梯形练习题总复习题辅助线的连接方式

初二几何第四章 第三单元 梯形一、教法建议【抛砖引玉】 本单元的内容分为：梯形、平行线等分线段的定理、三角形、梯形的中位线。梯形是与平行四边形并列的另一种特殊四边形，它有一组对边平行，而另一组对边不平行。除研究一般梯形外，重点研究一种特殊梯形等腰梯形。在介绍了平行四边形和梯形的基础上，介绍平行线等分线段定理，进一步应用这个定理的推论，证明三角形，梯形的中位线定理。 本单元的重点是平行线等分线段定理，因为它不仅是推证三角形，梯形中位线定理的基础，而且是第五章中“平行线分线段成比例定理”的基础，要使学生掌握这个定理，并且认识它的变式。 在研究梯形时，对常用辅助线的添设，平移法，作等高线要熟练掌握，以便把梯形问题转化为三角形或平行四边形去解决。转化法孕育在教学的各部分，让学生领会化未知为已知，用已知求未知的思想方法，从而提高学生分析问题和解决问题的能力。【指点迷津】 本单元中应用辅助线比较多，辅助线添设的恰当与否，将以梯形问题转化为三角形问题及平行四边形问题起着关键性的一步，为此，对梯形有关定理一定要熟练掌握，添设辅助线的常用方法及基本图形要熟记，如下图：【精典题解】 课本193页第20题，是这样叙述的： 从ABCD的顶点A、B、C、D向形外的任意直线MN引垂线AA、BB、CC、DD，垂足分别为A、B、C、D。（如图1） 求证：AA+CC=BB+DD 现在把原题做些变化，直线MN是“形外的任意直线”，如果把直线位移将有什么结果。从图1，将MN向上平移，使A点在MN的一侧，B、C、D在MN的另一侧，（如图2）这时AA、BB、CC、DD之间存在着什么关系？从图2，将MN继续向上平移（如图3），AA、BB、CC、DD之间存在着什么关系？ 根据图2、图3，写出你的猜想，并加以证明。 揭示思路1：通过实际测量，发现垂线段之间关系。 试题中问我们，“垂线段AA、BB、CC、DD之间存在什么关系？”显然告知我们要求它们之长的长度和、差关系。怎样知道几条垂线段的长度呢？实际精确测量是解决线段长度的一种基本方法，（人教版几何第一册，物理第一册都介绍了具体测量方法），在学习几何过程中，为了发现问题，如果图形画的十分准确，也可以采用测量的方法去探求思路，测量后还要加以证明。根据图2，图3分别测量，测量结果如下： 图乙各垂线段长度： AA=0.6cm，BB=0.4cm，CC=2.2cm，DD=1.2cm。 图丙各垂线段长度： AA=1.4cm，BB=0.5cm，CC=1.3cm，DD=0.4cm。 根据实际测量数据，发现它们的关系是： 对图乙可有结论：CCAA=BB+DD=1.6cm。 对图丙可有结论：AACC=DDBB=0.1cm。 通过测量发现了所求线段之间的关系，现在来证明这个结论：本例由课本上一个熟悉的问题通过运动将定直线MN变为动直线MN，向上进行平移，变成一个新题目，成为陌生问题。要证明这一结论，我们可这样联想，既然直线MN可向上平移，我们不也可以将直线MN向下平移吗？恢复本来面目，把陌生问题再转化为熟悉问题。证明新的结论，AACC=BBDD证明：对于图形乙的结论，CCAA=BB+DD进行证明，平行移动MN到MN位置，使MN在ABCD的形外，设AA，BB，CC，DD分别交MN于A，B，CC，D。AA，BB，CC，DD分别垂直于MN于A、B、C、D。AA，BB，CC，DD分别垂直于MN于A，B，C，D，且AA=BB=CC=DD，由课本证明结论有：AA+CC=BB+DD。即(AAAA)+(CC+CC)=(BB+BB)+(DD+DD)CCAA=DD+BB图形乙的结论得证。对于图丙的情况的证明，仿照的作法将直线MN平移到ABCD的形外，类似图乙的证法可以得AACC=BBDD。 揭示思路2：构造全等形，研究线段之间的关系。 