第四章 频率特性

第四章频率特性 本章主要内容 4 I4 24 34 44 5 频率特性的基本概念频率特性图系统开环频率特性由伯德图求系统传递函数系统闭环频率特性 Part4 1频率特性的基本概念 频率特性的定义频率特性的求取频率特性的物理意义 4 1 14 1 24 1 3 定义 线性定常系统的输出量的傅氏变换与输入量的傅氏变换之比 定义为系统的频率特性 即从数学意义上 频率特性与传递函数存在下列简单的关系 4 1 1频率特性的定义 频率特性一般是复变函数 所以可以表示为指数形式或者幅角形式记 称为幅频特性 称为相频特性 频率特性也可以表示为代数形式 记 称为实频特性 称为虚频特性 显然 代数形式和指数形式 或幅角形式 存在下列关系 G 稳态输出量与输入量的变化 幅频特性 相频特性 实频特性 虚频特性 习题 P1494 2 2 4 3 1 4 1 1频率特性的定义 也可定义为 在正弦信号作用下 系统输入量的频率由0变化到 时 稳态输出量与输入量的振幅和相位差的变化规律 稳态输出量与输入量的频率相同 仅振幅和相位不同 结论 在正弦输入作用下 线性定常系统的稳态输出的正弦信号的幅值 与输入正弦信号的幅值之比 就是系统的幅频特性 稳态输出的正弦信号的相角 与正弦输入信号的相角之差 就是系统的相频特性 一般用这两种方法 4 1 2频率特性的求取 已知系统的系统方程 输入正弦函数求其稳态解 取输出稳态分量和输入正弦的复数比 根椐传递函数来求取 通过实验测得 123 频率特性与传递函数的关系 F G j G s s j 4 1 2 1传递函数求取法 4 1 3频率特性的物理意义 频率特性与传递函数的关系 G j G s s j 频率特性表征了系统或元件对不同频率正弦输入的响应特性 大于零时称为相角超前 小于零时称为相角滞后 幅值A 随着频率升高而衰减 对于低频信号 对于高频信号 频率特性反映了系统 电路 的内在性质 与外界因素无关 频率特性是传递函数的特例 是定义在复平面虚轴上的传递函数 因此频率特性与系统的微分方程 传递函数一样反映了系统的固有特性 尽管频率特性是一种稳态响应 但系统的频率特性与传递函数一样包含了系统或元部件的全部动态结构参数 因此 系统动态过程的规律性也全寓于其中 应用频率特性分析系统性能的基本思路 实际施加于控制系统的周期或非周期信号都可表示成由许多谐波分量组成的傅立叶级数或用傅立叶积分表示的连续频谱函数 因此根据控制系统对于正弦谐波函数这类典型信号的响应可以推算出它在任意周期信号或非周期信号作用下的运动情况 设f t 在 内绝对可积 则 频率特性与传递函数的关系 G j G s s j 例题 某系统传递函数为 当输入为 时 试求其稳态输出 解 习题 P1494 4 4 19 1 第四章频率特性 本章主要内容 4 I4 24 34 44 5 频率特性的基本概念频率特性图系统开环频率特性由伯德图求系统传递函数系统闭环频率特性 Part4 2频率特性图 频率特性图的定义典型环节的频率特性图Nyquist Bode 4 2 14 2 2 放大环节积分环节纯微分环节惯性环节一阶微分环节振荡环节二阶微分环节延滞环节 对数幅相频率特性 Nichols 对数频率特性 Bode 频率对数分度幅值 相角线性分度 幅相频率特性极坐标图 Nyquist 以频率为参变量表示对数幅值和相角关系 L 图 虚频图 实频图 频率线性分度幅值 相角线性分度 4 2 1频率特性图的定义 1 Nyquist图Nyquist图是在极坐标系中 以为参变量 为极径 为极角的频率特性图 也称为幅相频率特性图 或者等价地 Nyquist图是在直角坐标系中 以为参变量 为横坐标 为纵坐标的频率特性图 4 2 1 1幅相频率特性图 Nyquist图 4 2 1 1幅相频率特性图 Nyquist图 奈奎斯特图Nyquist 