许多衍生子集工具 MATLAB 的基本数据单位是矩阵 它的指令表达式与数学 工程中 常用的形式十分相似 故用 MATLAB 来解算问题要比用C FORTRAN 等语言完 全 相同的事情简捷得多 在新的版本中也加入了对 C FORTRAN c JAVA 的支持 可以直接调用 用户也可以将自己编写的 实用程序导入到MATLAB 函数库中方便自己以后调用 2 1 2 连续时间信号连续时间信号 连续信号是指自变量的取值范围是连续的 且对于一切自变量的取值 除了有若 干个不连续点以外 信号都有确定的值与之对应 严格来说 MATLAB 并不能处理连 续信号 而是用等时间间隔点的样值来近似表示连续信号 当取样时间间隔足够小时 这些离散的样值就能较好地近似连续信号 利用 MATLAB 实现 Sa 信号的抽样与重构仿真 7 在一定条件下 一个连续时间信号完全可以用该信号在等时间间隔上的瞬时值来 表示 并且可以用这些样本值把信号完全恢复过来 这样 抽样定理为连续时间信号 与离散时间信号的相互转换提供了理论依据 通过观察采样信号的频谱 发现它只是 原信号频谱的线性重复搬移 只要给它乘以一个门函数 就可以在频域恢复原信号的 频谱 在时域是否也能恢复原信号时 利用频域时域的对称关系 得到了信号 本课程设计采用作为连续时间信号进行抽样与重构 由于函数不是严格 tSa tSa 的带限信号 其带宽可根据一定的精度要求做一近似 m 2 1 3 连续信号的采样定理连续信号的采样定理 模拟信号经过 A D 变换转换为数字信号的过程称为采样 信号采样后其频谱产生了周期延 拓 每隔一个采样频率 fs 重复出现一次 为保证采样后信号的频谱形状不失真 采样频率必须 大于信号中最高频率成分的两倍 这称之为采样定理 时域采样定理从采样信号恢复原 信号必需满足两个条件 1 必须是带限信号 其频谱函数在 各处为零 对信号的要求 即只有带限信号才能适用采样定理 2 取样频率不能过低 必须 2 或 2 对取样频率的要求 即取样频率要足够大 采得的样值要足够多 才能恢复原信号 如果采样频率 大于或等于 即 为连续信号的有限频谱 则 采样离散信号能无失真地恢复到原来的连续信号 一个频谱在区间 以外为零的频带有限信号 可唯一地由其在均匀间隔 上的样点值所确定 根据时域与频域的对称性 可以由时域采样定理直 接推出频域采样定理 一个时间受限信号 它集中在 的时间范围内 tf mm 则该信号的频谱在频域中以间隔为的冲激序列进行采样 采样后的频谱 jF 1 利用 MATLAB 实现 Sa 信号的抽样与重构仿真 8 可以惟一表示原信号的条件为重复周期 或频域间隔 其 1 jF m tT2 1 m t f 2 1 2 1 中 采样信号 的频谱是原信号频谱 的周期性重复 它每隔 1 1 2 T 重复出现一次 当 2 时 不会出现混叠现象 原信号的频谱的形状不会发 s 生变化 从而能从采样信号 中恢复原信号 注 2 的含义是 采 s 样频率大于等于信号最高频率的 2 倍 这里的 不混叠 意味着信号频谱没有被破坏 也就为后面恢复原信号提供了可能 图 1 等抽样频率时的抽样信号及频谱 不混叠 图 2 高抽样频率时的抽样信号及频谱 不混叠 图 3 低抽样频率时的抽样信号及频谱 混叠 利用 MATLAB 实现 Sa 信号的抽样与重构仿真 9 2 1 4 信号抽样信号抽样 如图 4 所示 给出了信号采样原理图 图 4 信号采样原理图 由图 4 可见 其中 冲激采样信号的表达式为 ttftf s Ts t s T n sT nTtt s 其傅立叶变换为 其中 设 分别为 n ss n s s T 2 jF jFs tf 的傅立叶变换 由傅立叶变换的频域卷积定理 可得 tfs n s s n sss njF T njFjF 1 2 1 若设是带限信号 带宽为 经过采样后的频谱就是将 tf m tf jFs 在频率轴上搬移至处 幅度为原频谱的倍 因此 当 jF 0 2nsss s T1 时 频谱不发生混叠 而当时 频谱发生混叠 ms 2 ms 2 一个理想采样器可以看成是一个载波为理想单位脉冲序列的幅值调制器 