2016-2017学年江苏省苏州市高二(上)期末数学试卷

最新最全的数学资料尽在千人 QQ 群微信公众号 福建数学 第 1 页 共 22 页 2016 2017 学年江苏省苏州市高二 上 期末数学试卷学年江苏省苏州市高二 上 期末数学试卷 一 填空题 本大题共一 填空题 本大题共 14 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 70 分 分 1 5 分 命题 x R x2 9 的否定是 2 5 分 抛物线 y2 2x 的焦点坐标为 3 5 分 过点 P 0 1 且与直线 2x 3y 4 0 垂直的直线方程为 4 5 分 直线 3x 4y 12 0 与两条坐标轴分别交于点 A B O 为坐标原点 则 ABO 的面积等于 5 5 分 函数 y x3 2x2 x 的单调递减区间为 6 5 分 m 1 是 直线 l1 mx 2y 1 0 和直线 l2 x m 1 y 2 0 相互平行 的 条件 用 充分不必要 必要不充分条件 充要 既不充分也不必要 填空 7 5 分 函数 y x2 x lnx 在区间 1 3 上的最小值等于 8 5 分 如图 四棱锥 P ABCD 中 PA 底面 ABCD 底面 ABCD 为正方形 则下列结论 AD 平面 PBC 平面 PAC 平面 PBD 平面 PAB 平面 PAC 平面 PAD 平面 PDC 其中正确的结论序号是 9 5 分 已知圆 C x2 y2 4x 2y 1 0 上存在两个不同的点关于直线 x ay 1 0 对 最新最全的数学资料尽在千人 QQ 群微信公众号 福建数学 第 2 页 共 22 页 称 过点 A 4 a 作圆 C 的切线 切点为 B 则 AB 10 5 分 已知圆柱甲的底面半径 R 等于圆锥乙的底面直径 若圆柱甲的高为 R 圆锥乙的侧面积为 则圆柱甲和圆锥乙的体积之比为 11 5 分 已知函数在区间 m m 2 上单调递减 则实数 m 的 取值范围为 12 5 分 在平面直角坐标系 xoy 中 已知直线 l ax y 2 0 和点 A 3 0 若直线 l 上存在点 M 满足 MA 2MO 则实数 a 的取值范围为 13 5 分 在平面直角坐标系 xoy 中 直线 y 2x b 是曲线 y 2alnx 的切线 则 当 a 0 时 实数 b 的最小值是 14 5 分 已知 F 是椭圆的左焦点 A B 为椭圆 C 的 左 右顶点 点 P 在椭圆 C 上 且 PF x 轴 过点 A 的直线与线段 PF 交与点 M 与 y 轴交与点 E 直线 BM 与 y 轴交于点 N 若 NE 2ON 则椭圆 C 的离心 率为 二 解答题 本大题共二 解答题 本大题共 6 小题 共小题 共 90 分分 解答应写出必要的文字说明或推理 解答应写出必要的文字说明或推理 验算过程验算过程 15 14 分 已知圆 M 的圆心在直线 y x 上 且经过点 A 3 0 B 1 2 1 求圆 M 的方程 2 直线 l 与圆 M 相切 且 l 在 y 轴上的截距是在 x 轴上截距的两倍 求直线 l 的方程 16 14 分 如图 四棱柱 ABCD A1B1C1D1的底面 ABCD 为矩形 平面 CDD1C1 平面 ABCD E F 分别是 CD AB 的中点 求证 1 AD CD 2 EF 平面 ADD1A1 最新最全的数学资料尽在千人 QQ 群微信公众号 福建数学 第 3 页 共 22 页 17 14 分 从旅游景点 A 到 B 有一条 100km 的水路 某轮船公司开设一个游 轮观光项目 已知游轮每小时使用燃料费用与速度的立方成正比例 其他费用 为每小时 3240 元 游轮最大时速为 50km h 当游轮的速度为 10km h 时 燃 料费用为每小时 60 元 设游轮的航速为 vkm h 游轮从 A 到 B 一个单程航行的 总费用为 S 元 1 将游轮从 A 到 B 一个单程航行的总费用 S 表示为游轮的航速 v 的函数 S f v 2 该游轮从 A 到 B 一个单程航行的总费用最少时 游轮的航速为多少 并 求出最小总费用 18 16 分 已知椭圆 C 1 a b 0 上的左 右顶点分别为 A B F1为左焦点 且 AF1 2 又椭圆 C 过点 求椭圆 C 的方程 点 P 和 Q 分别在椭圆 C 和圆 x2 y2 16 上 点 A B 除外 设直线 PB QB 的斜率分别为 k1 k2 若 k1 证明 