高一数列通项公式常见求法

精品文档 1欢迎下载 数列通项公式的常见求法数列通项公式的常见求法 一 公式法一 公式法 高中重点学了等差数列和等比数列 当题中已知数列是等差或等比数列 在求其通项 公式时我们就可以直接利用等差或等比数列的公式利用等差或等比数列的公式来求通项 只需求得首项及公差公 比 1 1 等差数列公式 等差数列公式 例 1 已知等差数列 an 满足a2 0 a6 a8 10 求数列 an 的通项公式 解 I 设等差数列的公差为d 由已知条件可得 n a 解得 1 1 0 21210 ad ad 1 1 1 a d 故数列的通项公式为 n a2 n an 2 2 等比数列公式 等比数列公式 例 2 设是公比为正数的等比数列 求的通项公式 n a 1 2a 32 4aa n a 解 设 q 为等比数列的公比 则由 n a 2 132 2 4224aaaqq 得 即 解得 舍去 因此 2 20qq 21qq 或2 q 所以的通项为 n a 1 2 22 nn n anN 3 3 通用公式 通用公式 若已知数列的前项和的表达式 求数列的通项可用公式n n S n a n a 求解 一般先求出 若计算出的中当 n 1 适合时可以 2 1 1 nSS nS a nn n n 11 Sa n a 合并为一个关系式 若不适合则分段表达通项公式 例 3 已知数列的前 n 项和 求的通项公式 n a1 2 nSn n a 解 当时0 11 sa2 n 12 1 1 1 22 1 nnnssa nnn 由于不适合于此等式 1 a 2 12 1 0 nn n an 精品文档 2欢迎下载 二 二 当题中告诉了数列任何前一项和后一项的递推关系递推关系即 和的关系时 我们 n a 1 n a 可以根据具体情况采用下列方法 1 1 累加法 累加法 一般地 对于形如形如类型类型的通项公式 且 1 nfaa nn 的和比较好求 我们可以采用此方法来求 2 1 nfff n a 即 11221 nnnnn aaaaaaa 1 a 2 n 例 4 数列 n a 的首项为3 n b 为等差数列且 1 nnn baa nN 若则 3 2b 10 12b 则 8 a A 0 B 3 C 8 D 11 解 由已知知 1 28 28 nnn bnaan 由累加法 21328781 642024603aaaaaaaa 例 5 已知数列满足 求数列的通项公式 na11 2 11 2 nnaaa nn na 解 由题知 1 2 1111 1 1 nnaa nnn nnn 112211 nnnnnaaaaa a aa 1111111 121122nnnn 31 2n 2 2 累乘法 累乘法 一般地对于形如形如 已知已知 a a1 1 且 且 为可求积的数列 为可求积的数列 的形式的形式 1 nf a a n n nf 可通过累乘法求数列的通项公式 即 12 1 121 nn n nn aaa aa aaa 2 n 例 6 在数列 中 1 n 1 n 求的表达式 n a 1 a 1 n a n a n a 解 由 n 1 n 得 1 n a n a 1 1 n n a a n n 所以 1 a an 1 2 a a 2 3 a a 3 4 a a 1 n n a a nn n11 4 3 3 2 2 1 n an 1 3 3 构造法 构造法 精品文档 3欢迎下载 当数列前一项和后一项即和的递推关系较为复杂时 我们往往对原数列的递推 n a 1 n a 关系进行变形 重新构造数列 使其变为我们学过的熟悉的数列 等比数列或等差数列 具体有以下几种常见方法 1 1 待定系数法 形如 待定系数法 形如 其中其中 型型 0 1 cdcaa nn aa 1 1 若 c 1 时 数列 为等差数列 n a 2 若 d 0 时 数列 为等比数列 n a 3 若时 数列 为线性递推数列 其通项可通过待定系数法构造 01 且dcn a 辅助数列来求 待定系数法 设待定系数法 设 1 nn aca 得 与题设比较系数得 1 1 ccaa nn 1 dcaa nn 所以所以有 dc 1 0 1 c c d 1 1 1 c d ac c d a nn 因此数列构成以为首项 以 c 为公比的等比数列 1c d an 1 1 c d a 所以 即 1 1 1 1 n n c c d a c d a 1 1 1 1 c d c c d aa n n 例 7 已知数列中 求数列的通项公式 n a 11 1 21 2 nn aaan n a 解 又是首项为 2 1 21 2 nn aan 1 12 1 nn aa 1 12 1 n aa 