即 t T 理想采样器的输出信号 是连续输入信号调制在载波上的结果 如图 5 te te t T 所示 利用 MATLAB 实现 Sa 信号的抽样与重构仿真 10 图 5 信号的采样 用数学表达式描述上述调制过程 则有 ttete T 理想单位脉冲序列可以表示为 t T 0 n T nTtt 其中是出现在时刻 强度为 1 的单位脉冲 由于的 nTt nTt te 数值仅在采样瞬时才有意义 同时 假设 00 tte 所以又可表示为 te 0 n e te nTtnT 2 1 5 信号重构信号重构 设信号被采样后形成的采样信号为 信号的重构是指由经过内插处 tf tfs tfs 理后 恢复出原来信号的过程 又称为信号恢复 tf 若设是带限信号 带宽为 经采样后的频谱为 设采样频率 tf m jFs 则由式 9 知是以为周期的谱线 现选取一个频率特性 ms 2 jFs s 其中截止频率满足 的理想低通滤波器与 c cs T jH 0 c 2 s cm 相乘 得到的频谱即为原信号的频谱 jFs jF 利用 MATLAB 实现 Sa 信号的抽样与重构仿真 11 显然 与之对应的时域表达式为 jHjFjF s 10 tfthtf s 而 n ss n ss nTtnTfnTttftf 1 tSaTjHFth c c s 将及代入式 10 得 th tfs 11 n scs cs c c ss nTtSanTf T tSaTtftf 式 11 即为用求解的表达式 是利用 MATLAB 实现信号重构的基本 s nTf tf 关系式 抽样函数在此起着内插函数的作用 tSa c 例 设 其为 t t tSatf sin jF 10 1 jF 即的带宽为 为了由的采样信号不失真地重构 由时域 tf 1 m tf tfs tf 采样定理知采样间隔 取 过采样 利用 MATLAB 的抽样函数 m s T 7 0 s T 来表示 有 据此可知 t t tSinc sin tSa tSinctSa n s c s cs c c ss nTtSincnTf T tSaTtftf 通过以上分析 得到如下的时域采样定理 一个带宽为 wm 的带限信号 f t 可唯 一地由它的均匀取样信号 fs nTs 确定 其中 取样间隔 Ts wm 该取样间隔又称为 利用 MATLAB 实现 Sa 信号的抽样与重构仿真 12 奈奎斯特间隔 根据时域卷积定理 求出信号重构的数学表达式为 式中的抽样函数 Sa wct 起着内插函数的作用 信号的恢复可以视为将抽样函数进行不 同时刻移位后加权求和的结果 其加权的权值为采样信号在相应时刻的定义值 利用 MATLAB 中的抽样函数来表示 Sa t 有 于是 信号重构的内插公式也可表示为 利用 MATLAB 实现 Sa 信号的抽样与重构仿真 13 3 设计过程详述设计过程详述 3 1 设计思路设计思路 本课程设计通过 MATLAB 软件产生一个连续时间信号并生成其频谱 然后 tSa 对该信号三种不同情况的抽样 并对采样后的频谱进行分析 最后通过设计低通滤波 器滤出抽样所得频谱中多个周期中的一个周期频谱 并显示恢复后的时域连续信号 由于原连续信号的频谱无法实现真正的连续 所以通过扩大采样点的数目来代替 tSa 理论上当采样点数无穷多的时候即可实现连续 基于此尽可能增加采样点数并以此来 产生连续信号的频谱 在信号采样过程中 通过采样点的不同控制采样频率实现大于 或小于或等于二倍最高连续信号的频率 从而可以很好的验证采样定理 信号重构时 滤波器的参数需要很好的设置以实现将抽样后的信号进行滤波恢复原连续信号 鉴于 条件有限 此次课程设计我们只对过抽样情况实现重构 本节设计过程严格根据以下三种情况用 MATLAB 实现采样信号及重构进行分析详 述 1 的临界采样 tSa 1 m mc mis pT 2 的过采样及重构 tSa1 m mc 1 1 mis pT 5 0 3 的欠采样 tSa1 m mc mis pT 2 3 2 设计连续信号设计连续信号 sa t 及频谱及频谱 3 2 1 设计连续信号设计连续信号 sa