A P Q 三点共线 19 16 分 已知函数 f x a x 1 lnx a 为实数 g x x 1 h x 1 当 a 1 时 求函数 f x a x 1 lnx 在点 1 f 1 处的切线方程 2 讨论函数 f x 的单调性 3 若 h x f x 求实数 a 的值 20 16 分 在平面直角坐标系 xOy 中 圆 O x2 y2 1 P 为直线 l x t 1 t 2 上一点 最新最全的数学资料尽在千人 QQ 群微信公众号 福建数学 第 4 页 共 22 页 1 已知 t 若点 P 在第一象限 且 OP 求过点 P 的圆 O 的切线方程 若存在过点 P 的直线交圆 O 于点 A B 且 B 恰为线段 AP 的中点 求点 P 纵 坐标的取值范围 2 设直线 l 与 x 轴交于点 M 线段 OM 的中点为 Q R 为圆 O 上一点 且 RM 1 直线 RM 与圆 O 交于另一点 N 求线段 NQ 长的最小值 第二卷 附加题第二卷 附加题 每题每题 10 分 分 21 求曲线 f x 在 x 2 处的切线与 x 轴交点 A 的坐标 22 已知点 P 是圆 x2 y2 1 上的一个动点 定点 M 1 2 Q 是线段 PM 延长 线上的一点 且 求点 Q 的轨迹方程 23 如图 在四棱锥 P ABCD 中 PA 底面 ABCD AD AB AB DC AD DC AP 2 AB 1 点 E 为棱 PC 的中点 证明 BE DC 求直线 BE 与平面 PBD 所成角的正弦值 若 F 为棱 PC 上一点 满足 BF AC 求二面角 F AB P 的余弦值 24 如图 已知抛物线 y2 4x 过点 P 2 0 作斜率分别为 k1 k2的两条直线 与抛物线相交于点 A B 和 C D 且 M N 分别是 AB CD 的中点 1 若 k1 k2 0 求线段 MN 的长 2 若 k1 k2 1 求 PMN 面积的最小值 最新最全的数学资料尽在千人 QQ 群微信公众号 福建数学 第 5 页 共 22 页 最新最全的数学资料尽在千人 QQ 群微信公众号 福建数学 第 6 页 共 22 页 2016 2017 学年江苏省苏州市高二 上 期末数学试卷学年江苏省苏州市高二 上 期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一 填空题 本大题共一 填空题 本大题共 14 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 70 分 分 1 5 分 命题 x R x2 9 的否定是 x R x2 9 解答 解 命题 x R x2 9 的否定是命题 x R x2 9 故答案为 x R x2 9 2 5 分 抛物线 y2 2x 的焦点坐标为 解答 解 抛物线 y2 2x 的焦点在 x 轴的正半轴上 且 p 1 故焦点 坐标为 0 故答案为 0 3 5 分 过点 P 0 1 且与直线 2x 3y 4 0 垂直的直线方程为 3x 2y 2 0 解答 解 直线 2x 3y 4 0 的斜率 k 与直线 2x 3y 4 0 垂直的直线的斜率为 则点 P 0 1 且与直线 2x 3y 4 0 垂直的直线方程为 y 1 x 0 整理得 3x 2y 2 0 故答案为 3x 2y 2 0 4 5 分 直线 3x 4y 12 0 与两条坐标轴分别交于点 A B O 为坐标原点 则 ABO 的面积等于 6 解答 解 直线 3x 4y 12 0 与两条坐标轴分别交于点 A 4 0 B 0 3 最新最全的数学资料尽在千人 QQ 群微信公众号 福建数学 第 7 页 共 22 页 S ABO 6 故答案为 6 5 5 分 函数 y x3 2x2 x 的单调递减区间为 1 解答 解 y 3x2 4x 1 3x 1 x 1 令 y 0 解得 x 1 故函数在 1 递减 故答案为 1 6 5 分 m 1 是 直线 l1 mx 2y 1 0 和直线 l2 x m 1 y 2 0 相互平行 的 充分不必要 条件 用 充分不必要 必要不充分条件 充要 既不充分也 不必要 填空 解答 解 若直线 l1 mx 2y 1 0 和直线 l2 x m 1 y 2 0 相互平行 则 m m 1 2 解得 m 2 或 m 1 故 m 1 是直线平行的充分不必要条件 故答案为 充分不必要 7 5 分 函数 y x2 x lnx 在区间 1 3 