人教版八年级下册四边形解题技巧

1 四边形解题技巧四边形解题技巧 一 平行四边形应用举例一 平行四边形应用举例 平行四边形具有对边平行且相等 对角相等 对角线互相平分等性质 它们在计算 平行四边形具有对边平行且相等 对角相等 对角线互相平分等性质 它们在计算 证明中都有广泛的应用 现举例说明 证明中都有广泛的应用 现举例说明 1 1 求角的度数 求角的度数 例例 1 如图 如图 ABCD 中 中 AD 2AB 点 点 E A B F 在一条直线上 且在一条直线上 且 EA AB BF 求求 DOC 的度数 的度数 例例 2 如图 若如图 若ABCD 与与EBCF 关于关于 BC 所在直线对称 所在直线对称 ABE 90 则 则 F 2 2 求线段的长 求线段的长 例例 3 如图 在四边形如图 在四边形 ABCD 中 中 AB 6 BC 8 A 120 B 60 BCD 150 求 求 AD 的长 的长 例例 4 如图 在如图 在DABCD 中 中 AD 5 AB 3 AE 平分平分 BAD 交交 BC 边于点边于点 E 则线段 则线段 BE EC 的长度分别为的长度分别为 A 2 和和 3 B 3 和和 2 C 4 和和 1 D 1 和和 4 2 3 3 求周长 求周长 例例 5 如图 在如图 在ABCD 中 中 AE BC 于于 E AF CD 于于 F EAF 45 且 且 AE AF 求 求ABCD 的周长 的周长 22 4 4 求第三边的取值范围 求第三边的取值范围 例例 6 如图 在如图 在ABCD 中 对角线中 对角线 AC 和和 BD 相交于点相交于点 0 如果 如果 AC 12 BD 10 AB m 那么 那么 m 的取值范围是的取值范围是 A 10 m 12 B 2 m 22 C l m ll D 5 m 6 5 5 综合计算题 综合计算题 例例 7 如图如图 ABCD 的周长为的周长为 BC 的长为的长为 AE BC 于于 E AF DC 垂 垂26310 35 足为足为 DC 延长线上的点延长线上的点 F AE 3 求 求 1 D 的度数 的度数 2 AF 的长 的长 3 6 6 探索题 探索题 例例 8 如图 四边形如图 四边形 ABCD 是平行四边形 是平行四边形 BCD 的平分线的平分线 CF 交边交边 AB 于点于点 F ADC 的平分线的平分线 DG 交边交边 AB 于点于点 G 且 且 DG 与与 CF 交于点交于点 E 请你在已知条件的基础上再添加一 请你在已知条件的基础上再添加一 个条件 使得个条件 使得 EFG 为等腰直角三角形 并说明理由 为等腰直角三角形 并说明理由 二 添作中位线 妙证几何题二 添作中位线 妙证几何题 三角形中位线定理 三角形的中位线平行于第三边 并且等于它的一半 这是三角形三角形中位线定理 三角形的中位线平行于第三边 并且等于它的一半 这是三角形 的一条很重要的性质 它包含了位置与数量两种关系 在题中 若有线段的中点 可过中的一条很重要的性质 它包含了位置与数量两种关系 在题中 若有线段的中点 可过中 点作第三边的平行线或取另一边中点构造中位线 运用中位线定理 实现线段或角的转移 点作第三边的平行线或取另一边中点构造中位线 运用中位线定理 实现线段或角的转移 从而迅速找到解题突破口 往往会使得某些看似无法解决的几何题化难为易 迎刃而解 从而迅速找到解题突破口 往往会使得某些看似无法解决的几何题化难为易 迎刃而解 例例 9 如图 在如图 在 ABC 中 中 ABAC AB 在图 在图 中画出中画出 ABC 的所有的所有 友好矩形友好矩形 指出其中周长最小的矩形并加以说明 指出其中周长最小的矩形并加以说明 图图 图图 图图 8 七 七 FaceFace toto FaceFace 中点四边形中点四边形 顺次连结四边形四条边的中点所得的四边形叫中点四边形 这个中点四边形有许多重顺次连结四边形四条边的中点所得的四边形叫中点四边形 这个中点四边形有许多重 要性质 在中考试题中也屡见不鲜 中点四边形的四个结论如下 要性质 在中考试题中也屡见不鲜 中点四边形的四个结论如下 