（浙江专用）2021版新高考数学一轮复习第六章数列与数学归纳法6第6讲数学归纳法教学案.docx

第6讲数学归纳法1数学归纳法一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0N*)时命题成立；(2)(归纳递推)假设nk(kn0，kN*)时命题成立，证明当nk1时命题也成立2明确数学归纳法的两步证明数学归纳法是一种只适用于与正整数有关的命题的证明方法，它们的表述严格而且规范，两个步骤缺一不可第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，第二步中，归纳假设起着“已知条件”的作用，在nk1时一定要运用它，否则就不是数学归纳法第二步的关键是“一凑假设，二凑结论”疑误辨析判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当n1时结论成立()(2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明()(3)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由nk到nk1时，项数都增加了一项()(4)用数学归纳法证明问题时，必须要用归纳假设()答案：(1)(2)(3)(4)教材衍化1(选修22P99B组T1改编)在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n3)条时，第一步检验n等于()A1B2C3D4解析：选C.凸n边形边数最小时是三角形，故第一步检验n3.2(选修22P96A组T2改编)已知an满足an1anan1，nN*，且a12，则a2_，a3_，a4_，猜想an_答案：345n1易错纠偏(1)误认为利用数学归纳法证明时第一步验证的初始值均为n1；(2)利用数学归纳法证明时，添加的项出错，或不利用归纳假设1用数学归纳法证明“2nn21对于nn0的正整数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取()A2 B3 C5 D6解析：选C.当n1时，212121，当n2时，2242215，当n3时，23832110，当n4时，241652126，当n6时，266462137，故起始值n0应取5.2用数学归纳法证明123(2n1)(n1)(2n1)时，从nk到nk1，左边需增添的代数式是_解析：当nk时，待证等式左边123(2k1)，当nk1时，待证等式左边123(2k1)(2k2)(2k3)，所以从nk到nk1，左边需增添的代数式是(2k2)(2k3)答案：(2k2)(2k3)用数学归纳法证明等式 用数学归纳法证明：(nN*)【证明】(1)当n1时，左边，右边.左边右边，所以等式成立(2)假设nk(kN*且k1)时等式成立，即有，则当nk1时，.所以当nk1时，等式也成立，由(1)(2)可知，对于一切nN*等式都成立用数学归纳法证明恒等式的注意事项(1)明确初始值n0的取值并验证nn0时等式成立(2)由nk证明nk1时，弄清左边增加的项，且明确变形目标(3)掌握恒等变形常用的方法：因式分解；添拆项；配方法 (2020温州七校联考)已知数列an的通项公式为an1，记Sna1a2a3an，用数学归纳法证明Sn(n1)ann.证明：当n1时，a11，S1a11，满足条件假设当nk(k1，kN*)时，Sk(k1)akk成立，则当nk1时，因为ak11ak1，所以Sk1Skak1(k1)akkak1(k1)(ak1)kak1(k1)ak11kak1(k2)ak1(1k)从而Sn(n1)ann成立用数学归纳法证明不等式 (2020衢州模拟)在数列an中，已知a1a(a2)，且an1(nN*)(1)用数学归纳法证明：an2(nN*)；(2)求证an12，命题成立假设当nk(kN*，k1)时，命题成立，即ak2.则当nk1时，ak1220，所以当nk1时ak12也成立，由得，对任意正整数n，都有an2.(2)an1anan，由(1)可知an20，所以an1an.数学归纳法证明不等式的注意事项(1)当遇到与正整数n有关的不等式证明时，应用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法；(2)用数学归纳法证明不等式的关键是由nk成立，推证nk1时也成立，证明时用上归纳假设后，可采用分析法、综合法、作差(作商)比较法、放缩法等证明 已知数列an的各项均为正数，a11，aa2.(1)求数列an的通项公式；(2)证明：对一切nN*恒成立解：(1)由aa2得a2n1，所以an.(2)证明：当n1时，11成立；当n2时，左边右边假设当nk(k2，kN*)时，成立，那么当nk1时，不等式成立由可得对一切nN*恒成立归纳猜想证明 (2020宁波效实中学高三期中)已知数列an，a13，an1(nN*)(1)求a2，a3，a4的值，并猜想an的通项公式；(2)用数学归纳法证明你的猜想【解】(1)因为a13，且an1，所以a2，a3，a4，由此猜想an.(2)证明：当n1时，a13，满足要求，猜想成立；假设nk(k1且kN*)时，猜想成立，即ak，那么当nk1时，ak1，这就表明当nk1时，猜想成立，根据可以断定，对所有的正整数该猜想成立，即an.“归纳猜想证明”的模式“归纳猜想证明”的模式是不完全归纳法与数学归纳法综合应用的解题模式其一般思路是：通过观察有限个特例，猜想出一般性的结论，然后用数学归纳法证明这种方法在解决探索性问题、存在性问题或与正整数有关的命题中有着广泛的应用，其关键是归纳、猜想出公式 (2020宁波市九校联考)已知nN*，Sn(n1)(n2)(nn)，Tn2n13(2n1)(1)求S1，S2，S3，T1，T2，T3；(2)猜想Sn与Tn的关系，并用数学归纳法证明解：(1)S1T12，S2T212，S3T3120.