第四讲线性方程组

第四讲线性方程组 线性方程组的理论在数学各分支及其许多领域被广泛应用着 关于线性方程组提出的基本问题得到了完满的解决 本章引入的概念和方法都是基本的 从概念到结论 从内容到方法都要掌握并能熟练运用 知识脉络图解 线性方程组的概念 方程组的初等变换 线性方程组的消元法 线性方程组有解的判定 齐次线性方程组解的结构 非齐次线性方程组解的结构 向量的概念 向量组的线性关系 向量的运算 向量组的秩与极大线性无关组 向量空间 矩阵的初等行变换 矩阵的秩 增广矩阵阶梯形矩阵 重点 难点解读 本章是围绕线性方程组理论的三个中心问题展开讨论的 首先介绍了古老但仍被广泛使用的求解线性方程组的消元法 主要是通过线性方程组的初等变换求同解的线性方程组 即方程组对应的增广矩阵用初等行变换化为阶梯形矩阵求解 其次是对线性方程组的解的情况的讨论 引入了向量的线性相关性 秩与极大线性无关组 矩阵的秩等概念 给出了线性方程组有解的充分必要条件 最后用向量空间的概念研究了方程组的解的结构 向量组的线性相关性是线性代数中的一个重点也是一个难点 对逻辑推理有较高的要求 相对比较抽象 在学习本章内容时 无论是判断 计算或证明 关键在于要深刻理解基本概念搞清其相互之间的关联 要学会用定义来推导论证 注意推导过程中逻辑的正确性 含有参数的线性方程组求解要熟练掌握 因为它综合考查矩阵的秩的确定 线性方程组解的情况判断 求解方法及解的结构 一 用消元法求解线性方程组 线性方程组解的判定定理 在有解的情况下 求解线性方程组的消元法 主要是通过线性方程组的初等变换求同解的线性方程组 即方程组对应的增广矩阵用初等行变换化为阶梯形矩阵求解 解直接计算可得 又 代入原方程得 即 令 代入上式得非齐次线性方程组 对增广矩阵进行初等行变换化为最简形 于是同解方程组为 其通解为 为任意常数 即 为任意常数 二 向量由向量组线性表出的判定与证明 1 向量线性表出的概念 如果存在数域F中任意个数 使得 则称向量是向量组的线性组合 或称可由向量组线性表出 零向量显然可以由任意一组向量线性表示 2 向量组等价的概念 如果向量组 中每一个向量都可由向量组 线性表出 则称向量组 可由向量组 线性表出 如果两个向量组可以互相线性表出 则称这两个向量组等价 3 线性表出的判定与证明方法 为判定一个向量能否由向量组线性表出 可由定义令 若此方程组无解 则不可由线性表出 若此方程组有解 则可由线性表出 且当解惟一时 其表达式惟一 为判定一个向量能否由向量组线性表出 还可令 若 则不可由线性表出 若 则可由线性表出 例1 设有三维列向量 问取何值时 1 可由线性表示 且表法惟一 3 不可由线性表示 2 可由线性表示 且表法不惟一 解设 得线性方程组 其系数行列式 3 若 则方程组的增广矩阵 可见 故方程组无解 从而不可由线性表示 例2 设向量组线性相关 向量组线性无关 问 1 能否由线性表示 证明你的结论 2 能否由线性表示 证明你的结论 方法1因为线性相关 故存在不全为零的数 使 其中 因为若 则不全为零 使 即线性相关 从而线性相关 这与题设矛盾 故 即得 方法2已知线性无关 所以线性无关 而线性相关 故可由线性表示 2 不能由线性表示 用反证法 设可由线性表示 即 由 1 知 代入上式得 解作初等行变换 有 当时 故线性方程组 均有唯一解 所以可由向量组 线性表示 同理 故可由向量组 线性表示 因此 向量组 与 等价 当时 有 由于 线性方程组 无解 故向量不能由 线性表示 因此 向量组 与 不等价 解和线性无关 所以向量组 由此解得 解之得 于是得 三 向量组线性相关性的判定 1 