研究线段之间的关系，通常都是设法构造全等三角形，可找到思路：如图，作BQCC，Q为垂足，则BBCQ为矩形，BB=CQ，CQB=90作APDD，P为垂足，则AADP为矩形，AA=PD，APD=90，CQB=APD。ABCD为平行四边形，ADBCDDMN，CCMN，DDCCADP=BCQDADPDBCQ，DP=CQ即DD+DP=CCQCAA=DP，QC=BBDD+AA=CCBBCCAA=BB+DD如图，同理可证：AACC=BBDD 对本例亦采取如下构造全等三角形的方法进行证明： 如上两图，仿揭示思路1可证得 DAPBDCQD，进而可得：CCAA=BB+DD，AACC=BBDD 揭示思路3：应用梯形中位线性法打开思路。 观察图形乙可发现梯形CCDD，图形丙有梯形AABD，CCDD，由此可联想梯形中位线的性质，它是打开梯形问题思路的常规方法，进行探索，果然凑效。连结AC，BD相交于点O，过O点作OOMN，垂足为ODDMN，BBMN，OOMN，O是BD中点，DDBB是梯形，且OO是中线，OO=(BB+DD)连结AA，AC，延长OO与AC于点F，延长OO交AC于点E，AAMN，CCMN，AACC是梯形，又是AC的中点，OOMNEF是梯形AACC的中位线OO+OF=CC，OF=AAOO=(CCAA)由、可知：CCAA=BB+DD对于AA，CC这两条垂线段，在直线MN的两侧，由的证明可知：OO=(CCAA)。 对于BB，DD两条垂线段放在直线MN的两则，同理：OO=(DDBB)。 AACC=BBDD 从本例揭示思路可启示我们，平移法在几何变换中的重要作用，通过平移变换，可化陌生问题为熟悉问题，用已熟悉的方法，解决新问题，对平移法在几何变换中，还可变分散为集中，变隐为明，化难为易，其功效之大，应引起学生重视，尤其研究直线型问题，要经济想到它。 对于研究线段之间的关系，常规思路是构造全等三角形，将四边形问题（如梯形）转化为全等三角形问题。对于遇到的新问题，优先要考虑常规方法，再考虑非常规方法，这符合扩散思维规律。 观察正确图形，准确进行测量，获得第一手材料，使可大胆猜想；一般说是可以成功。如本例，度量后发现垂线段之间关系，使我们证题有了目标。解题的突破口便易找到，进一步观察图形中有梯形模型，自然引起我们联想梯形有关性质、定理，将问题向梯形方面靠拢，转化，沿梯形方面探索，获得了成功，敏锐观察，直觉思维方法也是找到解题思路的好方法。直觉思维是人们最熟悉的一种思维方法，看得见、摸得着，一定要发挥它的长处，不断培养自己的直觉思维能力，强化自己直觉思维能力。【思维体操】 例，如图，在梯形ABCD中，腰AD=BC=4，DAB=60，AC平分DAB，求梯形ABCD的面积。 思维扩散一：求梯形面积，首先应当想到什么？看题目有没有利用公式直接求梯形面积的条件？如果没有，缺什么？怎么找？求梯形面积，首先想到利用梯形公式，S梯形=(上底+下底)高；S梯形=梯形中位线高，看本例的条件，可直线求出上、下底，现在需要作高，求高，这也是解梯形问题常用的方法。 故作CEAB于ECA平分DAB，DAB=60，ABDC（如图）CAB=CAD=ACD=30CD=AD=4，BC=CD=4B=60，ACB=90AB=2BC=24=8作CEAB，E为垂足，则BE=BC=2CE=S梯形ABCD=(AB+CD)CE =(4+8)2=12思维扩散二：本例亦可采取一分为二的办法。观察图形，可发现 S梯形ABCD=SDACD+SDABC，仿扩散一可求得：DC=4，AB=8，CE=2 进而可求：S梯形ABCD=CDCE+ABCE =42+82=12 思维扩散三：由DAB=CBA=60，可启发我们延两腰相交，构成两个等边三角形，那么S梯形ABCD=SDABESDDCE，根据等边三角形面积公式：SD正=（a代表正三角形边长）只要求得AB、CD的长便可以了，仿扩散一可求得：AB=8，CD=4，于是有 S梯形ABCD=AB2CD2 =8242=12思维扩散四：对于梯形问题，采取平行移腰，可转化为一个平行四边形与一个三角形，可开辟新的解题途径，对本例，根据题设条件，可知DADE是等边三角形，而平行四边形BCDE面积是DADE面积的2倍于是可求得：S梯形ABCD=3SDADE=342=12。 