第八讲：匀变速直线运动的位移与时间的关系

第八讲：匀变速直线运动位移与时间的关系知识回顾： （1）若已知一段时间t内平均速度为v,则位移x= . (2) 匀变速直线运动的速度与时间的关系为v= . (3) 请画出匀速直线运动和匀变速直线运动的v-t图像。一、匀速直线运动的位移 公式： 二、匀变速直线运动的平均速度某段匀变速直线运动的平均速度等于该段运动的初速度和末速度的平均值。即：【例】质点从静止开始做匀加速直线运动，已知加速度为2ms2，下列说法正确的是( )A质点在第一秒内的平均速度为lms B质点在第三个2秒内的平均速度等于5秒时的即时速度C质点在前3秒内的平均速度等于6ms D质点运动中后1秒的平均速度总比前1秒的平均速度大2ms故在匀变速直线运动中，某一段时间内的平均速度等于该段时间内中间时刻的瞬时速度，又等于这段时间内初速度和末速度的算术平均值特别提醒：(1)该规律的成立条件是匀变速直线运动(2)常用变形是xtv0+vt2t，符合条件时可直接使用三、匀变速直线运动的位移1、从v-t图象推导：通过图象，研究以初速度V。做匀变速直线运动的物体，在时间，内发生的位移。物体运动的图象如图23-2甲所示。由图可知：梯形OABC的面积S=（OC+AB）OA/2代入各物理量得：xtv0+vt2t又v=v0+at得x=v*t=v0+vt2t=v0t+12at2位移公式： 2对匀变速直线运动的位移公式的理解根据平均速度的定义式，做任何变速运动的位移都可以表示为，则匀变速直线运动的位移公式为x=v*t=v0+vt2t=v0t+12at2（1）位移公式说明匀变速直线运动的位移与时间是二次函数关系，式中的是初速度，时间应是物体实际运动的时间。（2）在取初速度方向为正方向的前提下，匀加速度直线运动取正值，匀减速直线运动取负值；计算的结果x0，说明位移的方向与初速度的方向相同；x0说明位移的方向与初速度的方向相反。（3）对于初速度为零（）的匀变速直线运动，位移公式为x=12at2即位移x与时间的二次方成正比。（4）速度时间图像下的面积表示位移的大小，且轴上方的面积表示正位移，轴下方的面积表示负位移。注意:因为0、x均为矢量，使用公式时应先规定正方向。（一般以0的方向为正方向）四、由匀变速直线运动位移公式导出的几个推论重点公式的推导： 几个重要的推论：1、连续相等的时间T内的位移之差为一恒定值物体以加速度a匀变速直线运动的过程中，从某时刻起取连续相等的两个时间间隔，时间间隔为T，设计时时刻速度为v0 v0v0+aTs2s1TT 练习：一质点做匀加速直线运动，在连续相等的两个时间间隔内通过的位移分别为24m和64m，每个时间间隔是2S，求加速度a。解：2、某段时间内中间时刻的瞬时速度等于这段过程的平均速度、如下图：某质点做匀加速直线运动从A到B经过1S，从B到C也经过1S，AC间距离为10m，求质点经过B位置时的速度。S=10mABC三、初速度为零的几个比例式从t=0时开始计时，时间间隔为T1、1T秒末、2T秒末、3T秒末速度之比。2、前1T秒、前2T秒、前3T秒位移之比。3、第1T秒、第2T秒、第3T秒位移之比。4、连续相等的位移所需时间之比。【经典例题解析】【例1】：由静止开始做匀加速直线运动的汽车，第1 s内通过的位移为0.4 m，问：(1)汽车在第1 s末的速度为多大？ (2)汽车在第2 s内通过的位移为多大？解析(1)由xat2得 a m/s20.8 m/s2，所以汽车在第1 s末的速度为 v1at0.81 m/s0.8 m/s.(2)汽车在前2 s内的位移为xat20.822 m1.6 m，所以第2 s内汽车的位移为：x2xx1.6 m0.4 m1.2 m.