直线与平面及两平面的相对位置

第五章 直线与平面及两平面的相对位置本章内容：1直线与平面及两平面平行；2直线与平面及两平面相交；3直线与平面及两平面垂直；4距离和角度的度量；5综合问题的解题方法。教学要求：1. 掌握直线与平面及平面与平面之间平行的空间几何条件及作图方法；2掌握求直线与平面的交点作图方法；3掌握相交关系中可见性判断问题；4掌握各种距离、角度的求解方法；5掌握综合问题的求解方法。本章重点：1直线与平面及两平面平行、相交、垂直的投影特性和作图方法；2几何要素（点、线、面）之间的距离和角度的作图方法；3综合问题的分析方法和解题思路。本章难点：1可见性判断问题；2直角投影定理的应用；3综合问题的解题方法。图5-1 直线与平面平行 5-1 直线与平面平行、两平面平行一、直线与平面平行直线与平面平行问题的作图依据：若一直线平行于平面内的一条直线，则直线与该平面平行；反之，若直线与平面平行，则在该平面内定可作一直线平行于此直线（图5-1）。显然，若直线平行于投影面平行面或垂直面，那么平面具有积聚性的投影与该直线的同面投影必平行；反之亦然。例5-1 判断直线AB与LMN是否平行（图5-2）。 解题 图5-2 判断直线AB与LMN是否平行分析：在LMN上任作一条辅助直线CD，使它的正面投影c d a b ,再求出水平投影 cd。然后判断cd与ab是否平行。若cd与ab平行,则直线AB平行于LMN；若cd与ab不平行,则直线AB不平行于LMN。作图步骤：1在LMN正面投影上作c d a b 。2求出水平投影 cd，因cd与ab不平行，则可断定AB与LMN不平行。例5-2 过A点作一正平线平行已知BCD面（图5-3）。解题 图3 过A点作一正平线平行已知BCD面分析：过平面外一点可作无数条直线平行该平面，但本题要作一正平线与BCD平行，所以在平面上与它平行的一定是平面上的正平线。作图步骤： 1在ABC面内作一条正平线DF（使它的水平投影dfOX轴，并作出正面投影d f ）。2经过A点作直线AEDF（即作aedf和a e d f ），AE即为所求。思考:过一已知点作一平面与一已知直线平行,该如何分析和作图，有几个解？根据平面与直线平行的条件，只要作一直线平行于已知直线，那么，包含该直线的所有平面均与已知直线平行，其解有无数个。二、平面与平面平行图5-4 平面与平面平行平面与平面平行问题的作图依据：若一平面内两条相交直线对应地平行于另一平面内的两条相交直线，则该两平面相互平行；反之，若一对相交直线对应平行，则每对相交直线所确定的平面平行（图5-4）。显然，若两个投影面平行面或垂直面相互平行，那么它们具有积聚性的那组投影必平行。例5-3 试判断两已知平面ABC和DEF是否平行（图5-5）解题图5-5 试判断两已知平面ABC和DEF是否平行分析：先在ABC面上取两条相交直线，然后在DEF面上试图取两条对应平行的另两条相交直线，如果成功则可判定这两个平面平行，否则不平行。为作图方便，这两条相交直线可取成水平线和正平线。作图步骤： 1在ABC上作水平线BN和正平线AM。 2在DEF面上作一条水平线ER，判断ERBM，再作一条正平线DS，判断DSAM,由此可断定平面ABC和DEF是平行的。例5-4 AB与CD决定一平面，过K点作一平面平行已知平面（图5-6）。 解题 图5-6 过K点作一平面平行已知平面分析：过K点作一对相交直线只要平行于已知平面的一对相交直线，所作的这对相交直线便可表示所求的平面。作图步骤：1过K点作直线EFAB（efab，e fa b ）。2在已知平面上任作一线MN，过K点作直线GHMN（ghmn，g hm n）。思考：若要包含点K作一平面平行于正垂面将如何作图？ 所作平面也一定是正垂面，并且它们的正面投影（直线）平行。 