随机过程的自相关函数与功率谱

1 2 2随机过程的自相关函数与功率谱信号的频谱和傅立叶变换1 基本概念 1 实信号 可用时间的实函数表示的信号特点 具有有限的能量或有限的功率 2 能量信号 能量有限的信号 3 时间函数信号的分解一个时间函数信号可表示成若干个基本信号的总和或积分常用基本信号 复正弦信号 函数 sinc函数等 2 4 时间函数信号的频谱密度 傅立叶变换当用复正弦信号作为基本信号时 以时间函数表示的信号可写成 反傅立叶变换的形式 1 2 21 其中 1 2 22 称为的频谱密度或的傅立叶变换 称为的傅立叶反变换 并将这种关系记为 1 2 23 3 2 傅立叶变换的重要特性 1 线性性质若函数 所对应的傅立叶变换分别是 则下列变换对成立 1 2 24 式中为有限正整数 为常系数 2 尺度性质若 则对实常数有 1 2 25 4 3 时延性质若 则有 1 2 26 4 频移性质若 则有 1 2 27 5 时域微分与积分若 则下列各式成立 5 1 2 28 1 2 29 1 2 30 若在区间上积分为零 即信号无直流分量 则上式化简为 1 2 31 6 时间倒置若 则有 1 2 32 7 对偶性若 则有 1 2 33 6 8 时域卷积若 则有 1 2 34 9 频域卷积若 则有 1 2 35 1 或记为 1 2 35 2 10 复共轭特性若 则有 1 2 36 1 2 37 7 3 典型函数的傅立叶变换 1 单位脉冲函数 函数 定义 1 2 38 性质 傅立叶变换 1 2 39 傅立叶反变换 8 2 单位阶跃函数定义 1 2 40 傅立叶变换 1 2 41 3 指数函数 1 2 42 证明 根据频移性质和得出 9 4 正弦与余弦函数 1 2 43 类似有 1 2 44 5 振幅为A宽度为T 中心位于原点的矩形脉冲函数 1 2 45 10 相关函数和功率1 相关函数的普遍定义 应以遍历过程为条件 自相关函数 1 2 46 互相关函数 1 2 47 物理含义 两个信号之间的交迭程度 相关程度 两信号完全不交迭时积分为零 完全交迭时积分值最大 部分交迭时积分值介于零与最大值之间 11 2 相关函数的傅立叶变换互相关函数的傅立叶变换 1 2 48 如果定义 那么 1 2 49 12 巴塞瓦公式当 公式 1 2 48 2 变成 1 2 50 自相关函数的傅立叶变换及其能谱密度函数用x取代公式 1 2 49 中的下标y 得到 因此我们能表示为 其中称为的能谱密度 物理含义 能量信号的自相关函数与能量谱密度函数构成傅立叶变换对 1 2 51 1 2 52 13 3 能量型复信号和实信号的能量公式复信号的能量公式 当 依据自相关函数的定义和公式 1 2 51 我们有 1 2 53 公式 1 2 53 被称为复信号的能量公式 实信号的能量公式 当 依据自相关函数的定义和公式 1 2 51 我们有 1 2 54 14 4 功率型信号的相关函数与功率谱 1 两种类型的信号能量型信号 在整个信号存在的时间内 信号能量为有限值 但平均功率趋于零 功率型信号 在区间内信号功率有限而能量无限的信号 15 2 功率型信号的自相关函数 1 2 55 物理含义 信号的平均功率 3 功率型信号的傅立叶变换 功率谱密度 1 2 56 1 1 2 56 2 其中是信号的功率谱密度上式表明 功率型信号的自相关函数与其功率谱密度函数构成傅立叶变换对 16 4 功率型信号的平均功率让公式 1 2 56 1 得到 1 2 57 注意到 求过程中由于是能量无限的 故不可能求出确切的频谱 为此须先定义一个持续时间有限的截短函数 1 2 58 17 使得成为能量有限函数 可有确切的频谱 即有令则有 1 2 59 类比于能量型信号的关系 对功率型信号有 1 2 60 1 2 61 故有 18 5 随机过程样本函数的功率谱随机过程样本函数是功率型函数 但考虑到其频谱的随机性 在求其功率谱时还须对作统计