上的最小值等于 0 解答 解 y 2x 1 由 x 1 3 故 y 0 在 1 3 恒成立 故函数在 1 3 递增 x 1 时 函数取最小值 函数的最小值是 0 故答案为 0 最新最全的数学资料尽在千人 QQ 群微信公众号 福建数学 第 8 页 共 22 页 8 5 分 如图 四棱锥 P ABCD 中 PA 底面 ABCD 底面 ABCD 为正方形 则下列结论 AD 平面 PBC 平面 PAC 平面 PBD 平面 PAB 平面 PAC 平面 PAD 平面 PDC 其中正确的结论序号是 解答 解 由底面为正方形 可得 AD BC AD 平面 PBC BC 平面 PBC 可得 AD 平面 PBC 在正方形 ABCD 中 AC BD PA 底面 ABCD 可得 PA BD PA AC A 可得 BD 平面 PAC BD 平面 PBD 即有平面 PAC 平面 PBD PA 底面 ABCD 可得 PA AB PA AC 可得 BAC 为二面角 B PA C 的平面角 显然 BAC 45 故平面 PAB 平面 PAC 不成立 在正方形 ABCD 中 可得 CD AD PA 底面 ABCD 可得 PA CD PA AD A 可得 CD 平面 PAD 最新最全的数学资料尽在千人 QQ 群微信公众号 福建数学 第 9 页 共 22 页 CD 平面 PCD 即有平面 PAD 平面 PDC 综上可得 正确 故答案为 9 5 分 已知圆 C x2 y2 4x 2y 1 0 上存在两个不同的点关于直线 x ay 1 0 对 称 过点 A 4 a 作圆 C 的切线 切点为 B 则 AB 6 解答 解 圆 C x2 y2 4x 2y 1 0 即 x 2 2 y 1 2 4 表示以 C 2 1 为圆心 半径等于 2 的圆 由题意可得 直线 l x ay 1 0 经过圆 C 的圆心 2 1 故有 2 a 1 0 a 1 点 A 4 1 AC 2 CB R 2 切线的长 AB 6 故答案为 6 10 5 分 已知圆柱甲的底面半径 R 等于圆锥乙的底面直径 若圆柱甲的高为 R 圆锥乙的侧面积为 则圆柱甲和圆锥乙的体积之比为 24 解答 解 圆柱甲的底面半径 R 等于圆锥乙的底面直径 圆柱甲的高为 R 圆锥乙的侧面积为 最新最全的数学资料尽在千人 QQ 群微信公众号 福建数学 第 10 页 共 22 页 解得 l 圆锥乙的高 h 圆柱甲和圆锥乙的体积之比为 24 故答案为 24 11 5 分 已知函数在区间 m m 2 上单调递减 则实数 m 的 取值范围为 1 1 解答 解 f x 令 f x 0 解得 1 x 3 故 f x 在 1 3 递减 故 m m 2 1 3 故 解得 1 m 1 故答案为 1 1 12 5 分 在平面直角坐标系 xoy 中 已知直线 l ax y 2 0 和点 A 3 0 若直线 l 上存在点 M 满足 MA 2MO 则实数 a 的取值范围为 a 0 或 a 解答 解 取 M x 2 ax 直线 l 上存在点 M 满足 MA 2MO 2 化为 a2 1 x2 4a 2 x 1 0 此方程有实数根 最新最全的数学资料尽在千人 QQ 群微信公众号 福建数学 第 11 页 共 22 页 4a 2 2 4 a2 1 0 化为 3a2 4a 0 解得 a 0 或 a 故答案为 a 0 或 a 13 5 分 在平面直角坐标系 xoy 中 直线 y 2x b 是曲线 y 2alnx 的切线 则 当 a 0 时 实数 b 的最小值是 2 解答 解 y 2alnx 的导数为 y 由于直线 y 2x b 是曲线 y 2alnx 的切线 则设切点为 m n 则 2 n 2m b n 2alnm 即有 b 2alna 2a a 0 b 2 lna 1 2 2lna 当 a 1 时 b 0 函数 b 递增 当 0 a 1 时 b 0 函数 b 递减 即有 a 1 为极小值点 也为最小值点 且最小值为 2ln1 2 2 故答案为 2 14 5 分 已知 F 是椭圆的左焦点 A B 为椭圆 C 的 左 右顶点 点 P 在椭圆 C 上 且 PF x 轴 过点 A 的直线与线段 PF 交与点 M 与 y 轴交与点 E 直线 BM 与 y 轴交于点 N 若 NE 2ON 则椭圆 C 的离心 率为 解答 解 由题意可设 F c 0 A a 0 B a 0 最新最全的数学资料尽在千人 QQ 群微信公众号 福建数学 第 12 页 共 