5-2直线与平面及两平面相交图5-7 直线与平面相交一、 特殊位置的直线或平面相交 直线与平面相交只有一个交点，它是直线和平面的共有点。它既属于直线又属于平面（图5-7）。特殊位置的相交问题是指相交的两要素（直线或平面）中至少其一是垂直于投影面的。此时该要素的一个投影具有积聚性，因此利用积聚性在该投影上可直接确定它们的交点或交线的位置。然后用直线上取点、平面上取点和线的作图方法求出交点、交线的另一投影。1直线与平面相交例5-5 求直线MN与铅垂面三角形ABC的交点，并判断可见性（图5-8）。解题 图5-8 直线与特殊位置平面的交点分析：直线MN与铅垂面ABC的交点K既属于ABC又属于直线MN，ABC在水平投影面上的投影积聚成一直线。因此它们的交点K的水平投影为MN与ABC水平投影mn与abc的交点k，然后在m n 上找出对应于k的正面投影k 。点K（k,k ）即为直线MN和ABC的交点。利用直线MN与ABC对正面投影的重影点、判断它们正面投影的可见性。由水平投影看出，属于ABC的点在前、属于直线MN的点在后，故直线MN上交点右侧可见，画实线；左侧不可见，画虚线。思考：铅垂线和一般位置平面相交，如何求交点？直线的水平投影有积聚成一点，该点即为交点的水平投影。交点K又为平面上的点，可用面上取点的方法求出它的正面投影。2平面与平面相交例5-6 求一般位置平面ABC与铅垂面DEF的交线，并判断可见性（图5-9）。解题 图5-9 一般位置平面与特殊位置平面的交线分析：由空间分析可知，当两平面相交时，分别求出一个平面上的两条直线和另一个平面的交点，将两交点连线即为两平面的交线。因此，本题将分别求出ABC 上的直线BC和AC与铅垂面DEF 的交点K、L，连接KL即为所求。利用ABC与DEF对正面投影的重影点、判断它们正面投影的可见性。由水平投影看出，属于ABC（上的BC）的点在前、属于DEF（上的DF）的点在后，故在交线右侧ABC可见，画实线，则左侧不可见，画虚线。思考：1平行面和一般位置平面相交，如何求交线？ 这类问题的作图方法和上例问题类似。 2若二正垂面的相交，它们的交线是什么线？ 它们的交线是正垂线。二、一般位置的直线或平面相交一般位置的直线或平面相交问题是指相交的两要素（直线或平面）均不垂直于投影面，它们的投影都没有积聚性，因此在投影图上不能直接定出交点或交线，而必须采用辅助平面法求解。1直线与平面相交例5-7 求直线DE与一般位置平面ABC的交点，并判断可见性（图5-10）。解题 图5-11 一般位置直线与平面的交点分析：假设点K为直线DE与平面ABC的交点，则点K必属于ABC面上过K点的无数条直线（如MN、FG、LV等），只要过DE任作一辅助平面S，求出平面S与已知平面的交线，例如MN，则直线DE与交线MN的交点即为所求。为了便于作图，应选辅助平面为特殊位置平面。作图步骤：1包含DE作铅垂面P，用迹线表示。2求铅垂面P和ABC的交线。3求交线和DE的交点K，即为所求直线与平面的交点。4判断可见性。求出交点K后，直线和平面在V、H面投影的可见性必须分别进行判断。判断V面投影的可见性：在直线DE和ABC（AC）上取对V面的重影点、，在H面投影3在4之前，则点在点之前，因此以交点为界在重影点一侧ABC在前，可见，DE在后，不可见，另一侧相反。判断H面投影的可见性：在直线DE和ABC（AC）上取对H面的重影点、，在V面投影2在5之上，则点在点之上，因此以交点为界在重影点一侧ABC在上，可见，DE在下，不可见，另一侧相反。2平面与平面相交平面与平面相交，交线为直线，它是两平面的共有线。交线可以由两平面的两个共有点或一个共有点及交线的方向确定。用辅助平面法求两平面的共有点有两种思路：1利用求一般位置的直线与平面交点的方法；2运用“三面共点”的原理作辅助面。