向量组线性相关与线性无关的定义 定义 向量组线性相关与线性无关的等价条件 向量组线性相关的充分必要条件是中至少有一个向量可以表为组内其余的个向量的线性组合 或等价地说 向量组线性无关的充分必要条件是向量组中的每一个向量都不能表为其余向量的线性组合 换句话说 若可由向量组线性表出 则表示法惟一的充分必要条件是向量组线性无关 2 判断具体向量组线性相关性的方法 方法1定义法 先根据定义设 再根据其分量写出相应的齐次线性方程组 若该方程组有非零解 则向量组线性相关 若该方程组只有零解 则向量组线性无关 方法2求秩法 将向量组排成矩阵 再求的秩 若时 向量组线性相关 若时 向量组线性无关 方法3行列式法 对于个维向量排成方阵 若 则向量组线性相关 若 则向量组线性无关 方法4利用有关结论 如 例1 设是互不相同的数 设 讨论向量组的线性相关性 解当时 由线性相关性的结论知 个维向量必线性相关 当时 将按列排成矩阵 则 所以 故线性无关 例2 设 1 问当为何值时 向量组线性无关 2 问当为何值时 向量组线性相关 解讨论一组向量是否线性相关 最基本的方法是用定义 设有实数 使 于是得方程组 其系数行列式为 1 当时 方程组有非零解 这时向量组线性相关 2 当时 方程组只有零解 这时向量组线性无关 3 当时 由 知方程组可化为 令 解得 因此有 从而有 3 抽象向量组线性相关性的判定与证明 对于抽象向量组 判断或证明其线性相关与线性无关常采用如下方法 方法1定义法 方法2求秩法 方法4利用有关结论 如 等价向量组有相同的秩 等 方法3反证法 证设有数组 使得 两边左乘 并注意 得 由于 所以 此时有 可得 以此类推知 故 线性无关 例4 已知个向量线性相关 但其中任意个都线性无关 证明 1 如果等式则这些或者全为0 或者全不为0 2 如果存在两个等式 一个不等于0 不失一般设 那么其余的都不 能等于0 否则若某个 则有 其中 这与任意个都线性无关矛盾 从而得证全不为0 2 由于 由上面 1 知全不为0 如果 则成立 由于线性无关 得 故 例5 证明维向量组线性无关的充分必要条件是维单位向量组 可以由线性表示 证必要性已知线性无关 由于个向量必线性相关 所以线性相关 由惟一表示定理知可由线性表示 充分性已知可由线性表出 故线性无关 证设有一组数 使得 上式两边同时左乘矩阵 有 从而由 式得 由于向量组是基础解系 所以 故向量组线性无关 因而 由式 得 四 求向量组的秩与极大线性无关组 1 向量组的秩与极大线性无关组的概念 如果一个向量组的部分组满足以下两个条件 1 线性无关 2 向量组中的任意个向量均线性相关 则称为向量组的一个极大线性无关组 称数为向量组的秩 2 秩与极大线性无关组的有关结论 1 向量组与它的任一个极大线性无关组等价 2 向量组的任意两个极大线性无关组等价 3 向量组的任意两个极大无关组所含向量的个数相等 4 向量组 可由向量组 线性表出 则向量组 的秩不大于向量组 的秩 5 等价的向量组有相同的秩 3 求向量组的秩与极大线性无关组的方法 对于具体给出的向量组 求秩与极大线性无关组的常用方法如下 方法1将向量组排成矩阵 并求的秩 则即是该向量组的秩 再在原矩阵中找非零的阶子式 则包含的个列 或行 向量即是的列 或行 向量组的一个极大无关组 方法3当向量个数较少时 也可采用逐个选录法 即在向量组中任取一个非零向量 再取一个与的对应分量不成比例的向量 又取一个不能由和线性表示的向量 这样继续下去便可取得向量组的一个极大线性无关组 对于抽象的向量组 求秩与极大无关组常利用一些有关的结论 如 若向量组 可由向量组 线性表出 则 的秩不超过 