数理统计37842

第五章 回归分析 5 5多元线性回归中的检验与预测 5 5回归中的检验预测 1 多元线性回归的显著性检验 要检验多元线性回归模型 变量间有无线性联系 只要检验假设 若成立 则认为线性回归不显著 反之显著 下面采用方差分析法作检验 将观察值代入经验回归平面方程有 总离差平方和 见附证 剩余离差 回归离差 附证 附证 将 代入整理得 正规方程组的约束条件 它等于 5 4中的 是由试验 即 引起的误差 见教材203页 4 13 式 由分解定理 在H0成立的前提下 构造统计量并求其分布 即 正规方程组有个约束条件 由F分布的定义 给定显著性水平 当 时拒绝H0 即认为线性回归显著 反之 接受H0 即认为线性回归不显著 例1 例1 某化工产品的得率 与反应温度 1 1 1 11111 7 610 39 210 28 411 19 812 6 及某反应物浓度 反应时间 有关 试验 结果如下 的水平以编码形式表示 5 4中已求出y的线性回归方程为 1 111 1 111 11 11 11 11 检验回归的显著性 显著水平取5 计算 解 作假设 F检验的方差分析表 F检验分析表 总和 剩余 回归 查表 故拒绝H0 即认为线性回归显著 由于 回归系数检验 2 回归系数的显著性检验 若线性回归显著 则 不全为零 此时 系数为零的自变量对 因此检验某个回归系数 对假设 固定 的值不起作用 是否为零 相当于 检验相应的 对 的值是否起作用 且是 可用 作检验 是矢量 的第个分量 的线性组合 故 由 5 4知 其中 是矩阵 主对角线上第 个元素 在H0成立的前提下 即 有 给定显著性水平 当 时拒绝H0 即认为显著不为零 反之 接受H0 认为显著地等于零 故 是 的无偏估计 于是检验统计量为 例2 检验例1中线性回归的显著性 取 例2 解 5 4例1中已算出 此时 从而 由例1 作假设 拒绝域Wj 接受 拒绝 即 显著为零 显著不为零 所以前面 5 4例1配的自 变量 的经验回归平面方程是不合 适的 在回归系数显著为零的情形可以剔除 自变量 一般 对回归系数进行一次检验后 只 能剔除其中一个因子 这个因子是所有不 显著因子中F值或t值为最小的 然后重 新建立新的回归方程 再对新的回归系数 逐个进行检验 直到余下的回归系数都显 著为止 本例 只能将x2剔除 此时设 新的回归方程为 一切又重新开始 例1 例1 为研究某一化学反应过程中 温度 0C 对产品收率 的影响 测得数据如下 上节已求出经验回归直线方程 现检验线性回归是否显著 显著水平取5 解 作假设 取统计量 拒绝域W 拒绝 认为线性回归效果显著 注 当回归效果显著时 常需要对回归系 系数b作区间估计 事实上 由 1 式得到 b的置信度为 的置信区间为 如例1中回归系数b的置信区间是 推广 若检验假设 取检验统计量 当 时 拒绝 认为回归系 数与b0有显著差异 否则无显著差异 注 上面介绍的t检验与F检验等价 因为两种检验所用统计量 存在关系 略的因素 1 影响取值的除外还有其它不可忽 2 与的存在非线性关系 3 与无关 若要对以上三种情形配线性回归模型 都有 即 不回归原因 2 预测 回归方程的一个重要应用是预测 即当 预测 时 以一定的置信度对作区间估计 气象台的气温预报便是典型的预测 的值为 作为的 预测值 则两者之差仍服从正态分布 即 事实上 由 得 又 给定置信概率 由 其中 得的置信区间 式 置信区间的几何意义 几何意义 离 愈近 置信区间愈短 估计精度愈高 例2 例2 求例1中温度 0C 时产品收率 的预测区间 置信度取95 由 式得预测区间为