t 先设计一个程序 使之产生一个连续信号 tSa 程序如下 t 20 0 5 20 利用 MATLAB 实现 Sa 信号的抽样与重构仿真 14 f sinc t pi plot t f xlabel t ylabel x t title 时域连续信号 sa t sinc t pi 波形 grid 产生的图形如图 6 20 15 10 505101520 0 4 0 2 0 0 2 0 4 0 6 0 8 1 t x t 与 与 与 与 与 与 sa t sinc t pi 与 与 图 6 sa t 信号时域波形图 3 2 2 设计连续信号设计连续信号 sa t 的频谱的频谱 再设计一个频谱程序 使其产生连续信号的频谱波形图 程序如下 tSa t 20 0 5 20 f sinc t pi N 1000 k N N w1 10 利用 MATLAB 实现 Sa 信号的抽样与重构仿真 15 w k w1 N F f exp j t w 0 5 plot w F xlabel x ylabel x w title sa t sinc t pi 信号的频谱图 产生的图形如图 7 10 8 6 4 20246810 0 5 0 0 5 1 1 5 2 2 5 3 3 5 x x w sa t sinc t pi 与 与 与 与 与 与 图 7 sa t 频谱图 3 3 设计连续信号设计连续信号 sa t 的采样与信号重构的采样与信号重构 3 3 1 临界抽样情况临界抽样情况 当采样频率等于一个连续的同信号最大频率的 2 倍 即时 称为临界采 ms 2 样 此时设置 1 m mc mis pT 设计一个程序完成 Sa 信号的抽样以及重构信号与误差信号的变化 程序如下 利用 MATLAB 实现 Sa 信号的抽样与重构仿真 16 wm 1 升余弦脉冲信号带宽 wc wm 频率 Ts pi wm 周期 ws 2 pi Ts 理想低通截止频率 n 100 100 定义序列的长度是201 nTs n Ts 采样点 f sinc nTs pi 抽样信号 Dt 0 005 t 20 Dt 20 fa f Ts wc pi sinc wc pi ones length nTs 1 t nTs ones 1 length t 信号重建 t1 20 0 5 20 f1 sinc t1 pi subplot 211 stem t1 f1 xlabel kTs ylabel f kTs title sa t sinc t pi 的临界采样信号 subplot 212 plot t fa xlabel t ylabel fa t title 由sa t sinc t pi 的临界采样信号重构sa t grid 产生的图形如图 8 利用 MATLAB 实现 Sa 信号的抽样与重构仿真 17 20 15 10 505101520 0 5 0 0 5 1 kTs f kTs sa t sinc t pi 与 与 与 与 与 与 与 20 15 10 505101520 0 5 0 0 5 1 t fa t 与 sa t sinc t pi 与 与 与 与 与 与 与 与 与 sa t 图 8 临界抽样效果图 分析 为了比较由采样信号恢复后的信号与原信号的误差 可以计算出两信号的 绝对误差 当 t 选取的数据越大 起止的宽度越大 3 2 2 过抽样情况过抽样情况 当采样频率大于一个连续的同信号最大频率的 2 倍 即时 称为过采样 ms 2 此时 设置 1 m mc 1 1 mis pT 5 0 设计一个程序完成 Sa 信号的抽样 并观察在不同采样频率的条件下对应采样信号 的时域和频域特性 以及重构信号与误差信号的变化 程序如下 wm 1 wc 1 1wm Ts 0 5 pi wm ws 2 pi Ts 利用 MATLAB 实现 Sa 信号的抽样与重构仿真 18 n 100 100 nTs n Ts f sinc nTs pi Dt 0 005 t 10 Dt 10 fa f Ts wc pi sinc wc pi ones length nTs 1 t