的秩 秩为的向量组中任意个线性无关的向量都是该向量组的极大线性无关组 等 解方法1由于 且 所以 故向量组与等价 从而的秩为 方法2将看作列向量 则有 可求得 即可逆 从而可由线性表示 故这两个向量组等价 即它们由相同的秩 例2 设向量组 1 为何值时 该向量组线性无关 并在此时将向量用线性表出 2 为何值时 该向量组线性相关 并在此时求出它的秩和一个极大线性无关组 对矩阵作初等行变换 1 当时 向量组线性无关 此时设 解得 2 当时 向量组线性相关 此时 向量组的秩等于3 为其一个极大线性无关组 证因为向量组 的秩为3 所以线性无关 而线性相关 故存在数使 设有数 使得 将式 代入上式 整理得 由向量组 的秩为4知线性无关 所以 该方程组只有零解 故向量组线性无关 即其秩为4 1 齐次线性方程组的基础解系 五 求齐次线性方程组的基础解系 如果齐次线性方程组的一组解向量线性无关 且任一解向量都能表示为这组解向量的线性组合 则称这组解向量是齐次线性方程组的基础解系 在齐次线性方程组有非零解的情况下 它有基础解系 并且基础解系所含的解向量的个数为 其中是未知数的个数 是系数矩阵的秩 2 齐次线性方程组的基础解系的求法 1 对系数矩阵进行初等行变换 将其化为最简形矩阵 由于 令 2 得出 同时也可知方程组的一个基础解系含有个线性无关的解向量 得 故 为齐次线性方程组的一个基础解系 齐次线性方程组的通解为 为任意数 对于抽象给出的齐次线性方程组 其中是秩为的矩阵 要证明某一向量组是的基础解系 需要证明三个结论 该向量组都是的解 该向量组线性无关 该向量组的个数恰为或的任意解向量均可由该向量组线性表示 例1 已知齐次线性方程组 其中 试讨论和满足何种关系时 1 方程组仅有零解 2 方程组有非零解 在有非零解时 求此方程组的一个基础解系 解方程组的系数行列式 1 当且时 方程组仅有零解 2 当时 原方程组的同解方程组为 由可知 不全为零 不妨设 得原方程组的一个基础解系为 当时 有 原方程组的系数矩阵为 由此得原方程组的同解方程组为 所以 原方程组的一个基础解系为 例2 设是非齐次线性方程组的个线性无关的解向量 其中是矩阵且 证明是的一个基础解系 证因为 所以 即是的解向量 下面证它们线性无关 设 即 由线性无关知 上式只有当 时才成立 故线性无关 又 知 是的一个基础解系 分析令 则是一个矩阵 由知 两边取转置即有 由此可知 所要构造的方程组的系数矩阵的行向量 应是线性方程组的解向量 证设所给的个维向量为 考虑齐次线性方程组 为方程组 的一个基础解系 由线性无关知 该线性方程组的系数矩阵的秩为 从而其基础解系含个解向量 但由于是方程组 的解 从而知是方程组 的解 因此是方程组 的基础解系 注该例给出了构造某一齐次线性方程组 使已知的一组线性无关的向量为其基础解系的方法 另外 用上述方法所得的方程组 不唯一 这是因为方程组 的基础解系不唯一 构造含个未知量的齐次线性方程组 例4 设为矩阵 是齐次线性方程组的基础解系 证明 如果 则存在唯一的矩阵 使 其中为 矩阵 证先证存在性令 其中为的第个列向量 由得 而为的基础解系 因此 可由 线性表示 即 其中为维列向量 令 则有 再证唯一性若还存在 使 则 由于是列满秩的 所以 即 六 求非齐次线性方程组的通解 非齐次线性方程组的通解为 其中为对应齐次线性方程组的通解 为非齐次线性方程组的任意一个特解 与方程组有解等价的命题 线性方程组有解 例1 设线性方程组 1 证明 若两两不等 则此线性方程组无解 2 设 且已知是该方程组的两个解 其中 求此方程组的通解 分析要证明线性方程组无解 