第05讲 应力张量

金属塑性成型原理 第三章金属塑性变形的力学基础 第一节应力分析 第二讲应力张量 主应力 应力椭球体 主应力简图 主切应力 张量的概念 张量的性质 1 张量的分量一定可以组成某些函数f Tij 这些函数的值不随坐标而变 即 2 同阶张量各对应分量之和或差为另一同阶张量 3 二阶张量T 若TT T 则称为对称张量 若TT T 则称为反对称张量 非对称张量可以化为一个对称张量和一个反对称张量之和 4 2阶对称张量存在三个主轴和三个主值 张量角标不同的分量都为零时的坐标轴方向为主轴 三个角标相同的分量为主值 主应力 1 主应力的概念 表示同一点Q的应力状态可以任选坐标轴 但其9个分量相应改变 若选一特殊方向 使坐标面 0 此平面一定存在 这是应力张量的特性 主平面 切应力为零的微分面 主应力 主平面上的正应力 主方向 主平面的法线方向 主应力方向 主应力 2 主应力的求解 旋转坐标轴 使Q点的斜面ABC正好是主平面 0 则斜面上全应力S就是正应力 S S在三轴上的投影 以l m n为未知数的齐次线性方程组 其解有二 主应力 l m n 0 不满足l2 m2 n2 1的条件 此平面不存在 齐次线性方程级有非零解的充要条件是 系数行列式 0 即 主应力 应力状态特征方程 解得三个根即主应力 1 2和 3 解得三个根即主方向l m n 主应力 主应力 主应力 3 应力不变量 对于一个确定的应力状态 只有一组 三个 主应力数值 即J1 J2 J3是不变量 不随着坐标轴的变换而发生变化 所以J1 J2 J3分别被称为应力张量的第一 第二 第三不变量 主应力 3 应力不变量 主应力 3 应力不变量 主应力 3 应力不变量 不变量一致的应力张量为同一应力状态 主应力 4 主轴坐标系统 以主方向为坐标轴的坐标系统 应力椭球体 1 应力椭球体 椭球面方程 其主半轴的长度分别为 1 2 3 称应力椭球面 它是任意斜面全应力矢量S端点的轨迹 应力椭球体 2 应力状态的分类 a 若 1 2 3 0 三向应力状态 b 若 1 2 0 3 0 二向应力状态 c 若 1 0 2 3 0 单向应力状态 应力椭球体 2 应力状态的分类 d 若 1 2 3 圆柱应力状态 包括单向应力状态 1的方向均为主方向 e 若 1 2 3 球应力 静水应力 状态 0 各方向均为主方向 主应力简图 受力物体内一点的应力状态 可用作用在应力单元体上的主应力来描述 只用主应力的个数及符号来描述一点应力状态的简图称为主应力图 一般 主应力图只表示出主应力的个数及正 负号 并不表明所作用应力的大小 主切应力 概念 主切应力平面 切应力取极值的平面 主切应力 主切应力平面上的切应力 最大切应力 主切应力中最大者 主切应力平面求解 主切应力 主切应力平面求解 将 代入上式 消去n 主切应力 主切应力 1 由上式 l m 0为其一组解 由l2 m2 n2 1 得n 1 代表一对主平面 0 正应力为 3 主切应力平面求解 主切应力 主切应力平面求解 2 若 1 2 3 则上式有无穷多解 0 球应力状态 主切应力 主切应力平面求解 3 若 1 2 3 则解得 若 2 1 3 则解得 若 3 1 2 则解得 主切应力 主切应力平面求解 a 若l 0 m 0 则由上式推得 1 2 与前提 1 2 3有矛盾 故此情况下上式无解 4 若 1 2 3 主切应力 主切应力平面求解 b 若l 0 m 0 即主切应力平面法线始终 1轴 由上式 4 若 1 2 3 主切应力 主切应力平面求解 4 若 1 2 3 c 若l 0 m 0 即主切应力平面法线始终 2轴 由上式 主切应力 主切应力平面求解 将 代入上式 消去n 结论 三对相互垂直的主切应力平面分别与一对主平面垂直 与另两对主平面成45 角 每对面上主切应力相等 主切应力 主切应力求解 主切应力 主切应力求解 同理 若 1 2 3 则 主切应力 总结 例题 每日一练 1 主应力简图是采用主应变的和描述一点的应力状态 主应变力简图有 种 1 二阶张量存在三个主轴和三个主值 2 切应力为零的微分面上的正应力为主应力 3 二阶张量存在不变量 每日一练 1 二阶对称张量具有个主轴 A 1B 2C 3D 不确定 2 二阶张量具有个不