答案(1)0.8 m/s(2)1.2 m【例2】 美国“肯尼迪”号航空母舰上装有帮助飞机起飞的弹射系统已知“F15”型战斗机在跑道上加速时，产生的最大加速度为5.0 m/s2，起飞的最小速度是50 m/s，弹射系统能够使飞机具有的最大速度为30 m/s，则：(1)飞机起飞时在跑道上至少加速多长时间才能起飞？ (2)航空母舰的跑道至少应该多长？解析(1)飞机在跑道上运动的过程中，当有最大初速度、最大加速度时，起飞所需时间最短，故有t s4.0 s. 则飞机起飞时在跑道上的加速时间至少为4.0 s.(2)x m160 m. 答案(1)4.0 s(2)160 m【例3】 某一做直线运动的物体，其vt图象如图所示，根据图象求： (1)物体距出发点最远的距离；(2)前4 s内物体的位移大小； (3)前4 s内物体的路程解析(1)3 s末时，物体距出发点最远，此时xmax34 m6 m.(2)前4 s内，位移x34 m12 m5 m.(3)前4 s内，路程s34 m12 m7 m.答案(1)6 m(2)5 m(3)7 m【例4】 一辆汽车在高速公路上以30 m/s的速度匀速行驶，由于在前方出现险情，司机采取紧急刹车，刹车时加速度的大小为5 m/s2，求：(1)汽车刹车后20 s内滑行的距离 (2)从开始刹车汽车滑行50 m所经历的时间(3)在汽车停止前3 s内汽车滑行的距离解析(1)由于v030 m/s，a5 m/s2，由vv0at，汽车的刹车时间t0为：t0 s6 s由于t0t，所以刹车后20 s内滑行的距离即为汽车停止运动时滑行的距离xv0t306 m90 m.(2)设从刹车到滑行50 m所经历的时间为t，由位移公式xv0tat2，代入数据：5030t5t2整理得t212t200 解得t12 s，t210 s(刹车停止后不能反向运动故舍去)故所用时间为t2 s.(3)此时可将运动过程看作反向的初速度为零的匀加速运动，由xat2532 m22.5 m.答案(1)90 m(2)2 s(3)22.5 m.【例5】 物体从静止开始做匀加速直线运动，加速度为1 m/s2，求：(1)物体在2 s内的位移； (2)物体在第2 s内的位移； (3)物体在第二个2 s内的位移答案(1)2 m(2)1.5 m(2)6 m解析2 s内的位移是前2 s内的位移，第2 s内的位移是第1 s末到第2 s末这1 s内的位移；第二个2 s内的位移是第2 s末到第4 s末这2 s内的位移由匀变速直线位移公式xv0tat2(1)x1at122 m2 m(2)第1 s末的速度(第2 s初的速度)v1v0at1 m/s，故第2 s内位移x2v1tat2(11112) m1.5 m(3)第2 s末的速度v2v0at12 m/s2 m/s，也是物体第二个2 s的初速度，故物体在第2个2 s内的位移x3v2tat2(22122) m6 m【例6】：升降机从静止开始上升，先做匀加速运动，经过4s速度达到4m/s，然后匀速上升2s，最后3s做匀减速运动直到停止，求升降机上升的总高度。解析升降机运动的全过程由三个不同的运动阶段组成：第一阶段：升降机做初速度为零的匀加速运动；初速度v0 = 0，运动时间t1 = 4 s，末速度v1=4m/s第二阶段：升降机做匀速运动，速度：v2 = v1 = 4 m/s，运动时间t2 = 2 s第三阶段：升降机做匀减速运动，初速度v3 = v2 = 4 m/s，运动时间t3 = 3 s且末速度vt = 0分段求和：第一阶段：由1 m/s2 8 m来源:21世纪教育网第二阶段：8 m第三阶段：由 m/s2 6 m上升的总高度h = h1 + h2 + h3 = 22 m【例7】：一物体做匀加速直线运动，初速度为0.5 m/s，第7 s内的位移比第5 s内的位移多4 m，求：（1）物体的加速度 （2）物体在5 s内的位移利用相邻的相等时间里的位移差公式：s=aT2，知s=4 m，T=1 s. a=m/s2=2m/s2.