思维扩散五：如图，在梯形ABCD中，腰AD=BC=4，DAB=60，AC平分DAB，过点C作CEAD交AB于点E，求证：(1)DBCE为等边三角形；(2)四边形AECD为菱形。 揭示思路：本例根据题设条件，采取计算的方法，求出各线段之长便可达到目的，具体证法留给读者。 思维扩散六：题设同扩散五，添加延长CE交F，使EF=CE，试证四边形AFBC为矩形。 揭示思路：画图和证明请读者完成。 这道习题进行思维扩散，再现了梯形添设辅助线的规律“作等高、延两腰必相交、平移腰、平移对角线、添设中位线，割补等方法”。另外向读者再现转化的方法，通过辅助线的添设，把梯形问题转化为三角形和平行四边形问题，用旧知识解决新问题。梯形这一内容，实际上是把平行四边形、矩形、菱形、正方形为一体，对本章也是最好的小结。有了梯形中位线定理和三角形中位线定理等有关定理，为在解题中发展扩散性思维提供了条件，思路开扩了，解题就灵活得多了二、智能显示【心中有数】 梯形是四边形最后一个单元，难度大，联系知识广，对已学旧知识与未学新知识起着承前启后的作用。方程、方程组、相似形、圆、函数、正方形、平行四边形知识综合出现。涉及面之宽，向纵向联系深，这些问题，必须心中有数，对梯形有关知识的学习要加大力度，随着知识的加深，也要不断深化这方面的内容，拓宽它与其它数学分支的联系，对这部分内容才能学好，收到成效！【动脑动手】一组对边平行，另一组对边_的四边形叫做梯形；平行的两边叫做梯形的_；不平行的两边叫做梯形的_；两底的距离叫做梯形的_，一腰垂直于底的梯形叫_；一腰垂直于底的梯形叫_；两腰相等的梯形叫_。在同一底上的两个角_的梯形为等腰梯形。等腰梯形在同一底上的两个角_；两条对角线_；等腰梯形是_图形；过两底_的直线是它的对称轴。定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段_，那么在其他直线上截得的线段也_。推论：经过梯形一腰上的中点与底平行的直线，必_另一腰；经过三角形一边上的中点与另一边平行的直线必_第三边。三角形的中位线_第三边，而且等于它的_，梯形的中位线_两底，并且等于两底和的_。连结三角形各边中点得到三角形周长为原三角形周长_，面积为原三角形面积的_。 顺次连结四边形各边中点得到四边形为_。 顺次连结矩形各边中点得到的四边形为_。 顺次连结菱形各边中点得到的四边形为_。 顺次连结等腰梯形各边中点得到的四边形为_。 梯形两对对角线中点连线等于_一半。三、学海导航【思维基础】 通过回答题，掌握好基础知识和基本方法。如图，在梯形ABCD中，DCAB，M，N分别是对角线AC和BD的中点。求证：MNABDC；MN=(ABDC)。如图，在梯形ABCD中，ADBC，AM=DM，BN=CN，且B+C=90，求证：MN=(BCAD)。如图，在梯形ABCD中，ABDC，以AC，AD为边作ACED，DC的延长线交BE于F，求证：EF=FB。如图，在DABC中，AD是BC边上中线，E是AD的中点，求证：(1)AF=FC；(2)EF=BE。已知等腰梯形对角线互相垂直，梯形高为a，求它的中位线长和面积。动脑动手答案或提示：揭示思路：由于M，N分别为AC，BD中点，便可联想三角形中位线定理，于是连CN并延长交AB于E，可证得DDCNDBNE，此时N为CE中点，这时便把问题转化为三角形中位线问题，打开思修，请读者写出证明过程。