只需证明系数矩阵的秩不等于增广矩阵的秩 证明中注意利用范德蒙行列式的性质以及矩阵的秩小于或等于行数和列数的性质 解 1 方程组增广矩阵的行列式 由两两不等 知 从而矩阵的秩 但系数矩阵的秩 故 因此方程组无解 2 当时 方程组为 即 因为 故 从而方程组 有解 且对应的导出组的基础解系应含有个解向量 又因是原非齐次线性方程组的两个解 故 于是原非齐次线性方程组的通解为 为任意常数 是对应的导出组的解 且 故是导出组的基础解系 例2 已知下列非齐次线性方程组 1 求解方程组 用其导出组的基础解系表示通解 2 当方程组 中的参数为何值时 方程组 与 同解 分析利用初等行变换判定出线性方程组 的解的情况 并写出其通解 将此通解分别代入方程组 的三个方程中分别求出和 最后要特别验证方程组 的通解与方程组 的解完全相同 解 1 设方程组 的系数矩阵为 增广矩阵为 对作初等行变换 得 由于 所以方程组有无穷多组解 其通解为 为任意常数 2 将方程组 的特解代入 的第一个方程 解得 将方程组 的特解代入 的第二个方程 解得 将方程组 的特解代入 的第三个方程 解得 注 这里必须验证 若用 的通解代入求m n t的值 则不必验证 因此 方程组 的参数时 可以验证方程组 的全部解都是方程组 的解 这时方程组 化为 设方程组 的系数矩阵为 增广矩阵为 对作初等行变换 得 于是 方程组 的通解为 为任意常数 显然 方程组 与方程组 的解完全相同 即方程组 与方程组 同解 例3 设四元线性方程组的系数矩阵的秩为3 已知 是它的三个解向量 且 求该方程组的通解 解 设此线性方程组为 因为系数矩阵的 秩为3 而未知数的个数等于4 所以其导出组的基础解系含有4 3 1个解向量 又因为 于是 原方程组的通解为 例4 已知4阶方阵均为4维列向量 其中线性无关 如果 求线性方程组的通解 解法1令 则由 得 将代入上式 整理得 由线性无关 可知 解这个方程组得 为任意常数 解法2因线性无关和 故的秩为3 因此的基础解系中只包含一个向量 由可知 为齐次线性方程组 的一个解 所以通解为 为任意常数 再由 可知 为非齐次线性方程组的一个特解 为任意常数 于是的通解为 其中 则有 若 则是的线性组合 故 与假设矛盾 故 又线性无关 从而 于是是的个线性无关的解向量 因为是的解 是的基础解系 于是有 即 且 令 则 七 含参数线性方程组的求解 系数矩阵或右端项含有参数的线性方程组简称含参数方程组 因为参数的各种不同取值直接影响方程组是否有解 有多少个解 因而解含参数的线性方程组必须对参数取值加以讨论 求解含参数线性方程组时 常采用以下方法 方法1对方程组的增广矩阵用初等行变换化为阶梯形矩阵 然后根据是否成立讨论参数取何值时线性方程组有解 无解 有解时再求其通解 方法2当方程的个数与未知数的个数相同时 先利用克拉姆法则 计算系数行列式 对于使得的参数值 方程组有唯一解 且可用克拉姆法则求出唯一解 当方程组的阶数不大时 而对于使得的参数值 分别列出增广矩阵用消元法求解 注如果方程的个数与未知数的个数相同时 且系数矩阵中含有参数 最好采用方法2求解 因为利用行列式的性质 对行 列均可进行 求可比只用初等行变换化含参数的增广矩阵为阶梯形矩阵要容易 解因为的解空间是维的 由 得 对方程组的增广矩阵作初等行变换 由知 此时 方程组有无穷多解 同解方程组为 其通解为 为任意常数 例2 已知线性方程组 1 满足何种关系时 方程组仅有零解 2 满足何种关系时 方程组有无穷多组解 并用基础解系表示全部解 解系数行列式 1 当时 方程组仅有零解 2 下面分四种情况 当时 同解方程组为 当时 同解方程组为 当时 同解方程组为 