再用位移公式可求得s5=v0t+at2=（0.55+252） m=27.5 m图227-610t/sv/ms-1246818121424120【例8】：汽车由静止出发做匀加速直线运动6秒后，做匀速运动4秒，然后刹车改做匀减速运动，再经3秒停止，共经过153米，求：汽车刹车后的加速度a；汽车第12秒末的速度vt；在图227中画出汽车运动的速度时间图线答案： (1)a=6m/s2;(2)vt=6m/s;(3)图略【例9】 甲、乙两车从同一地点出发同向运动，其图像如图1-2-1所示试计算：(1)从乙车开始运动多少时间后两车相遇? (2)相遇处距出发点多远? (3)相遇前两车的最大距离是多少?图1-2-1解析从图像知两车初速，加速度分别为： ，做匀加速运动(1)两车相遇位移相等，设乙车运动t秒后两车相遇，则甲、乙两车的位移为 由于，代人数据解题(舍去)，(2)相遇点离出发点的距离为(3)由图知甲车行驶t=4 s时两车速度相等此时两车距离最大，二者距离为： 巩固练习：1、公共汽车从车站开出以4 m/s的速度沿平直公路行驶，2 s后一辆摩托车从同一车站开出匀加速追赶，加速度为2 m/s2，试问： （1）摩托车出发后，经多少时间追上汽车？ （2）摩托车追上汽车时，离出发处多远？（3）摩托车追上汽车前，两者最大距离是多少？【解析】从摩托车出发开始计时，0时刻两车相距42=8m；摩托车速度小于汽车速度；汽车在前。所以在随后的时间内两车距离将拉大，这个状态将持续到两车速度相等。根据公式可求得2S末两车速度相等。2S末往后摩托车速度将大于汽车，两车距离将缩小并最终追上。 设t时间后相遇，则有速度相等时距离最大。2S末速度相等，则有：摩托车2S内位移为=4m 汽车2S内位移为42=8m 汽车比摩托车多走4m，现在总间距是4+8=12m.2、一小汽车从静止开始以3 m/s2的加速度行驶，恰有一自行车以6 m/s的速度从车边匀速驶过(1)汽车从开动后到追上自行车之前，要经多长时间两者相距最远？此时距离是多少？(2)汽车什么时候追上自行车，此时汽车的速度是多少？解析解法一汽车开动后速度由零逐渐增大，而自行车速度是定值，当汽车的速度还小于自行车的速度时，两者距离越来越大，当汽车的速度大于自行车的速度时，两者距离越来越小所以当两车的速度相等时，两车之间距离最大有v汽atv自，t2 s. xv自tat262 m34 m6 m.3、有一个做匀变速直线运动的质点，它在两段连续相等的时间内通过的位移分别是24 m和64 m，连续相等的时间为4 s，求质点的初速度和加速度大小解析依题意画草图如右图所示解法一：基本公式法由位移公式得x1=vAT+aT2 x2=vA2T+a(2T)2-(vAT+aT2)将x1=24 m，x2=64 m，T=4 s代入两式求得 vA=1 m/s，a=2.5 m/s2【例10】正以30 m/s的速率运行的列车，接到前方小站的请求，在该站停靠1 min，接一个危重病人上车司机决定以大小为0.6 m/s2的加速度匀减速运动到小站且恰在小站停下，停车1 min后以1.0 m/s2的加速度匀加速启动，恢复到原来的速度行驶求由于临时停车，共耽误了多长时间答案100 s解析以列车原运动方向为正方向，设列车匀减速运动时间为t1，a10.6 m/s2 由vv0at得t1 s50 s设减速过程中行驶路程为x1，则 x1v0t1a1t3050 m(0.6)502 m750 m 停靠时间t260 s设加速运动时间为t3则由v0a2t3得t3 s30 s加速过程中行驶路程x2a2t1302 m450 m从开始制动到恢复原来速度运动共经历时间tt1t2t350 s60 s30 s140 s若列车以原速度匀速驶过xx1x2路程，需时间 t s40 s故共耽误时间ttt140 s40 s100 s课后练习：1、一辆汽车以2m/s2的加速度做匀减速直线运动，经过2秒（汽车未停下）。