(2)猜想：SnTn(nN*)证明：当n1时，S1T1；假设当nk(k1且kN*)时，SkTk，即(k1)(k2)(kk)2k13(2k1)，则当nk1时，Sk1(k11)(k12)(k1k1)(k1k)(k1k1)(k2)(k3)(2k)(2k1)(2k2)(2k1)(2k2)2k113(2k1)(2k1)Tk1.即nk1时也成立，由可知，nN*，SnTn成立基础题组练1凸n边形有f(n)条对角线，则凸(n1)边形的对角线的条数f(n1)为()Af(n)n1 Bf(n)nCf(n)n1 Df(n)n2解析：选C.边数增加1，顶点也相应增加1个，它与和它不相邻的n2个顶点连接成对角线，原来的一条边也成为对角线，因此，对角线增加n1条2用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xnyn能被xy整除”的第二步是()A假设n2k1时正确，再推n2k3时正确(其中kN*)B假设n2k1时正确，再推n2k1时正确(其中kN*)C假设nk时正确，再推nk1时正确(其中kN*)D假设nk时正确，再推nk2时正确(其中kN*)解析：选B.因为n为正奇数，所以n2k1(kN*)3用数学归纳法证明：“11)”时，由nk(k1)不等式成立，推证nk1时，左边应增加的项数是_解析：当nk时，要证的式子为1k；当nk1时，要证的式子为12，f(8)，f(16)3，f(32)，则其一般结论为_解析：因为f(22)，f(23)，f(24)，f(25)，所以当n2时，有f(2n).答案：f(2n)(n2，nN*)5已知数列an满足，a11，an.(1)求证：an1；(2)求证：|an1an|.证明：(1)由已知得an1，计算a2，a3，a4，猜想an1.下面用数学归纳法证明当n1时，命题显然成立；假设nk时，有an1成立，则当nk1时，ak11，ak1，即当nk1时也成立，所以对任意nN*，都有an1.(2)当n1时，|a1a2|，当n2时，因为(an)(an1)(an)11，所以|an1an|anan1|a2a1|.6(2020温州高考模拟节选)已知数列an，bn满足a12，b14，且2bnanan1，abnbn1.(1)求a2，a3，a4及b2，b3，b4的值；(2)猜想an，bn的通项公式，并证明你的结论解：(1)因为2bnanan1，abnbn1，且a12，b14.令n1，得到解得a26，b29；同理令n2，3分别解得a312，b316，a420，b425.(2)证明：猜测ann(n1)，bn(n1)2.用数学归纳法证明：当n1时，由上可得结论成立假设当nk时，结论成立，即akk(k1)，bk(k1)2，那么当nk1时，ak12bkak2(k1)2k(k1)(k1)(k2)，bk1(k2)2.所以当nk1时，结论也成立由，可知ann(n1)，bn(n1)2对一切正整数都成立7(2020台州市高三期末考试)在正项数列an中，已知a11，且满足an12an(nN*)(1)求a2，a3的值；(2)证明：an.解：(1)因为在正项数列an中，a11，且满足an12an(nN*)，所以a221，a32.(2)证明：当n1时，由已知a111，不等式成立；假设当nk时，不等式成立，即ak，因为f(x)2x在(0，)上是增函数，所以ak12ak2，因为k1，所以23230，所以ak1，即当nk1时，不等式也成立根据知不等式对任何nN*都成立8(2020台州市书生中学月考)已知数列an中，a1，an0，Sn为该数列的前n项和，且Sn1an(1an1)Sn，nN*.(1)求数列an的通项公式；(2)若不等式anan1an2a3n对一切正整数n都成立，求正整数a的最大值，并证明结论解：(1)因为Sn1an(1an1)Sn，nN*，所以Sn1Snan(1an1)，所以an1an(1an1)ananan1，所以anan1anan1.又an0，所以1，所以构成以2为首项，以1为公差的等差数列，所以2(n1)1n1，所以an，nN*.(2)当n1时，即，所以a.当n1时，已证；假设当nk(k1，kN*)时，不等式成立，即，则当nk1时，有.因为，即，所以0.所以当nk1时不等式也成立由知，对一切正整数n，都有，所以a的最大值等于25.综合题组练1(2020宁波市诺丁汉大学附中高三期中考试)已知数列an满足a13，an1a2an，nN*，设bnlog2(an1)(1)求an的通项公式；(2)求证：1n(n2)；(3)若2cnbn，求证：23.解：(1)由an1a2an，则an11a2an1(an1)2，由a13，则an0，两边取对数得到log2(an11)log2(an1)22 log2(an1)，即bn12bn.又b1log2(a11)20，所以bn是以2为公比的等比数列即bn2n.又因为bnlog2(an1)，所以an22n1.(2)证明：用数学归纳法证明：当n2时，左边为12右边，此时不等式成立；假设当nk(k2，kN*)时，不等式成立，则当nk1时，左边1kk2k个,k1右边，所以当nk1时，不等式成立综上可得，对一切nN*，n2，命题成立(3)证明：由2cnbn得cnn，所以，首先CCCCC2，其次因为C(k2)，所以CCCCC11133，当n1时显然成立所以得证2已知数列an的各项均为正数，bnnan(nN*)，e为自然对数的底数(1)求函数f(x)1xex的单调区间，并比较与e的大小；(2)计算，由此推测计算的公式，并给出证明解：(1)f(x)的定义域为(，)，f(x)1ex.当f(x)0，即x0时，f(x)单调递增；当f(x)0时，f(x)单调递减. 故f(x)的