揭示思路：本例条件分散，通常采取平移变换，把分散的条件平移到一个图形中，使已知与未知数发生关系，由B+C=90，我们可过M作MPAB，MQCD，交BC于PQ，这时便立即可知DPQM为直角三角形且N为斜边PQ的中点，很容易把问题解决，证明过程留给读者完成。揭示思路：欲证EF=FB，即证F为BE中点，遇到中点想中点，巧妙架设中线，根据这一规律，构造三角线中线便可水到渠成。揭示1：连AF与DC交于点O，可知O为AE的中点，。揭示2：延长EC交AB于点M，则可证得：ABCD为，CM=AD=CE，。揭示3：延长BA与ED延长线交于点E，则可证得ACDG为，GD=AC=DE，用以上揭示1-3可发现都是构造，然后再转为三角形中位线问题，因之，我们还可以题设继续构造平行四边形。揭示4：过B点作BGAD交DF的延长线于点G，连结EG，可证得ABGD，CBGE均为，。揭示5：过E点作EGCD交AD的延长线于点G，可证得DCEG为，。揭示思路：根据经验：“遇到中点取中点，巧妙架设中位线”便可找到思路。取FC的中点，连结DMD为BC中点，M为FC中点DMBFEFDM，E为AD中点AF=FMAF=FM=MC，FC=FM+MCAF=FC在DADM中，EF=DM，EF=BFBF=4EF，BF=EF+BEEF=BE采取平移对角线可求中位长为a，其面积为a2。【创新园地】 已知：六边形ABCDEF中，A=B=C=D=E=F，且AB+BC=11，FACD=3。求：BC+DE的值。四、同 步 题 库一、填空题1.顺次连结等腰梯形的各边中点所构成的四边形是 .2.三角形的一条中位线把截成的一个小三角形与一个梯形的面积比是 .3.有惟一一条对称轴的四边形是 .4.如图2-3-17，直角梯形ABCD中，ADBC，B=90，AD=2，AB=3，BC=4，DEAC于E.则DE= .图2-3-175.在梯形ABCD中，ADBC，E、F分别为AB、CD的中点，若AC=6，BD=8，EF=5，则梯形ABCD的面积为 .6.一梯形的面积是48cm2，中位线长为8cm，那么，梯形的高是 .7.梯形的中位线长为15，一条对角中位线分成12两部分，那么梯形的两底长分别为 .8.一个等腰梯形的周长是100cm，如果它的中位线与腰长相等，它的高是20cm，那么这个梯形的面积为 cm2.9.如图2-3-18在梯形ABCD中，ABCD，CE是BCD的平分线，又CEAD，DE=2AE，CE把梯形分成面积为S1、S2两部分，且S1=1，则S2= .10.已知等腰梯形ABCD的周长为104cm，ADBC，ADAC=235，那么这个梯形的中位线长是 .11.如图2-3-19，在梯形ABCD中，ADBC，E、F分别为AB、CD的中点，AC=6.BD=6，ACBD，则EF= .12.如图2-3-20，等腰梯形ABCD的对角线ACBD，高DH是8cm，那么它的上下底长的和是 . 图2-3-18 图2-3-19 图2-3-2013.一等腰梯形的下底长是上底的2倍，它的腰长等于上底长，那么梯形的两个底角分别为 ，和 .14.梯形两腰中点连线长等于两底长 ，两条对角线中点连线长等于两底长 .15.已知梯形上、下底长的比是35，两底长的差为4，那么梯形的上底长为 ，下底长为_，中线长为 .二、选择题1.已知梯形ABCD中，ADBC，中位线EF=6cm.BC=2AD，那么BC的长是（ ）. （A）4cm （B）6cm （C）8cm （D）12cm2.已知等腰梯形两底边长分别是4cm和10cm，面积为21cm2，那么等腰梯形较小的底角是（ ）. （A）30 （B）45 （C）60 （D）753.已知直角梯形的一腰长为20cm，这腰和底所成的角为30，那么另一腰长是（ ）. （A）15cm （B）20cm （C）10cm （D）5cm4.