极坐标图 在极坐标复平面上画出 值由零变化到无穷大时的G j 矢量 把矢端绘成曲线 实虚频图 不同频率 时 实频特性和虚频特性 伯德图由两幅图组成 一幅是对数幅频特性图 横坐标是频率 但是以对数分度 纵坐标是20lg G j 幅频特性的分贝值 表明了幅频特性与频率的关系 另一幅是对数相频特性图 横坐标是频率 也是以对数分度 纵坐标是相角 G j 线性分度 表明了相频特性与频率的关系 在横坐标的对数分度中 频率 每变化十倍 横坐标的间隔距离增加一个单位长度 称为一个十倍频程 4 2 1 1对数频率特性图 Bode图 4 2 1 1对数频率特性图 Bode图 频率比 dec oct 幅值相乘变为相加 简化作图 拓宽图形所能表示的频率范围 波德图 Bode 对数幅频 对数相频 dB 0不可能在横坐标上表示出来 横坐标上表示的最低频率由所感兴趣的频率范围确定 只标注 的自然对数值 通常用L 简记对数幅频特性 也称L 为增益 用 简记对数相频特性 AboutBode图 Part4 2频率特性图 频率特性图的定义典型环节的频率特性图Nyquist Bode 4 2 14 2 2 放大环节积分环节纯微分环节惯性环节一阶微分环节振荡环节二阶微分环节延滞环节 放大环节幅相频率特性 放大环节对数频率特性 K 1时 分贝数为正 K 1时 分贝数为负 幅频曲线升高或降低相频曲线不变 改变K Part4 2频率特性图 频率特性图的定义典型环节的频率特性图Nyquist Bode 4 2 14 2 2 放大环节积分环节纯微分环节惯性环节一阶微分环节振荡环节二阶微分环节延滞环节 积分环节幅相频率特性 积分环节对数频率特性 Part4 2频率特性图 频率特性图的定义典型环节的频率特性图Nyquist Bode 4 2 14 2 2 放大环节积分环节纯微分环节惯性环节一阶微分环节振荡环节二阶微分环节延滞环节 纯微分环节幅相频率特性 纯微分环节对数频率特性 Part4 2频率特性图 频率特性图的定义典型环节的频率特性图Nyquist Bode 4 2 14 2 2 放大环节积分环节纯微分环节惯性环节一阶微分环节振荡环节二阶微分环节延滞环节 惯性环节幅相频率特性 惯性环节对数频率特性 转角频率 低频段近似为0dB的水平线 称为低频渐近线 高频段近似为斜率为 20dB dec的直线 称为高频渐近线 低通滤波特性 Part4 2频率特性图 频率特性图的定义典型环节的频率特性图Nyquist Bode 4 2 14 2 2 放大环节积分环节纯微分环节惯性环节一阶微分环节振荡环节二阶微分环节延滞环节 一阶微分环节幅相频率特性 一阶微分环节对数频率特性 高频放大 抑制噪声能力的下降 惯性环节 一阶微分 频率特性互为倒数时 对数幅频特性曲线关于零分贝线对称 相频特性曲线关于零度线对称 Part4 2频率特性图 频率特性图的定义典型环节的频率特性图Nyquist Bode 4 2 14 2 2 放大环节积分环节纯微分环节惯性环节一阶微分环节振荡环节二阶微分环节延滞环节 振荡环节幅相频率特性 振荡环节对数频率特性 不考虑 低频渐近线为0dB的水平线 高频渐近线斜率为 40dB dec 转折频率 振荡环节的幅频特性和相频特性均与阻尼比 有关 不同阻尼比的频率特性曲线如图所示 同时 当阻尼比较小时 会产生谐振 谐振峰值和谐振频率由幅频特性的极值方程解出 当 较小时 在 n附近 A 出现峰值 即发生谐振 谐振峰值Mr对应的频率为谐振频率 r 其中称为振荡环节的无阻尼自然振荡频率 它是振荡环节频率特性曲线与虚轴的交点处的频率 将代入得到谐振峰值为将代入得到谐振相移 r为 振荡环节的幅值特性曲线如图所示 在的范围内 随着 的增加 缓慢增大 当时 达到最大值 当时 迅速减小 时的频率称为截止频率 频率大于后 输出幅值衰减很快 当阻尼比时 