公比为 2 的等比数列 即 12n n a 21 n n a 练习 已知数列中 求通项 答案 n a 2 1 2 1 2 11 nn aaa n a 1 2 1 1 n n a 2 2 倒数法 倒数法 精品文档 4欢迎下载 一般地形如 等形式的递推数列可以用倒数法将其 1 1 n n n a a kab nnnn aaaa 11 变形为我们熟悉的形式来求通项公式 例 8 已知数列满足 求的通项公式 na 1 1 1 1 31 n n n a aa a na 解 原式两边取倒数得 1 11 1311 3 n nnn a aaa 1 1 na n nn 11设b 则b b 3 且b 1 3 nb 1是b 为首项 公差d 2的等差数列 即1 1 332bnnn 1 32 na n 例 9 在数列 中 并且对任意都有成立 n a 3 1 1 a2 nNn nnnn aaaa 11 令 求数列 的通项公式 1 Nn a b n nn b 解 当 n 1 时 3 1 1 1 a b 当时 由 等式两边取倒数得 2 n nnnn aaaa 11 1 11 1 nn aa 所以 所以数列是首项为 3 公差为 1 的等差数列 1 1 nn bb n b 所以数列的通项公式为 n b2 nbn 3 3 对数法 对数法 当数列和an 1的递推关系涉及到高次时 形如 anp man 1q 其中 m p q n a 为常数 等 我们一般采用对数法 等式两边分别取对数 进行降次 再重新构造数列进 行求解 例 10 若数列 n a 中 1 a 3 且 2 1nn aa n 是正整数 则它的通项公式是 n a 解 由题意知 n a 0 将 2 1nn aa 两边取对数得 nn aalg2lg 1 即2 lg lg 1 n n a a 所以数列 lg n a是以 1 lga 3lg为首项 公比为 2 的等比数列 1 21 1 3lg2lglg n n n aa 即 1 2 3 n n a 精品文档 5欢迎下载 三三 阶差法 逐项相减法 阶差法 逐项相减法 1 1 递推公式中既有 递推公式中既有 又有 又有 当题中给出的是和的关系时 我们一 n S n a n S n a 般通过作差法结合这个通用公式对原等式进行变形 消掉得到和 1 nnn SSa n S n a 的递推关系 或消掉得到和的递推关系 然后重新构造数列求通项公式 1 n a n a n S 1 n S 分析 把已知关系通过转化为数列或的递推关系 然后采 1 1 1 2 n nn S n a SSn n a n S 用相应的方法求解 例 11 已知各项均为正数的数列 的前 n 项和满足 且 n a1 n S 求 的通项公式 2 1 6NnaaS nnn n a 解 由 解得a1 1 或a1 2 由假设a1 S1 1 因此 2 1 6 1 1111 aaSa a1 2 又由an 1 Sn 1 Sn 2 1 6 1 2 1 6 1 11 nnnn aaaa 得an 1 an 3 0 或an 1 an 因an 0 故an 1 an不成立 舍去 因此an 1 an 3 0 从而 an 是公差为 3 首项为 2 的等差数列 故 an 的通项为 an 3n 2 例 12 设数列 n a的前n项和为 n S 已知 1 1 a 1 42 nn Sa 设 1 2 nnn baa 证明数列 n b是等比数列 解 由 1 1 a 及 1 42 nn Sa 有 121 42 aaa 21121 325 23aabaa 由 1 42 nn Sa 则当2n 时 有 1 42 nn Sa 得 1111 44 22 2 nnnnnnn aaaaaaa 又 1 2 nnn baa 1 2 nn bb n b 是首项 1 3b 公比为 的等比数列 练习 已知数列中 且 求数列的通项公式 n a0 n a 2 1 2 1 nn aS n a 答案 12 nan 精品文档 6欢迎下载 2 2 对无穷递推数列 对无穷递推数列 逐项相减法 阶差法 逐项相减法 阶差法 有时我们从递推关系中把把 n n 换成换成 n 1n 1 有 两式相减两式相减 进 dcaa nn 1 dcaa nn 1 而求得通项公式 例 13 已知数列满足 求的 n a 11231 123 1 2 nn aaaaanan n a 通项公式 解 因为 1231 23 1 2 nn aaaanan 所以 11231 23 1 nnn aaaanana 用 式 式得 1 nnn aana 则 故 1 1 2 nn ana n 1 1 2 n n a nn a 所以 13 222 122 1 4 3 2 nn n