nTs ones 1 length t error abs fa sinc t pi t1 10 0 5 10 f1 sinc t1 pi m 20 20 N 41 设采样点的 N 值 Xw abs fft f N subplot 2 2 1 plot m Xw axis 20 20 1 1 min Xw 1 1 max Xw 可用 axis 函数来调整图轴的范围 xlabel w ylabel Xw title 抽样后频谱波形图 subplot 2 2 2 stem t1 f1 xlabel kTs ylabel f kTs title sa t sinc t pi 的采样信号 subplot 2 2 3 plot t fa 利用 MATLAB 实现 Sa 信号的抽样与重构仿真 19 xlabel t ylabel fa t title 由 sa t 过采样信号重构 sa t grid subplot 2 2 4 plot t error xlabel t ylabel error t title 过采样信号与原信号的误差 产生图形如图 9 20 1001020 0 05 0 1 0 15 w Xw 与 与 与 与 与 与 与 与 10 50510 0 5 0 0 5 1 kTs f kTs sa t sinc t pi 与 与 与 与 与 10 50510 0 5 0 0 5 1 t fa t 与 sa t 与 与 与 与 与 与 与 sa t 10 50510 0 0 5 1 1 5 x 10 4 t error t 与 与 与 与 与 与 与 与 与 与 与 与 图 9 过抽样情况 分析 验证了抽样定理的内容 过抽样情况波形恢复良好 3 2 3 欠采样情况欠采样情况 当采样频率小于一个连续的同信号最大频率的 2 倍 即时 称为过采样 ms 2 利用 MATLAB 实现 Sa 信号的抽样与重构仿真 20 此时设置 鉴于此过程难以实现重构 故省去此步骤 1 m mc mis pT 2 设计一个程序完成 Sa 信号的抽样 并观察在不同采样频率的条件下对应采样信号 的时域和频域特性 程序如下 wm 1 wc wm Ts 2 pi wm ws 2 pi Ts n 100 100 nTs n Ts f sinc nTs pi t1 20 0 5 20 f1 sinc t1 pi m 20 20 N 41 设采样点的 N 值 Xk abs fft f N subplot 2 1 1 plot m Xw axis 20 20 1 1 min Xw 1 1 max Xw 可用 axis 函数来调整图轴的范围 xlabel w ylabel Xw title 抽样后频谱波形图 subplot 2 1 2 利用 MATLAB 实现 Sa 信号的抽样与重构仿真 21 stem t1 f1 xlabel kTs ylabel f kTs title sa t sinc t pi 的采样信号 sa t 产生的图形如图 10 20 15 10 505101520 0 05 0 1 0 15 w Xw 与 与 与 与 与 与 与 与 20 15 10 505101520 0 5 0 0 5 1 kTs f kTs sa t sinc t pi 与 与 与 与 与 sa t 图 10 欠抽样情况 分析 因采样信号的频谱混叠 使得在区域内的频谱相互 干扰 导致波 c 形难以恢复 利用 MATLAB 实现 Sa 信号的抽样与重构仿真 22 总结总结 一周的课程设计很快就过去了 这其中真是有苦也有甜 苦的是从刚开始对 MATLAB 的不够熟练导致编程频频出错 让我苦恼万分 甜的是经过老师和同学的帮 助我的软件应用能力有了很大的提高 感觉自己确实收获了很多 无论是对知识的理 解和应用 还是实验过程中自我的遇到问题解决问题的信心 恒心以及同学间的相互 鼓励 支持和帮助 本课程设计用到的理论知识并不是很多 也很容易理解 最核心 的部分就是采样定理的应用 以及时域和频域的对应关系 但是理论知识是基础 学 以致用才是关键 实验中 MATLAB 的