1 1 任意四边形的中点四边形是平行四边形 任意四边形的中点四边形是平行四边形 已知 如图 四边形已知 如图 四边形 ABCD 中 中 E F G H 分别是分别是 AB BC CD DA 的中点 求的中点 求 证 四边形证 四边形 EFGH 是平行四边形 是平行四边形 2 2 对角线相等的四边形的中点四边形是菱形 对角线相等的四边形的中点四边形是菱形 已知 如图 四边形已知 如图 四边形 ABCD 中 中 E F G H 分别是分别是 AB BC CD DA 的中点 的中点 AC BD 求证 四边形求证 四边形 EFGH 是菱形 是菱形 3 3 对角线垂直的四边形的中点四边形是矩形 对角线垂直的四边形的中点四边形是矩形 已知 如图 四边形已知 如图 四边形 ABCD 中 中 E F G H 分别是分别是 AB BC CD DA 的中点 的中点 AC BD 求证 四边形求证 四边形 EFGH 是矩形 是矩形 9 4 4 对角线相等且垂直的四边形的中点四边形是正方形 对角线相等且垂直的四边形的中点四边形是正方形 因为四边形的两条对角线垂直 所以这个四边形的中点四边形是矩形 又因为这个四因为四边形的两条对角线垂直 所以这个四边形的中点四边形是矩形 又因为这个四 边形的 两条对角线相等 所以这个四边形的中点四边形是菱形 既是矩形又是菱形的图边形的 两条对角线相等 所以这个四边形的中点四边形是菱形 既是矩形又是菱形的图 形就是正方形 形就是正方形 中点四边形的这四个结论应结合以下特例灵活掌握 菱形的中点四边形为矩形 矩形中点四边形的这四个结论应结合以下特例灵活掌握 菱形的中点四边形为矩形 矩形 的中点四边形为菱形 正方形的中点四边形为正方形 的中点四边形为菱形 正方形的中点四边形为正方形 例例 20 顺次连结等腰梯形四边中点得到一个四边形 再顺次连结所得四边形四边中点得到顺次连结等腰梯形四边中点得到一个四边形 再顺次连结所得四边形四边中点得到 的图形是的图形是 A 等腰梯形等腰梯形 B 直角梯形 直角梯形 C 菱形 菱形 D 矩形 矩形 例例 21 如图 在等腰梯形如图 在等腰梯形 ABCD 中 中 AD BC AD 3 BC 5 AC BD 相交于相交于 0 点 且点 且 BOC 60 顺次连结等腰梯形各边中点所得四边形的周长是 顺次连结等腰梯形各边中点所得四边形的周长是 A 24 B 20 C 16 D 12 八 八 智力魔方智力魔方 一七巧板一七巧板 七巧板是由正方形按如图所示的方法制作成的 沿实线剪开 七巧板是由正方形按如图所示的方法制作成的 沿实线剪开 其中有 其中有 五块都是等腰直角三角形 一块正方形 一块平行四边形 七巧板是一种五块都是等腰直角三角形 一块正方形 一块平行四边形 七巧板是一种 数学玩具 有很强的益智性与趣味性 深受人们的喜爱 在近几年的中考数学玩具 有很强的益智性与趣味性 深受人们的喜爱 在近几年的中考 试题中 就出现了一些与七巧板有关的拼图和计算题 值得关注 试题中 就出现了一些与七巧板有关的拼图和计算题 值得关注 例例 22 七巧板是我们祖先创造的一种智力玩具 它来源于勾股法 如图七巧板是我们祖先创造的一种智力玩具 它来源于勾股法 如图 1 整幅七巧 整幅七巧 板是由正方形板是由正方形 ABCD 分割成七小块 其中 五块等腰直角三角形 一块正方形和一块平行分割成七小块 其中 五块等腰直角三角形 一块正方形和一块平行 四边形 组成 如图四边形 组成 如图 2 是由七巧板拼成的一个梯形 若正方形 是由七巧板拼成的一个梯形 若正方形 ABCD 的边长为的边长为 12 cm 则梯形则梯形 MNGH 的周长是的周长是 cm 结果保留根号 结果保留根号 10 例例 23 用边长为用边长为 1 的正方形纸板制成一副七巧板的正方形纸板制成一副七巧板 如图如图 1 将它拼成 将它拼成 小天鹅小天鹅 图案图案 如如 图图 2 其中阴影部分的面积为 其中阴影部分的面积为 A B C D 8 3 16 7 2 1 4 3 九 四边形九 四边形 联姻联姻 直角坐标系直角坐标系 中考中常把四边形与平面直角坐标系结合起来考查 