汽车行驶了36m。汽车开始减速时的速度是多少？ ( C )A9m/sB18m/s C20m/s D12m/s2、从车站开出的汽车，做匀加速直线运动，走了12s时，发现还有乘客没上来，于是立即做匀减速运动直至停车，汽车从开出到停止总共历时20s，行进了50 m。则汽车的最大速度为 ( A )A5m/s B2m/s C3m/s D1m/s3一个物体由静止开始做匀加速直线运动，第1 s末的速度达到4 m/s，物体在第2 s内的位移是 ( A )A6 mB8 mC4 m D16 m4、一物体运动的位移与时间关系x6t4t2t以s为单位，则(BD )A这个物体的初速度为12 msB这个物体的初速度为6 msC这个物体的加速度为8 ms2D这个物体的加速度为8 ms25、如图所示为一物体运动的速度时间图象，下列判断正确的是（ AB ）321-1-2-31234t/sv/ms-1A物体的初速度为3m/s B物体的加速度大小为1.5m/s2C2s末物体位于出发点 D前2秒的加速度与后两2秒的加速度方向相反6、某人沿直线做单方向运动，由A到B的平均速度为v1，由B到C的平均速度为v2，且AB=BC，则全程的平均速度为（ B ） A B C D 7、一物体做匀变速直线运动，某时刻的速度大小为5m/s，1s后速度的大小变为13m/s，则在这1s内该物体（ C ） A 位移大小一定小于5m B 位移大小可能小于13m C 加速度的大小可能小于13m/s2 D 加速度的大小可能小于5m/s28、一个做匀加速直线运动的物体，其位移和时间的关系是s=18t-6t2，则它的速度为零的时刻为（ A ） A 1.5s B 3s C 6s D 18s9、汽车从A点由静止开始沿直线ACB做匀变速直线运动，第4 s末通过C点时关闭发动机，再经过6 s到达B点时停止已知AB之长为30m，则下列说法正确的是( BCD )A通过C点时的速度大小为3 ms B通过C点时的速度大小为6 msC通过AC段的位移为12 m D汽车在AC与CB两段的平均速度大小相同10、两车从同一车站同时向同一方向行驶做直线运动，vt图象如图则（ BD ）A在2 s时两车相遇，乙车追上甲车B在4 s时两车相遇，乙车追上甲车 C乙车追上甲车时，乙车的速度等于甲车的速度D乙车追上甲车时，乙车的速度大于甲车的速度11、某做直线运动的质点的位移随时间变化的关系式为x=4t+2t2,x与t的单位分别是m和s,则质点的初速度和加速度分别是( C ) A.4 m/s和2 m/s2 B.0和4 m/s2 C.4 m/s和4 m/s2 D.4 m/s和012、一个做匀加速直线运动的物体,初速度v0=2.0 m/s,它在第3 s内通过的位移是4.5 m,则它的加速度为( B ) A.0.5 m/s2 B.1.0 m/s2 C.1.5 m/s2 D.2.0 m/s213、如图2-3-8所示为某物体做直线运动的图象,关于这个物体在4 s内运动的情况,下列说法中正确的是( D )A.物体始终向同一方向运动 B.加速度大小不变,方向与初速度方向相同C.4 s末物体离出发点最远D.4 s内通过的路程是4 m,位移为零14、如图所示是某一物体运动的vt图象，从图象可知速度与加速度在下列哪段时间方向相同（ BD ）A02 sB24 s C45 sD56 s15、图是某物体做直线运动的速度图象,下列有关物体运动情况判断正确的是( A )A.前2 s加速度为5 m/s2 B.4 s末物体回到出发点C.6 s末物体距出发点最远 D.8 s末物体距出发点最远16.一个正在做匀减速直线运动的物体,关于它停止之前的运动,下列说法中正确的是( D )A.速度越来越小,位移越来越小 B.速度越来越小,加速度越来越大C.加速度越来越小,位移越来越大 D.