必修4第一章1.2.1任意角的三角函数(两课时)

1 21 2 任意角的三角函数任意角的三角函数 1 2 1 任意角的三角函数 一 一 教学目标 1 知识与技能 1 掌握任意角的正弦 余弦 正切的定义 包括这三种三角函数的定义域和函数值在 各象限的符号 2 理解任意角的三角函数不同的定义方法 3 了解如何利用与单位 圆有关的有向线段 将任意角 的正弦 余弦 正切函数值分别用正弦线 余弦线 正切 线表示出来 4 掌握并能初步运用公式一 5 树立映射观点 正确理解三角函数是 以实数为自变量的函数 2 过程与方法 初中学过 锐角三角函数就是以锐角为自变量 以比值为函数值的函数 引导学生把这个 定义推广到任意角 通过单位圆和角的终边 探讨任意角的三角函数值的求法 最终得到任意 角三角函数的定义 根据角终边所在位置不同 分别探讨各三角函数的定义域以及这三种函 数的值在各象限的符号 最后主要是借助有向线段进一步认识三角函数 讲解例题 总结方 法 巩固练习 3 情态与价值 任意角的三角函数可以有不同的定义方法 而且各种定义都有自己的特点 过去习惯于 用角的终边上点的坐标的 比值 来定义 这种定义方法能够表现出从锐角三角函数到任 意角的三角函数的推广 有利于引导学生从自己已有认知基础出发学习三角函数 但它对 准确把握三角函数的本质有一定的不利影响 从角的集合到比值的集合 的对应关系与学 生熟悉的一般函数概念中的 数集到数集 的对应关系有冲突 而且 比值 需要通过运 算才能得到 这与函数值是一个确定的实数也有不同 这些都会影响学生对三角函数概念 的理解 本节利用单位圆上点的坐标定义任意角的正弦函数 余弦函数 这个定义清楚地表明了 正弦 余弦函数中从自变量到函数值之间的对应关系 也表明了这两个函数之间的关系 二 教学重 难点 重点 任意角的正弦 余弦 正切的定义 包括这三种三角函数的定义域和函数值在 各象限的符号 终边相同的角的同一三角函数值相等 公式一 难点 任意角的正弦 余弦 正切的定义 包括这三种三角函数的定义域和函数值在 各象限的符号 三角函数线的正确理解 三 学法与教学用具 任意角的三角函数可以有不同的定义方法 本节利用单位圆上点的坐标定义任意角的 正弦函数 余弦函数 表明了正弦 余弦函数中从自变量到函数值之间的对应关系 也表明 了这两个函数之间的关系 另外 这样的定义使得三角函数所反映的数与形的关系更加直接 数形结合更加紧密 这就为后续内容的学习带来方便 也使三角函数更加好用了 教学用具 投影机 三角板 圆规 计算器 四 教学设想 第一课时 任意角的三角函数 一 创设情境 提问 锐角 O 的正弦 余弦 正切怎样表示 y P a b r O M 借助右图直角三角形 复习回顾 引入 锐角三角函数就是以锐角为自变量 以比值为函数值的函数 数 你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗 如图 设锐角的顶点与原点重合 始边与轴的正半轴重合 那 Ox 么它的终边在第一象限 在的终边上任取一点 它与原点的距离 过作 P a b 22 0rab P 轴的垂线 垂足为 则线段的长度为 线xMOMa 段的长度为 则 MPbsin MPb OPr cos OMa OPr tan MPb OMa 思考 对于确定的角 这三个比值是否会随点 在的终边上的位置的改变而改变呢 P 显然 我们可以将点取在使线段的长OP 的特殊位置上 这样就可以得到用直角坐标系内的点的坐标表示锐角三角函数 1r sin MP b OP cos OM a OP tan MPb OMa 思考 上述锐角的三角函数值可以用终边上一点的坐标表示 那么 角的概念推广以 后 我们应该如何对初中的三角函数的定义进行修改 以利推广到任意角呢 本节课就研 究这个问题 任意角的三角函数 探究新知 1 探究 结合上述锐角的三角函数值的求法 我们应如何求解任意角的三角函数值呢 显然 我们只需在角的终边上找到一个点 使这个点到原点的距离为 1 然后就可以类似 锐角求得该角的三角函数值了 所以 我们在此引入单位圆的定义 在直角坐标系中 我们称 以原点为圆心 以单位长度为半径的圆 O 2 思考 如何利用单位圆定义任意角的三角函数的定义 如图 设是一个任意角 它的终边与单位圆交于点 那么 P x y 1 叫做的正弦 sine 记做 即 y sin siny 2 叫做的余弦 cossine 记做 即 x cos cosx 3 叫做的正切 tangent 记做 即 y x tan tan 0 y x x 注意 当 是锐角时 此定义与初中定义相同 指出对边 邻边 斜边所在 当 不是锐角时 也能够找出三角函数 因为 既然有角 就必然有终边 终边就必然与单位 圆有交点 从而就必然能够最终算出三角函数值 P x y 3 思考 如果知道角终边上一点 而这个点不是终边与单位圆的交点 该如何求它的三角 函数值呢 前面我们已经知道 三角函数的值与点在终边上的位置无关 仅与角的大小有关 我P 们只需计算点到原点的距离 那么 22 rxy 22 sin y xy 22 cos