这类题目有利于同学们把中考中常把四边形与平面直角坐标系结合起来考查 这类题目有利于同学们把 数数 与与 形形 联系起来思考 提高同学们综合运用知识的能力 联系起来思考 提高同学们综合运用知识的能力 例例 24 一张矩形纸片一张矩形纸片 OABC 平放在平面直角坐标系内 平放在平面直角坐标系内 0 为原点 点为原点 点 A 在在 x 轴的正半轴的正半 轴上 点轴上 点 C 在在 y 轴的正半轴上 轴的正半轴上 OA 5 OC 4 如图 将纸片沿 如图 将纸片沿 CE 对折 点对折 点 B 落在落在 x 轴轴 上的点上的点 D 处 求点处 求点 D 的坐标 的坐标 例例 25 如图 四边形如图 四边形 ABCD 是平行四边形 点是平行四边形 点 A B D 的坐标分别是的坐标分别是 O O 5 O 和和 2 3 求 求 1 顶点顶点 C 的坐标 的坐标 2 对角线对角线 AC BD 的交点的交点 E 的坐标 的坐标 11 例例 26 已知菱形已知菱形 ABCD 的边长为的边长为 5 BAD 是锐角 把它放在平面直角坐标系之中 是锐角 把它放在平面直角坐标系之中 并且使并且使 AD 边在边在 y 轴上 点轴上 点 A 在点在点 D 的下方 这时点的下方 这时点 C 的坐标为的坐标为 4 10 1 求出顶点求出顶点 A 的坐标 的坐标 2 画出符合题意的图形 画出符合题意的图形 例例 27 一个正方形的两个顶点一个正方形的两个顶点 O 和和 A 的坐标分别是的坐标分别是 O 0 和和 4 O 请写出另外两个 请写出另外两个 顶点的坐标 顶点的坐标 十 十 天堑天堑 变变 通途通途 梯形是不同于平行四边形的一类特殊四边形 解决梯形问题的基本思路是通过添加辅梯形是不同于平行四边形的一类特殊四边形 解决梯形问题的基本思路是通过添加辅 助线 对梯形进行割补 拼接 使助线 对梯形进行割补 拼接 使 天堑天堑 变变 通途通途 从而转化为三角形 平行四边形问 从而转化为三角形 平行四边形问 题 使看似不可能的问题得到解决 一般而言 梯形中常用的辅助线主要有以下几种 题 使看似不可能的问题得到解决 一般而言 梯形中常用的辅助线主要有以下几种 1 1 平移一腰 平移一腰 过梯形的一个顶点作一腰的平行线 将梯形转化为平行四边形和三角形 从而利用平过梯形的一个顶点作一腰的平行线 将梯形转化为平行四边形和三角形 从而利用平 行四边形的性质 将分散的条件集中到三角形中去 使问题顺利得解行四边形的性质 将分散的条件集中到三角形中去 使问题顺利得解 例例 28 如图 梯形如图 梯形 ABCD 中中 AD BC AD 2 cm BC 7 cm AB 4 cm 求 求 CD 的取值范的取值范 围 围 规律总结 通过作腰的平行线 构造平行四边形 三角形 从而把分散的条件集中到规律总结 通过作腰的平行线 构造平行四边形 三角形 从而把分散的条件集中到 12 一个三角形中去 从而为解题创造必要条件 这种方法很重要 需切实掌握 一个三角形中去 从而为解题创造必要条件 这种方法很重要 需切实掌握 2 2 延长两腰交于一点 延长两腰交于一点 将梯形的两腰延长 使之交于一点 把梯形转化为大 小两个三角形 从而利用特殊将梯形的两腰延长 使之交于一点 把梯形转化为大 小两个三角形 从而利用特殊 三角形的有关性质解决梯形问题 三角形的有关性质解决梯形问题 例例 29 如图 梯形如图 梯形 ABCD 中 中 AD BC B C 试说明梯形 试说明梯形 ABCD 是等腰梯形 是等腰梯形 规律总结 延长两腰交于一点 可把梯形问题转化为三角形问题解决 规律总结 延长两腰交于一点 可把梯形问题转化为三角形问题解决 3 3 平移一条对角线 平移一条对角线 从梯形一底的一个顶点向梯形外作对角线的平行线 与另一底的延长线相交 构成平从梯形一底的一个顶点向梯形外作对角线的平行线 与另一底的延长线相交 构成平 行四边形和特殊三角形 直角三角形 等腰三角形等 行四边形和特殊三角形 直角三角形 等腰三角形等 例例 30 2007 天津天津 在梯形在梯形 ABCD 中 中 AD BC 对角线 对角线 AC BD 且