速度越来越小,位移越来越大17、如图所示是某质点运动的位移-时间图象,此过程的v-t图象是图2-3-6中的( C )18、某质点的运动图象如图2-3-3所示,则质点( BD )A.在第1 s末运动方向发生变化 B.在第2 s末运动方向发生变化C.在第2 s内速度越来越大 D.在第3 s内速度越来越大19、一辆汽车从静止开始由甲地出发，沿平直公路开往乙地，汽车先做匀加速运动，接着做匀减速运动，开到乙地刚好停止，其速度图象如图所示，那么在0t0和t03t0段时间内的 (D )A加速度大小比为13B加速度大小之比为31C位移大小之比为2 1D位移大小之比为1220、如图所示，一小球从A点由静止开始沿斜面做匀变速直线运动，若到达B点时速度为v，到达C点时速度为2v，则AB:BC等于 ( C )A11B12 C13D1421、一质点沿一直线运动，t=0时，位于坐标原点，下图为质点做直线运动的速度时间图象。由图可知：该质点的位移随时间变化的关系式是：x=_。在时刻 t=_s时，质点距坐标原点最远。从t=0到t=20s内质点的位移是_；通过的路程是_。 答案：-4t + 0.2t2 10 0 40m22、一物体从静止开始做匀加速度直线运动，加速度为0.5m/s2，则此物体在4s末的速度为 2 m/s；在4s初的速度为 1.5 m/s。23、摩托车从静止开始，以a1=1.6m/s2的加速度沿直线匀加速行驶了t1=4s后，又以a2=1.2m/s2的加速度沿直线匀加速行驶t2=3s，然后做匀速直线运动，摩托车做匀速直线运动的速度大小是 10m/s 。24、一个质点沿直线做匀加速运动，依次经过A、B、C三点，测得从A到B的时间tAB4 s，经过B的瞬时速度vB11 ms，从B到C的时间tBC6 s，到达C点的瞬时速度vC20 ms，则经过A点的速度vA_5_ms.25、汽车以10ms速度行驶，刹车后获得2ms2的加速度，则刹车后4s通过的路程是_24_m，刹车后8 s通过的路程是_25_m26、一汽车在平直公路上以v010 ms的速度匀速行驶，从某一时刻起开始刹车，加速度大小为a2 ms2，此时刻在汽车后面s7 m远处有一自行车以v4 ms的速度匀速运动，汽车开始刹车后，自行车追赶汽车所需的时间t是_8S_.27、在平直公路上，一汽车的速度为15m/s。从某时刻开始刹车，在阻力作用下，汽车以2m/s2的加速度运动，问刹车后10s末车离开始刹车点多远？28、汽车以10 m/s的速度在平直公路上匀速行驶,刹车后经2 s速度变为6 m/s.求:(1)刹车后2 s内前进的距离及刹车过程中的加速度; (2)刹车后前进9 m所用的时间;(3)刹车后8 s内前进的距离.答案:(1)16 m -2 m/s2 (2)1 s (3)25 m29、一辆小汽车进行刹车试验,在1s内速度由8ms减至零.按规定速度8ms的小汽车刹车后滑行距离不得超过5.9m.假定刹车时汽车作匀减速运动,问这辆小汽车刹车性能是否符合要求?答案 4m,符合要求 30、某市规定，车辆在市区内行驶的速度不得超过40 kmh，有一辆车遇到情况紧急刹车后，经时间t1.5 s停止，量得路面刹车的痕迹长为s9 m，问该车是否违章刹车后做匀减速运动? 设车刹车前的速度为v0则有2axv02v0t解得：v012ms43.2 kmh40 kmh，故该车违章答案：该车违章31、汽车从静止开始作匀变速直线运动,第4s末关闭发动机,再经6s停止,汽车一共行驶了30m,求（1）在运动过程中的最大速度为多少？（2）汽车在两段路程中的加速度分别为多少？（3）根据所求数据画出速度时间图象？答案1.5m/s.,一1m/s2 32、某汽车刹车时能产生的最大加速度值为10m/s2，司机发现前方有危险时，0.7s后才能作出反应，马上制动，这个时间称为反应时间。若汽车以20m/s的速度行驶，问停车距离为多少？答案：34m33、升降机由静止开始