22 页 令 x c 代入椭圆方程可得 y b 可得 P c 设直线 AE 的方程为 y k x a 令 x c 可得 M c k a c 令 x 0 可得 E 0 ka 直线 BM 与 y 轴交于点 N NE 2ON N 0 由 B N M 三点共线 可得 kBN kBM 即为 化简可得 即为 a 2c 可得 e 故答案为 二 解答题 本大题共二 解答题 本大题共 6 小题 共小题 共 90 分分 解答应写出必要的文字说明或推理 解答应写出必要的文字说明或推理 验算过程验算过程 15 14 分 已知圆 M 的圆心在直线 y x 上 且经过点 A 3 0 B 1 2 最新最全的数学资料尽在千人 QQ 群微信公众号 福建数学 第 13 页 共 22 页 1 求圆 M 的方程 2 直线 l 与圆 M 相切 且 l 在 y 轴上的截距是在 x 轴上截距的两倍 求直线 l 的方程 解答 解 1 设圆心坐标为 a a 则 a 3 2 a a 1 2 a 2 2 解得 a 1 r 圆 M 的方程为 x 1 2 y 1 2 5 2 由题意 直线 l 不过原点 设方程为 1 即 2x y 2a 0 直线 l 与圆 M 相切 a 2 或 3 直线 l 的方程为 2x y 4 0 或 2x y 6 0 16 14 分 如图 四棱柱 ABCD A1B1C1D1的底面 ABCD 为矩形 平面 CDD1C1 平面 ABCD E F 分别是 CD AB 的中点 求证 1 AD CD 2 EF 平面 ADD1A1 解答 证明 1 由底面 ABCD 为矩形可得 AD CD 又 平面 C1D1DC 平面 ABCD 平面 C1D1DC 平面 ABCD 平面 CD AD 平面 C1D1DC 又 CD1 面 C1D1DC 最新最全的数学资料尽在千人 QQ 群微信公众号 福建数学 第 14 页 共 22 页 AD CD1 2 设 DD1中点为 G 连结 EG AG E G 分别为 CD1 DD1的中点 EG CD EG CD 在矩形 ABCD 中 F 是 AB 的中点 AF CD 且 AF CD EG AF 且 EG AF 四边形 AFEG 是平行四边形 EF AG 又 AG 平面 ADD1A1 EF 平面 ADD1A1 EF 平面 ADD1A1 17 14 分 从旅游景点 A 到 B 有一条 100km 的水路 某轮船公司开设一个游 轮观光项目 已知游轮每小时使用燃料费用与速度的立方成正比例 其他费用 为每小时 3240 元 游轮最大时速为 50km h 当游轮的速度为 10km h 时 燃 料费用为每小时 60 元 设游轮的航速为 vkm h 游轮从 A 到 B 一个单程航行的 总费用为 S 元 1 将游轮从 A 到 B 一个单程航行的总费用 S 表示为游轮的航速 v 的函数 S f v 最新最全的数学资料尽在千人 QQ 群微信公众号 福建数学 第 15 页 共 22 页 2 该游轮从 A 到 B 一个单程航行的总费用最少时 游轮的航速为多少 并 求出最小总费用 解答 解 1 设游轮以每小时 vkm h 的速度航行 游轮单程航行的总费 用为 f v 元 游轮的燃料费用每小时 k v3元 依题意 k 103 60 则 k 0 06 S f v 3240 6v2 0 v 50 2 f v f v 0 得 v 30 当 0 v 30 时 f v 0 此时 f v 单调递减 当 30 v 50 时 f v 0 此时 f v 单调递增 故当 v 30 时 f v 有极小值 也是最小值 f 30 16200 所以 轮船公司要获得最大利润 游轮的航速应为 30km h 18 16 分 已知椭圆 C 1 a b 0 上的左 右顶点分别为 A B F1为左焦点 且 AF1 2 又椭圆 C 过点 求椭圆 C 的方程 点 P 和 Q 分别在椭圆 C 和圆 x2 y2 16 上 点 A B 除外 设直线 PB QB 的斜率分别为 k1 k2 若 k1 证明 A P Q 三点共线 解答 解 由已知可得 a c 2 又 b2 a2 c2 12 解得 a 4 故所求椭圆 C 的方程为 1 由 知 A 4 0 B 4 0 设 P x1 y1 Q x2 y2 P x1 y1 在椭圆 C 上 最新最全的数学资料尽在千人 QQ 群微信公众号 福建数学 第 16 页 共 22 页 即 又 kPAk2 1 由已知点 Q x2 y2 在圆 x2 y2 16 