方法一: 利用求一般位置的直线与平面交点的方法 此方法是在相交两平面内取两条直线，分别求出它们与另一平面的交点，连接之，该直线即为两平面的交线。例5-8 求一般位置平面ABC与DEFG的交线，并判断可见性（图5-12）。解题 图5-12 两一般位置平面的交线作图步骤： 1过直线AB作正垂面P1，求得直线AB与四边形DEFG 平面的交点K1。 2过直线BC作正垂面P2，求得直线BC与四边形DEFG 平面的交点K2。 3连接K1 K2即为所求交线。 4判别可见性。判断V面投影的可见性：在ABC（AB）和DEFG（EF）上取对V面的重影点、，在H面投影1在2之前，则点在点之前，因此以交线为分界线在重影点一侧DEFG在前，可见，ABC在后，不可见，另一侧相反。判断H面投影的可见性：在ABC（AC）和DEFG（DE）上取对H面的重影点、，在V面投影3在4之上，则点在点之上，因此以交线为分界线在重影点一侧DEFG在上，可见，ABC在下，不可见，另一侧相反。方法二：运用“三面共点”的原理作辅助面法图5-13为用三面共点法求两平面的共有点的示意图。为求两平面的共有点，取任意辅助平面P与已知平面R、S分别相交于直线I II和III IV，其交点K1为三面所共有，当然是R、S两平面的共有点。同理，作辅助平面Q可再找出一个共有点K2。K1K2即为R、S两平面的交线。为方便作图，辅助平面一般要作成特殊位置平面。图5-13 用三面共点法求两平面的共有点的示意图例5-9 求一般位置平面ABC与DEFG的交线，并判断可见性（图5-14）。解题 图5-14 两个一般位置平面的交线分析：取水平面P为辅助平面。利用PV有积聚性，分别求出平面P与两平面的交线I II和III IV。I II和III IV的交点K1便为一个共有点。同理，以辅助平面Q再求出一个共有点K2。K1K2 即为所求的交线。作图步骤：1作水平面P，求三面共点K1；2作水平面Q，求三面共点K2；3连接K1 、K2，K1K2 即为所求。思考：1求一般位置平面交线的两种方法的适用条件？ 当给定两平面的投影交叠在一起时，采用方法一较简单。当给定两平面的投影离散时，采用方法二作图比较简洁。2用三面共点法求两平面的交线时，辅助平面一定要作成平行面吗？ 不一定。原理上作什么类型的面都可以，但就作图的可行性，一般要作成平行面或垂直面。5-3直线与平面及两平面垂直1直线与平面垂直由立体几何可知，若直线LK与平面P垂直，则必垂直于属于平面P的一切直线，其中包括水平线AB和正平线CD。根据直角投影定理，投影图上必表现为klab， k l c d，如图5-15所示。由此可得出下面的定理： 定理：若一直线垂直于一平面，则直线的水平投影必垂直于属于该平面的水平线的水平投影；直线的正面投影必垂直于属于该平面的正平线的正面投影（图5-16）。逆定理：若一直线的水平投影垂直于某一平面的水平线的水平投影，直线的正面投影垂直于该平面的正平线的正面投影，则直线必垂直于该平面（图5-17）。图5-15 直线与平面垂直 图5-16 直线垂直平面定理 图5-17 直线垂直平面逆定理例5-10 已知BCD，过A点作BCD平面的垂线（图5-18）。解题 图5-18 过A点作平面的垂线作图步骤： （1）在BCD上分别取一条正平线BN和一条水平线BM。 （2）再作aebm， a e b n ，AE即为所求。知识扩展：此题没要求作AE与BCD的垂足。若要求垂足，需要利用辅助平面法求出AE和BCD的交点即可。一旦求出了垂足，再用直角三角形法就可求出点A到BCD的真实距离。例5-11 已知AB、CD确定一平面，判定MN是否垂直于该平面（图5-19）。解题 图5-19 判定直线是否垂直于平面作图步骤： 1在已知平面上作任意一条水平线EF。2从图可看出m n c d ，但mn不垂直于ef，所以可断定直线MN与平面不垂直。