方程组有无穷多组解 全部解为 为任意常数 当时 同解方程组为 且 且 且 且 分析由题设条件且知方程组存在非零解 于是 即 解得于是 由知 故方程组存在非零解 于是 故应选 1 方程组的全部解 并用对应的齐次线性方程组的基础解系表示全部解 2 该方程组满足的全部解 解将代入方程组 得 对方程组的增广矩阵施以初等行变换 得 1 当时 有 因为 故方程组有无穷多解 全部解为 为任意常数 当时 有 因为 故方程组有无穷多解 全部解为 为任意常数 2 当时 由于 即 解得 方程组的全部解为 当时 由于 即 解得 方程组的全部解为 为任意常数 八 抽象线性方程组的求解 当方程组的系数矩阵与右端项的具体元素没有给出时 称为抽象线性方程组 这类方程组的求解和证明需要综合运用线性方程组解的性质与解的结构定理 例1 已知4阶方阵 均为4维列向量 其中线性无关 如果 求线性方程组的通解 解由线性无关和知 从而的基础解系含个解向量 由知是的非零解 故可作为的一个基础解系 又由 知是的一个特解 故的通解为 为任意常数 1 线性无关 2 是的个线性无关的解 3 的任一解都可以表示为这个解的线性组合 而且组合系数之和为1 证 1 设 左乘矩阵得 因为 所以由上式得 又 所以 于是 因为线性无关 从而 都是的解 再证它们线性无关 设 整理得 由 1 可知线性无关 于是有 即 故是的个线性无关的解 3 设是的任一解 则可表示为 其中 即 注本题可以看作是对非齐次线性方程组解的结构所做的进一步的分析和讨论 即系数矩阵的秩为的元非齐次线性方程组一定存在个线性无关的解向量 有时也把其个线性无关的解向量称为非齐次线性方程组的基础解系 所不同的是它的线性组合只有当组合系数和为1时才是的解 令 解由于 故 又由不全为零 可知 当时 于是 此时由可得 和 由于线性无关 故为的一个基础解系 于是的通解为 为任意常数 当时 于是或 如果 则的基础解系由两个向量构成 又因为的第一行为且不全为零 所以 等价于 不妨设 则 是的基础解系 故的通解为 为任意常数 如果 则的基础解系由一个向量构成 又因为 所以的通解为 为任意常数 九 线性方程组有解的判定与证明 设是矩阵 判定线性方程组是否有解即是检验是否 特别地 若 或的行向量组的秩为 或的行向量组线性无关 则 构造向量组 由于的解均为的解 所以向量组 可由向量组 线性表示 从而是向量组 的极大线性无关组 但也线性无关 所以也为向量组 的极大线性无关组 于是也可由线性表示 解 其中 可见 由知 故当为奇数时 仅有零解 当为偶数时 有非零解 此例另一种表述为 若向量组线性无关 试讨论向量组 的线性相关性 例3若矩阵A的秩为 其个列向量为某一齐次线性方程组的一个基础解系 B为阶非奇异矩阵 证明AB的个列向量也是该齐次线性方程组的一个基础解系 证令A为阶矩阵 列向量为AB的列向量为 则 于是可由线性表示 由题设知 也为这一齐次线性方程组的解 又因为B为非奇异矩阵 因而有 从而与等价 所以线性无关 即也为该齐次线性方程组的一个基础解系 例4 设是矩阵 是非齐次线性方程组所对应的齐次线性方程组 则下列结论正确的是 B 若有非零解 则有无穷多个解 C 若有无穷多个解 则仅有零解 D 若有无穷多个解 则有非零解 A 若仅有零解 则有唯一解 但反过来 若 或 并不能推导出 所以可能无解 更谈不上有唯一解或无穷多解 注若 则必有 从而一定有解 例5证明 实系数线性方程组 有解的充分必要条件是向量与齐次线性方程 的解空间正交 证设 令是A的第列 设的解空间的基是则 则是的一个子空间 令 因而 于是 故有解 即有解 十 求两个线性方程组的公共解 两个线