此时振荡环节可等效成两个不同时间常数的惯性环节的串联 即 T1 T2为一大一小两个不同的时间常数 小时间常数对应大的负实极点 离虚轴较远 对瞬态响应的影响较小 振荡环节为一相位滞后环节 最大滞后相角是1800 推广 当振荡环节传递函数的分子是常数K时 即 其对应频率特性的起点为 Part4 2频率特性图 频率特性图的定义典型环节的频率特性图Nyquist Bode 4 2 14 2 2 放大环节积分环节纯微分环节惯性环节一阶微分环节振荡环节二阶微分环节延滞环节 n个积分 微分环节串联 二阶微分环节幅相频率特性 二阶微分环节对数频率特性 二阶微分环节与振荡环节的频率特性互为倒数二阶微分环节与振荡环节的对数幅频特性曲线关于0dB线对称相频特性曲线关于零度线对称 Part4 2频率特性图 频率特性图的定义典型环节的频率特性图Nyquist Bode 4 2 14 2 2 放大环节积分环节纯微分环节惯性环节一阶微分环节振荡环节二阶微分环节延滞环节 延滞环节幅相频率特性 延滞环节对数频率特性 延滞环节与惯性环节 不同 近似 第四章频率特性 本章主要内容 4 I4 24 34 44 5 频率特性的基本概念频率特性图系统开环频率特性由伯德图求系统传递函数系统闭环频率特性 Part4 3系统开环频率特性 系统开环Nyquist图 系统开环Bode图 系统开环Nyquist图及绘制 Nyquist图的一般形状 增加零极点 增加非零极点 系统开环Bode图 系统开环Bode图的绘制 系统开环Nyquist图 将开环传递函数表示成若干典型环节的串联形式 幅频特性 组成系统的各典型环节的幅频特性之乘积 相频特性 组成系统的各典型环节的相频特性之代数和 求A 0 0 A 补充必要的特征点 如与坐标轴的交点 根据A 的变化趋势 画出Nyquist图的大致形状 绘制 例已知系统的开环传递函数为它由一个放大环节和两个惯性环节串联而成 其对应的频率特性是幅频特性和相频特性分别为 当时 当时 当时 当 由零增至无穷大时 幅值由K衰减至零 相角00变至 1800 且均为负相角 频率特性与负虚轴的交点频率为 交点坐标是 其极坐标图如图所示 已知系统的开环传递函数 试绘制系统的开环Nyquist图 已知系统的开环传递函数 绘制系统开环Nyquist图并求与实轴的交点 Nyquist图与实轴相交时 已知系统的开环传递函数 绘制系统的开环Nyquist图 习题 P1524 15 1 若系统的开环传递函数有个积分环节 则称为型系统 系统型别 0型系统 v 0 只包含惯性环节的0型系统Nyquist图 I型系统 v 1 只包含惯性环节的I型系统Nyquist图 II型系统 v 2 只包含惯性环节的II型系统Nyquist图 开环含有v个积分环节系统 Nyquist曲线起自幅角为 v90 的无穷远处 增加零极点 0 增加 90 增加 90 增加零极点 0 增加 90 增加 90 增加非零极点 增加 90 增加非零极点 90 增加非零极点 90 n m时 Nyquist曲线终点幅值为0 而相角为 n m 90 总结 1 传递函数每增加一个非零极点 当 时 将使极坐标图的相角多转 90度 2 传递函数每增加一个零极点 则在频率为0和 时 极坐标图的相角都多转 90度 3 传递函数中每增加一个零点 使极坐标图的相角在高频部分反转90度 Part4 3系统开环频率特性 系统开环Nyquist图 系统开环Bode图 系统开环Nyquist图及绘制 Nyquist图的一般形状 增加零极点 增加非零极点 系统开环Bode图 系统开环Bode图的绘制 将开环传递函数表示成若干典型环节的串联形式 幅频特性 组成系统的各典型环节的对数幅频特性之代数和 相频特性 组成系统的各典型环节的相频特性之代数和 系统开环Bode图 若系统的开环传递函数有个积分环节 