x xy a的终边 P x y O x y 所以 三角函数是以为自变量 以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的tan y x 函数 又因为角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系 故三角函数也可以看成实数 为自变量的函数 4 例题讲评 例 1 求的正弦 余弦和正切值 5 3 例 2 已知角的终边过点 求角的正弦 余弦和正切值 0 3 4 P 教材给出这两个例题 主要是帮助理解任意角的三角函数定义 我也可以尝试其他方法 如例 2 设则 3 4 xy 22 3 4 5r 于是 4 sin 5 y r 3 cos 5 x r 4 tan 3 y x 5 巩固练习第 1 2 3 题 17 P 6 探究 请根据任意角的三角函数定义 将正弦 余弦和正切函数的定义域填入下表 再将这三种函数的值在各个象限的符号填入表格中 定义域 三角函数 角度制弧度制 第一象限第二象限第三象限第四象限 sin cos tan 7 例题讲评 例 3 求证 当且仅当不等式组成立时 角为第三象限角 sin0 tan 0 8 思考 根据三角函数的定义 终边相同的角的同一三角函数值有和关系 显然 终边相同的角的同一三角函数值相等 即有公式一 sin 2 sink 其中 cos 2 cosk kZ tan 2 tank 9 例题讲评 例 4 确定下列三角函数值的符号 然后用计算器验证 1 2 3 4 cos250 sin 4 tan 672 tan3 例 5 求下列三角函数值 1 2 3 sin148010 9 cos 4 11 tan 6 利用公式一 可以把求任意角的三角函数值 转化为求到 或到 角的三02 0 360 角函数值 另外可以直接利用计算器求三角函数值 但要注意角度制的问题 10 巩固练习第 4 5 6 7 题 17 P 11 学习小结 1 本章的三角函数定义与初中时的定义有何异同 2 你能准确判断三角函数值在各象限内的符号吗 3 请写出各三角函数的定义域 4 终边相同的角的同一三角函数值有什么关系 你在解题时会准确熟练应用公式一吗 五 评价设计 1 作业 习题 1 2 A 组第 1 2 题 2 比较角概念推广以后 三角函数定义的变化 思考公式一的本质是什么 要做到熟练 应用 另外 关于三角函数值在各象限的符号要熟练掌握 知道推导方法 第二课时 任意角的三角函数 二 复习回顾 1 三角函数的定义 2 三角函数在各象限角的符号 3 三角函数在轴上角的值 4 诱导公式 一 终边相同的角的同一三角函数的值相等 5 三角函数的定义域 要求 记忆 并指出 三角函数没有定义的地方一定是在轴上角 所以 凡是碰到轴上 角时 要结合定义进行分析 并要求在理解的基础上记忆 探究新知 1 引入 角是一个图形概念 也是一个数量概念 弧度数 作为角的函数 三角 函数是一个数量概念 比值 但它是否也是一个图形概念呢 换句话说 能否用几何方式 来表示三角函数呢 2 边描述边画 以坐标原点为圆心 以单位长度 1 为半径画一个圆 这个圆就叫做单 位圆 注意 这个单位长度不一定就是 1 厘米或 1 米 当角为第一象限角时 则其终边与单位圆必有一 个交点 过点作轴交轴于点 P x yPPMx x 则请你观察 M 根据三角函数的定义 sin MPy cos OMx 随着在第一象限内转动 是否也 MPOM 跟着变化 3 思考 1 为了去掉上述等式中的绝对值符号 能否给线段 规定一个MPOM O x y a角的终 边 PT MA 适当的方向 使它们的取值与点的坐标一致 P 2 你能借助单位圆 找到一条如 一样的线段来表示角的正切值吗 MPOM 我们知道 指标坐标系内点的坐标与坐标轴的方向有关 当角的终边不在坐标轴时 以为始点 为终点 规定 OM 当线段与轴同向时 的方向为正向 且有正值 当线段与轴反OMxOMxOMx 向时 的方向为负向 且有正值 其中为点的横坐标 这样 无论那种情况都有OMxxP cosOMx 同理 当角的终边不在轴上时 以为始点 为终点 规定 xMP 当线段与轴同向时 的方向为正向 且有正值 当线段与轴反向MPyMPyMPy 时 的方向为负向 且有正值 其中为点的横坐标 这样 无论那种情况都有MPyyP sinMPy 4 像这种被看作带有方向的线段 叫做有向线段 direct line segment MPOM 5 如何用有向线段来表示角的正切呢 如上图 过点作单位圆的切线 这条切线必然平行于轴 设它与的终边交于点 1 0 A 请根据正切函数的定义与相似三角形的知识 借助有向线段 我们有TOAAT tan y AT x 我们把这三条与单位圆有关的有向线段 分别叫做角的正弦线 余MPOMAT 弦线 正切线 统称为三角函数线 6 探究 1 当角的终边在第二 第三 第四象限时 你能分别作出它们的正弦 线 余弦线和正切线吗 2 当的终边与轴或轴重合时 又是怎样的情形呢 xy 7 例题讲解 例 1 已知 试比较的大小 42 tan sin cos 处理 师生