已知一梯形中位线长为8cm，下底的长比上底的长大6cm，那么下底长为（ ）. （A）11cm （B）12cm （C）13cm （D）14cm5.如图2-3-21，ABCD把OE五等分，AABBCCDDEE，如果OE=25cm，那么BD=（ ）. （A）20cm （B）15cm （C）10cm （D）5cm图2-3-216.如果等腰梯形底角为45，高等于上底长，那么梯形中位线长和高的比为（ ）. （A）12 （B）21 （C）13 （D）237.下列命题中，真命题是（ ）.（A） 等腰梯形的底角相等（B） 等腰梯形对角线互相垂直（C） 等腰梯形是中心对称图形（D） 梯形的内角和为3608.如图2-3-22，以等腰梯形两底中点及两对角线中点为顶点的四边形是（ ）. （A）菱形 （B）平行四边形 （C）矩形 （D）正方形9.如图2-3-23，已知在ABC中，AHBC于H，E、D、F各是三边中点，那么四边形EDHF是（ ）. （A）一般梯形 （B）等腰梯形 （C）直角梯形 （D）直角等腰梯形 图2-3-22 图2-3-2310.等腰梯形两底长的差为4cm，中位线长为6cm，腰长为4cm，那么它的面积是（ ）. （A）2cm2 （B）12cm2 （C）24cm2 （D）6cm211.已知在梯形ABCD中，ADBC，AD=8cm，BC=16cm，B=30，C=60，则腰DC的长为（ ）. （A）8cm （B）8cm （C）12cm （D）4cm12.如图2-3-24，已知在ABC中，BC=10，AB上有三个点将AB四等分，分别自这三点作线段平行于BC，使端点在AC上，那么这三条线段长的和为（ ）. （A）12 （B）10 （C）15 （D）30图2-3-2413.如图2-3-25，梯形两对角线分中位线为三等分，那么梯形上下底长之比为（ ）. （A）23 （B）13 （C）23 （D）3514.如图2-3-26，已知AD是ABC的高，E为AB的中点，EFBC，若DC=BC，那么线段FC的长度相当于BC的（ ）. （A） （B） （C） （D）15.如图2-3-27，如果等腰梯形底角为30，腰长为8cm，高和上底长相等，那么，梯形的中位线长为（ ）. （A）8cm （B）10cm （C）（4+4）cm （D）16cm 图2-3-25 图2-3-26 图2-3-27三、计算、证明题1. 如图2-3-28，已知在梯形ABCD中，ADBC，BDCD，BD平分ABC，C=60，梯形ABCD的周长为2m. 求AD的长.2. 如图2-3-29，已知在梯形ABCD中，中位线EF=17cm，对角线ACBD于O，DBC=30.求对角线AC的长. 图2-3-28 图2-33-293. 如图2-3-30，已知在直角梯形ABCD中，ADDC，AB=AC，CEAB.求证：AD=AE.4. 如图2-3-31，已知P为等腰梯形ABCD底边BC上任意一点，PMAB，PNCD，M、N分别为垂足，BDCD.求证：BD=PM+PN. 图2-3-30 图2-3-31 图2-3-325. 如图2-3-32，梯形ABCD中，AD=BC，ABDC，延长AB到E，使BE=DC，连结AC、CE.求证：AC=CE.6. 如图2-3-33，已知梯形ABCD中，ABCD，AD=BC=12，中位线EF与对角线AC交于H，且EH=4，HF=10.求梯形面积. 图2-3-33 图2-3-347. 如图2-3-34，已知梯形ABCD中，ADBC，AB=CD=8，ABC=60，M、N、E、F分别为AD、BC、BD、AC的中点.求四边形MENF的面积.8. 已知梯形ABCD中，ADBC，AC=BC=2，ACB=30，DB=DC.试求：梯形ABCD的各角；梯形ABCD的面积.9. 如图2-3-35，已知在梯形ABCD中，ADBC，AB=CD，ADE是等边三角形. 