则称为型系统 型系统的对数幅频特性的低频段近似为对于0型系统 作一条高度为20lgK 斜率为的0db dec的直线 水平线 对于1型系统 过 1 L 1 20lgK这一点 作一条斜率为 20db dec的直线 对于2型系统 过 1 L 1 20lgK这一点 作一条斜率为 40db dec的直线 例1已知系统的开环传递函数为求伯德图解 a 对数幅频特性由开环传递函数知 对数幅频特性的渐近线有两个交接频率和 且 将它们在 轴上标出 在纵坐标上找到20lgK的点A 过A点作平行于横轴的直线AB 这条平行线对应放大环节的幅频特性 在交接频率处作 轴的垂线 虚线 交平行线AB于B点 以B为起点作斜率为 20dB dec的斜线BC C点对应交接频率 折线ABC对应放大环节K和惯性环节的叠加 以C为起点 作斜率为 40dB dec的斜线CD 折线ABCD即为系统开环对数幅频特性的渐近线 b 对数相频特性在上图分别画出三个环节的相频特性曲 图中 1 放大环节 2 惯性环节1和 3 惯性环节2 然后将它们在纵轴方向上相加得到系统开环相频特性曲线 4 Bode图特点 最低频段的斜率取决于积分环节的数目v 斜率为 20vdB dec 注意到最低频段的对数幅频特性可近似为L 20lgK 20vlg 当 1rad s时 L 20lgK 如果各环节的对数幅频特性用渐近线表示则对数幅频特性为一系列折线 折线的转折点为各环节的转折频率 对数幅频特性的渐近线每经过一个转折点其斜率相应发生变化 斜率变化量由当前转折频率对应的环节决定 对惯性环节 20dB dec 振荡环节 40dB dec 一阶微分环节 20dB dec 二阶微分环节 40dB dec 单回路开环系统Bode图的绘制 将开环传递函数表示为典型环节的串联 确定各环节的转折频率并由小到大标示在对数频率轴上 计算20lgK 在 1rad s处找到纵坐标等于20lgK的点 过该点作斜率等于 20vdB dec的直线 向左延长此线至所有环节的转折频率之左 得到最低频段的渐近线 向右延长最低频段渐近线 每遇到一个转折频率改变一次渐近线斜率 对惯性环节 20dB dec振荡环节 40dB dec一阶微分环节 20dB dec二阶微分环节 40dB dec 对渐近线进行修正以获得准确的幅频特性 相频特性曲线由各环节的相频特性相加获得 例2试绘制传递函数为式 1 式 2 的对数幅频特性 解 由前面介绍的积分环节的对数幅频特性知 当有n个积分环节串联时 对数幅频特性应是一条过横轴上 1且斜率为 n 20dB dec的直线 题中所求分别含有一个和两个积分环节 串联 当不考虑KV和Ka的影响时 它们的对数幅频特性应是过 1且斜率分别为 20dB dec和 40dB dec的直线 如图中虚线所示 考虑到KV和Ka的作用 上述两条直线应分别在纵轴方向上平移20lgKv和20lgKa分贝 如图中实线所示 即 1所对应的坐标值应分别为20lgKv和20lgKa分贝 设对数幅频特性与零分贝线 横轴 的交点频率值分别为 v和 a 则有由上面两式分别得到通过上面的分析 在绘制对数幅频特性时 可用下述两种方法之一进行 方法一 对于式 1 先过横轴上 1点作横轴的垂直线 过纵轴上20lgKv点作横轴的平行线 这两条直线交于A点 然后过A点作斜率为 20dB dec的直线即为所求的对数幅频特性 对于式 2 过横轴上 1点作横轴的垂线过纵轴上20lgKa点作横轴的平行线 这两条直线交于A点 然后过A点作斜率为 40dB dec的直线即为所求的对数幅频特性 方法二 对于式 1 先在横轴上找到频率为 V点 过该点作斜率为 20dB dec的直线即为所求的对数幅频特性 对于式 2 在横轴上找到频率为 a的点 过该点作斜率为 40dB dec的直线即为所求的对数幅频特性 反之 通过对数幅频特性 