第六章第一节不等关系与不等式

一 实数大小顺序与运算性质之间的关系a b 0 a b 0 a b 0 a ba ba b 3 加法性质 a b a cb c a b c d a cb d 4 乘法性质 a b c 0 acbc a b c 0 acbc a b 0 c d 0 acbd 二 不等式的基本性质1 对称性 a b b a 2 传递性 a b b c a c 5 倒数法则 a b ab 0 ab 0 ab 同号即可 而不要求a b均大于0 6 乘方性质 a b 0 anbn n N n 1 7 开方性质 a b 0 n N n 1 1 下列不等式 m 3 m 5 5 m 3 m 5m 3m 5 m 5 m 其中正确的有 A 1个B 2个C 3个D 4个 解析 显然 正确 对 m 0时不成立 对 m 0时不成立 答案 B A 0 B C 0 D 2 设 0 0 那么2a 的取值范围是 答案 D 解析 由题设得 3 a b 2c 的一个充分非必要条件是 A a c或b cB a c或b cC a c且b cD a c且b c 解析 由不等式的基本性质知 a c且b c a b 2c 所以C是a b 2c的充分非必要条件 答案 C 4 某地规定本地最低生活保障金不低于300元 上述不等关系写成不等式为 解析 设最低生活保障金为x元 则x 300 答案 x 300 5 若f x 3x2 x 1 g x 2x2 x 1 则f x g x 的大小关系是 解析 f x g x x2 2x 2 x 1 2 1 0 f x g x 答案 f x g x 1 将实际的不等关系写成对应的不等式时 应注意实际问题中关键性的文字语言与对应的数学符号之间的正确转换 这关系到能否正确地用不等式表示出不等关系 常见的文字语言与数学符号之间的转换关系如下表 2 注意区分 不等关系 和 不等式 的异同 不等关系强调的是关系 可用 表示 不等式则是表现不等关系的式子 对于实际问题中的不等关系可以从 不超过 至少 至多 等关键词上去把握 并考虑到实际意义 某汽车公司由于发展的需要需购进一批汽车 计划使用不超过1000万元的资金购买单价分别为40万元 90万元的A型汽车和B型汽车 根据需要 A型汽车至少买5辆 B型汽车至少买6辆 写出满足上述所有不等关系的不等式 把握关键点 不超过1000万元 且A B两种车型分别至少5辆 6辆 则不等关系不难表示 要注意取值范围 解 设购买A型汽车和B型汽车分别为x辆 y辆 则 1 某矿山车队有4辆载重为10t的甲型卡车和7辆载重为6t的乙型卡车 有9名驾驶员 该车队每天至少要运360t矿石至冶炼厂 已知甲型卡车每辆每天可往返6次 乙型卡车每辆每天可往返8次 写出满足上述所有不等关系的不等式 解 设每天派出甲型卡车x辆 乙型卡车y辆 根据题意 应有如下的不等关系 1 甲型卡车和乙型卡车的总和不能超过驾驶员人数 2 车队每天至少要运360t矿石 3 甲型卡车不能超过4辆 乙型卡车不能超过7辆 用关于x y的不等式表示上述不等关系即可 在使用不等式的性质时 要先确定独立变量 再搞清它们成立的条件 1 在应用传递性时 如果两个不等式中有一个带等号而另一个不带等号 那么等号是传递不过去的 如a b b c a c 2 在乘法法则中 要特别注意 乘数c的符号 例如当c 0时 有a b ac2 bc2 若无c 0这个条件 则a b ac2 bc2就是错误结论 当c 0时 取 对于实数a b c 判断下列命题的真假 1 若a b 则ac bc 2 若a b 则ac2 bc2 3 若a b 0 则a2 ab b2 4 若a b 0 则 可利用不等式的性质判断一个命题为真命题 要说明一个命题为假 可通过举反例说明 解 1 因未知c的正负或是否为零 无法确定ac与bc的大小 所以是假命题 2 因为c2 0 所以只有c 0时才能正确 c 0时 ac2 bc2 所以是假命题 变式 若ac2 bc2 则a b 命题是真命题 3 aab ab2 命题是真命题 4 由性质定理a b 0 命题是真命题 2 若则下列不等式 a b ab a b a b 中 正确的不等式有 A 1个B 2个C 3个D 4个 解析 a 0 b 0 a b 0 ab 0 a b ab 正确 ab 0 b a 0 即b a 错误 由b a 0 知 b a 错误 b a 0 ab 0 a b 2 0 答案 B 由 0 即 2 正确 由 得 比较实数或代数式的大小的方法主要是作差法和作商法 1 作差法的一般步骤是 1 作差 2 变形 3 判断符号 4 得出结论 用作差法比较两个实数大小的关键是判断差的正负 常采用配方 因式分解 有理化等方法 常用的结论有x2 0 x2 0 x 0 x 0等 当两个式子都为正时 有时也可以先平方再作差 2 作商法的一般步骤是 1 作商 2 变形 3 判断商与1的大小 4 得出结论 注意 当商与1的大小确定后必须对商式的分母的正负做出判断方可得出结论 如 1 a 0时 b a a 0时 b a 已知a 0 b 0 试比较的大小 可利用作差法和作商法进行判断 解 即 当且仅当a b时等号成立 又 当且仅当a b时等号成立 3 比较下列各组中两个代数式的大小 1 x 3 2与 x 2 x 4 2 当x 1时 x3与x2 x 1 解 1 x 3 2 x 2 x 4 x2 6x 9 x2 6x 8 1 0 x 3 2 x 2 x 4 2 x3 x2 x 1 x3 x2 x 1 x2 x 1 x 1 x 1 x2 1 x 1 x3 x2 x 1 0 当x 1时 x3 x2 x 1 3 0 2 0 2 2 2 2 4 2 2 0 2 纵观近三年新课标区高考可以发现 由于新课程标准对不等式的性质不作要求 新课标区高考也几乎没有涉及 作差法比较两实数大小也仅是解决问题的工具 一般不单独命题 高考对本节知识的考查往往结合函数的性质 利用函数中的不等关系比较实数的大小 2009 湖南高考 如下图 当参数 1 2时 连续函数y 的图象分别对应曲线C1和C2 则 A 0 1 2B 0 2 1C 1 2 0D 2 1 0 解析 如果 0 定义域