上 AB 为圆的直径 QA QB kQA k2 1 由 可得 kPA kQA 直线 PA QA 有共同点 A A P Q 三点共线 19 16 分 已知函数 f x a x 1 lnx a 为实数 g x x 1 h x 1 当 a 1 时 求函数 f x a x 1 lnx 在点 1 f 1 处的切线方程 2 讨论函数 f x 的单调性 3 若 h x f x 求实数 a 的值 解答 解 1 当 a 1 时 f x x 1 lnx f 1 0 f x 1 f 1 0 函数 f x a x 1 lnx 在点 1 f 1 处的切线方程为 y 0 2 f x a x 0 a 0 f x 0 函数在 0 上单调递减 最新最全的数学资料尽在千人 QQ 群微信公众号 福建数学 第 17 页 共 22 页 a 0 由 f x 0 解得 x 函数的单调递增区间是 f x 0 0 x 函数的单调递减区间是 0 3 令 G x f x g x a 1 x 1 lnx 定义域 0 G 1 0 h x f x x 0 G x 0 成立 a 1 G x a 1 0 G x 在 0 单调递减 G 2 G 1 0 此时题设不成立 a 1 时 G x 在 0 上单调递减 上单调递增 G x min 2 a ln a 1 2 a ln a 1 0 恒成立 令 t a 1 t 0 则 1 t lnt 0 恒成立 令 H t 1 t lnt t 0 则 H 1 0 H t H t 在 0 1 上单调递增 1 上单调递减 H t max H 1 0 H t 0 t 1 时取等号 t 0 时 1 t lnt 0 的解为 t 1 即 a 2 20 16 分 在平面直角坐标系 xOy 中 圆 O x2 y2 1 P 为直线 l x t 1 t 2 上一点 1 已知 t 若点 P 在第一象限 且 OP 求过点 P 的圆 O 的切线方程 若存在过点 P 的直线交圆 O 于点 A B 且 B 恰为线段 AP 的中点 求点 P 纵 坐标的取值范围 2 设直线 l 与 x 轴交于点 M 线段 OM 的中点为 Q R 为圆 O 上一点 且 最新最全的数学资料尽在千人 QQ 群微信公众号 福建数学 第 18 页 共 22 页 RM 1 直线 RM 与圆 O 交于另一点 N 求线段 NQ 长的最小值 解答 解 1 设点 P 的坐标为 y0 因为 OP 所以 2 y02 2 解得 y0 1 又点 P 在第一象限 所以 y0 1 即点 P 的坐标为 1 易知过点 P 的圆 O 的切线的斜率必存在 可设切线的斜率为 k 则切线为 y 1 k x 即 kx y 1 k 0 于是有 1 解得 k 0 或 k 因此过点 P 的圆 O 的切线方程为 y 1 或 24x 7y 25 0 设 A x y 则 B 因为点 A B 均在圆 O 上 所以有 即 该方程组有解 即圆 x2 y2 1 与圆 x 2 y y0 2 4 有公共点 于是 1 3 解得 y0 即点 P 纵坐标的取值范围是 2 设 R x2 y2 则 解得 x2 1 直线 RM 的方程为 x t 由可得 N 点横坐标为 所以 NQ 所以当 t2 即 t 最新最全的数学资料尽在千人 QQ 群微信公众号 福建数学 第 19 页 共 22 页 时 NQ 最小为 第二卷 附加题第二卷 附加题 每题每题 10 分 分 21 求曲线 f x 在 x 2 处的切线与 x 轴交点 A 的坐标 解答 解 f x 的导数为 f x 可得曲线 f x 在 x 2 处的切线斜率为 f 2 切点为 2 则曲线 f x 在 x 2 处的切线方程为 y x 2 可令 y 0 则 x 即有切线与 x 轴交点 A 的坐标为 0 22 已知点 P 是圆 x2 y2 1 上的一个动点 定点 M 1 2 Q 是线段 PM 延长 线上的一点 且 求点 Q 的轨迹方程 解答 解 设 P 的坐标为 x y Q a b 则 定点 M 1 2 x 2a 3 y 2b 6 Q 是圆 x2 y2 1 上的动点 x2 y2 1 2a 3 2 2b 6 2 1 即动点 Q 的轨迹方程是 x 2 y 3 2 23 如图 在四棱锥 P ABCD 中 PA 底面 最新最全的数学资料尽在千人 QQ 群微信公众号 福建数学 第 20 页 共 22 页 ABCD AD AB AB DC AD DC AP 2 AB 1 点 E 为棱 PC 的中点 证明 BE D