也可以用上述两种方法的逆过程 求出式 1 和式 2 中的开环放大系数Kv和Ka 对于含有一个或两个积分环节的系统 含有两个以上积分环节的实际系统很少见 由于频率特性的低频段形状主要由积分环节决定 因此 在绘制其对数幅频特性或通过对数幅频特性求系统的开环放大系数时 可用上述两种方法中的一个进行 试绘制该系统开环频率特性的极坐标图和伯德图 解 系统的开环传递函数可写成它由一个放大环节 一个积分环节和一个振荡环节串联组成 对应的频率特性表达式为 例3已知系统的开环传递函数为 1 极坐标图 当时 当时 当时 由于系统含有一积分环节 当 0时 系统的开环幅频特性 G j H j 为使频率特性曲线比较精确 还须求出它的渐近线 由系统的开环频率特性可得 当 0时有limG j H j 2 KvT j 0即渐近线是一条与实轴交点为 2 KvT且垂直于实轴的直线 绘制出该系统在不同阻尼比的渐近线 虚线 及对应开环频率特性的极坐标图 2 伯德图 a 对数幅频特性由开环频率特性表达式知 对数幅频特性的渐近线有一个交接频率 对应振荡环节 将它在图的横轴上标出 该系统还含有一个积分环节和放大环节 对数幅频特性的低频段主要由积分环节和放大环节决定 当交接频率时 对数幅频特性如图1所示 斜率为 20dB dec的折线段在频率为处穿过零分贝线直到振荡环节的交接频率处转折为斜率为 60dB dec的线段 当交接频率为时 对数幅频特性如图2所示 1 2 3 斜率为 20dB dec的折线段的延长线 图中虚线 与横轴交点频率应为 v 从交接频率开始 对数频特性转折成斜率为 60dB dec的直线 b 对数相频特性在图1上分别画出积分环节的相频特性 1 和振荡环节相频特性 2 然后将它们在纵轴方向上相加便得到系统开环相频特性曲线 3 图2例3对数幅频特性 例4已知系统的开环传递函数为试绘制该系统开环频率特性的极坐标图和伯德图 解该系统开环传递函数可写成 1 它由一个放大环节 一个比例微分环节和一个惯性环节串联组成 其对应的频率特性表达式为 2 幅频特性和相频特性分别是 3 4 1 极坐标图根据幅频特性和相频特性可得到当和时的极限值分别为 5 6 当时 当时 当时 即当惯性环节时间常数T大于比例微分环节的微分时间常数时 随着频率增加 幅值衰减 相角滞后 系统具有低通性质 反之 当时 随着频率增加 幅值加大 相角趋前 系统具有高通性质 图1例4极坐标图 而当时 比例微分环节与惯性环节作用相互抵消 系统只起放大作用 三种情况的极坐标图如图1所示 伯德图由式 2 知 系统开环对数幅频特性渐近线有两个交接频率和 图2 a b c 分别绘制了当和三种情况下的伯德图 由式 2 知 系统开环对数幅频特性渐近线有两个交接频率和 图2 a b c 分别绘制了当和三种情况下的伯德图 图2例4Bode图 习题 P1494 8 1 2 例5已知系统的开环传递函数如下 试绘制系统开环频率特性的极坐标图和伯德图 解 该系统的开环频率特性表达式为它是由比例 积分 惯性和滞后环节串联组成 如果滞后时间常数很小而可以忽略不计时 系统的开环幅频和相频特性为对应的极坐标图和伯德图分别如图1和2所示 当滞后环节时间常数较大而不能忽略时 系统的开环幅频特性由于不受影响 但相频特性须加一滞后相角 57 3度 即对应的极坐标图和伯德图分别如图3和4所示 比较图1与3和图2与4 我们会发现由于滞后环节的影响 频率特性的极坐标图对数相频特性曲线形状发生了很显著的变化 它对系统的性能 特别是系统的稳定性将产生很大的影响 有关判别系统稳定性的奈奎斯特判据将在下节介绍 这里不再赘述 第四章频率特性 本章主要内容 4 I4 24 34 44 5 频率特性的基本概念频率特性图系统开环频率特性由伯德图求系统传递函数系统闭环频率特性 因此 对于最小相位系统 可以根据系统的对数幅频特性写出系统的传递函数