思考：过一已知点作一铅垂面的垂线，如何作？ 该垂线一定为水平线。2两平面相互垂直定理：若一直线垂直于一定平面，则包含这条直线的所有平面都垂直于该平面（图5-20）。逆定理：如两平面互相垂直，则由属于第一个平面的任意一点向第二个平面所作的垂线一定属于第一个平面（图5-21）。 图5-20 两平面垂直定理 图5-21 两平面垂直逆定理例5-12 过A点作一平面垂直于四边形，并平行于四边形上的正平线（图5-22）。解题 图5-22 过A点作平面垂直于已知平面作图步骤： 1过A点作直线AN四边形，即an23,a n 1 2 。 2过A点作正平线AM平行于四边形，即am12,且a m 1 2 。直线AN和AM所决定的平面即为所求。思考：若两正垂面垂直，那么它们的正面投影有什么特点？ 它们的正面投影积聚成线，并且相互垂直。5-4距离和角度的度量一、距离的度量图5-23 距离的度量1点到直线之间距离 如图5-23（a）求A点到直线CD之间的距离，解题步骤如下： 1过A点作平面P垂直于直线CD。 2求出直线CD与平面P的垂足。 3求出A点到垂足的实长，即为点到直线之间的距离。2平行两直线之间距离 如图5-23（b）求平行两直线AB与CD的距离，解题步骤如下： 1任取AB直线上一点E，过点E作直线AB的垂面P。 2求出直线CD与平面P的交点F。 3求出线段EF的实长，即为平行两直线之间距离。3两交叉直线之间距离 如图5-23（c）求交叉两直线AB与CD的距离，解题步骤如下： 1包含直线AB作一平面P平行于直线CD。 2在直线CD上任取一点M，过点M作平面P的垂线MN，并求出垂足。 3再求出直线段MN的实长，即为所求交叉两直线AB与CD的距离。4点到平面的距离 如图5-23（d）求点到平面的距离，解题步骤如下： 1过点A作平面P的垂线AB。 2求出垂足B后，再求出直线段AB的实长，即为所求点到平面的距离。5两平行平面之间的距离 如图5-23（e）求两平行平面之间的距离，解题步骤如下： 1在平面Q上任取一点A，由点A作平面P的垂线AB。 2求出垂线AB与平面P的交点B。 3求出线段AB的实长，即为两平行平面之间的距离。例5-13 求C点到直线AB之间的距离（图5-24）。解题图5-24 点到直线之间的距离 作图步骤： 1过C点作直线AB的垂面C。 2求平面C与AB的交点K。3用直角三角形法求出CK的实长，该实长即为所求。例5-14 求G点到ABC面的距离（图5-25）。解题 图5-25 点到平面之间的距离作图步骤： 1由点G向ABC作垂线G。 2求垂线G与ABC的交点K，即为垂足。3用直角三角形法求出GK的实长，该实长即为所求。例5-15 求交叉直线AB和CD的公垂线（图5-26）。解题 图5-26 交叉两直线的公垂线 二、 角度的度量常见的角度问题有两相交直线夹角、直线与平面夹角及两平面间夹角（图5-27）。 图5-27 角度的度量1。两相交直线夹角 如图5-27（a），求两相交直线AB和AC夹角q ，解题步骤如下： 1任作直线EF，构成AEF。 2分别求出AEF三边的实长，以求出AEF的实形。 3AEF中EAF便是所求的两相交直线AB和AC夹角。 2直线与平面夹角如图5-27（b），求直线HG与平面P的夹角q ，解题步骤如下：1任取属于直线HG的一点H，由点H作平面P的垂线HO。2求出直线HO和HG的夹角f 。3f 的余角便是直线与平面的夹角q 。3两平面间夹角如图5-27（c），求两平面P和Q之间的夹角，解题步骤如下：1在空间任取一点L，由L分别作平面P和Q的垂线LM和LN。2求出相交两直线LM和LN的夹角 。 3f 的补角q 便是两平面间夹角。例5-16 求直线GH和由四边形ABCD所给定的平面所成的角度（图5-28）。 解题图5-28 直线与平面之