求证：AEB=DEC； 若BAD=60，AB=2a，BC=3a，求梯形ABCD的中位线的长.图2-3-3510.如图2-3-36，已知MN是梯形EFGH的腰EF、GH的中点.FH把MN分成x和y两段，且，求梯形的两底.11.如图2-3-37，已知在等腰梯形ABCD中，M、N分别是两底AD、BC的中点，E、F分别是BM、CM的中点. 求证：四边形MENF是菱形.12.如图2-3-38，在直角梯形ABCD中，ABCD，ADCD，BC=2CD，E是BC的中点，连结AE、DE.求证：2=21=B. 图2-3-36 图2-3-37 图2-3-38参考答案参考答案动脑动手1 提示思路:由于M、N分别为AC、BD中点，便可联想三角形中位线定理，于是连CN并延长交AB于E，可证得DCNBNE，此时N为CE中点，这时便把问题转化为三角形中位线问题，打开思路，请读者写出证明过程。2 提示思路：本例条件分散，通常采取平移交换，把分散的条件平移到一个图形中，使已知与未知发生关系，由B+C=90，我们可过M作MPAB，MQCD，交BC于P、Q，如图2-3-39，这时便立即可知PQM为直角三角形且N为斜边PQ的中点，很容易把问题解决，证明过程留给读者完成。 图2-3-393 揭示思路：欲证EF=FB，即F为BE中点，遇到中点想中点，巧妙架设中线，根据这一规律，构造三角形中线便可水到渠成。揭示一：连AF与DC交于点O，可知O为AE的中点，。揭示二：延长EC交AB于点M，则可证得：AMCD为平行四边形，GD=AC=DE，。揭示三：延长BA与ED延长线交于点E，则可证得ACDG为平行四边形，GD=AC=DE，。由以上揭示一三可发现都是构造平行四边形,然后再转为三角形中位线问题,同之,我们还可以题设继续构造平行四边形.揭示四:过B点作BGAD交DF的延长线于点G,连结EG,可证得ABGD,CBGE均为平行四边形,。揭示五：过E点作EGCD交AD的延长线于点G，可证得DCEG为平行四边形，。4 揭示思路：经验“遇到中点取中点，巧妙架设中位线”便可找到思路。（1） 取FC的中点，连结DM，如图2-3-40所示D为BC中点，M为FC中点。DM BF，EFDM，E为AD中点AF=FM，Page: 15AF=FM=MC，FC=FM+MCAF=FC。 图2-3-40（2） 在ADM中，EF=DM，EF=BF BF=4EF，BF=EF+BE，BF=BE。5 采取平移对角线可求中线为a,其面积为a2.同步题库一、 填空题1. 菱形 2. 13 3. 等腰梯形 4. 5. 24 6. 6cm 7. 10 20 8. 500 9. 10. 28cm 11. 12. 16cm 13. 60 14. 和的一半 差的一半 15. 6cm 10cm 8cm二、 选择题1.C 2.B 3.C 4.A 5.C 6.B 7.D 8.A 9.B 10.B 11.D 12.C 13.A 14.A 15.C三、 计算、证明题1.【解】 DBC=DBA=30 ADBC ADB=30 DBA=ADB 得AB=AD 又 AB=DC， 而在RtBDC中 DC=BC AB+BC+CD+DA=2m， 即5AD=2m， AD=m.2.【解】作DEAC交BC的延长线于E 得ACED为平行四边形 故DE=AC，AD=CE EF=cm BE=34cm. 又在RtBDE中 DBC=30 DE=BE=17cm AC=17cm.3.【证明】连结AC， AB=BC BAC=BCA BCA+ACD=90 BAC+ACE=90 ACD=ACE RtCEARtCDA AD=AE4.【证明】证法一：过P作PHBD BDCD 四边形DNPH为矩形 PN=HD 在RtBMP和RtBHP中 BMP=BHP=Rt HPCDHPB=C=B BP=BP BMPBHP PM=BH BD=PM+P