几何体的三视图与直观图复习讲义

1 画画几何几何体的体的三三视图视图时时 主主视图视图反映几何体的反映几何体的 高和高和宽宽 左左视图视图反映几何体的高和反映几何体的高和长长 2 2 主视图主视图先看有多少列 再看每列中最多的块先看有多少列 再看每列中最多的块 数就画出来了 数就画出来了 左视图左视图也一样 先看有多少列再看每也一样 先看有多少列再看每 列中最多的块数就列中最多的块数就 ok 了 了 3 主视图的列数 俯视图的列数 每一行上的主视图的列数 俯视图的列数 每一行上的 个数 个数 这一列这一列俯视图俯视图上最大的数字 上最大的数字 左视图的列数 俯视图的行数 每一行上的个左视图的列数 俯视图的行数 每一行上的个 数 数 这一行这一行俯视图俯视图上最大的数字上最大的数字 几何体的三视图与直观图复习讲义 1 多面体的结构特征 1 棱柱的上下底面 其余各面都是四边形 并且每相邻两个四边形的公共边 都互相 2 棱锥的底面是任意多边形 侧面是有一个 的三角形 3 棱台可由 的平面截棱锥得到 其上下底面的两个多边形 2 旋转体的结构特征 1 圆柱可以由矩形绕其一边所在直线旋转得到 2 圆锥可以由直角三角形绕其 所在直线旋转得到 3 圆台可以由直角梯形绕直角腰所在直线或等腰梯形绕上下底中点的连线旋转得到 也可由平行于圆锥底面的平面截圆锥得到 4 球可以由半圆或圆绕其 旋转得到 3 空间几何体的三视图 空间几何体的三视图是用正投影得到 这种投影下与投影面平行的平面图形留下的影子 与平面图形的形状和大小是 的 三视图包括 4 空间几何体的直观图 1 在已知图形中建立直角坐标系 xOy 画直观图时 它们分别对应 x 轴和 y 轴 两轴 交于点 O 使 x O y 它们确定的平面表示水平平面 2 已知图形中平行于 x 轴或 y 轴的线段 在直观图中分别画成平行于 和 的线段 3 已知图形中平行于 x 轴的线段 在直观图中保持原长度不变 平行于 y 轴的线段 长度为原来的 难点正本 疑点清源 1 画空间几何体的三视图的两个步骤 第一步 确定三个视图的形状 第二步 将这三个视图摆放在平面上 在绘制三视图时 分界线和可见轮廓线都用实线画出 被遮挡的部分的轮廓线用虚线表示出来 即 眼见 为实 不见为虚 2 三视图与空间几何体中的几何量的关系 空间几何体的数量关系也体现在三视图中 主视图和左视图的 高平齐 主视图和俯 视图的 长对正 左视图和俯视图的 宽相等 其中 主视图 左视图的高就是空 间几何体的高 主视图 俯视图中的长就是空间几何体的最大长度 左视图 俯视图中 的宽就是空间几何体的最大宽度 要尽量按照这个规则画空间几何体的三视图 课前小测试 1 课本改编题 利用斜二测画法得到的以下结论 正确的是 写出所有正确的 序号 三角形的直观图是三角形 平行四边形的直观图是平行四边形 正方形的直观图 是正方形 圆的直观图是椭圆 菱形的直观图是菱形 2 课本改编题 如果圆锥的侧面展开图是半圆 那么这个圆锥的顶角 圆锥轴截面中两条母 线的夹角 是 3 一个几何体的主视图为一个三角形 则这个几何体可能是下列几何体中的 填 入所有可能的几何体前的编号 三棱锥 四棱锥 三棱柱 四棱柱 圆锥 圆柱 4 以下命题 直角三角形绕一边所在直线旋转得到的旋转体是圆锥 夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是圆柱 圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台 棱锥截去一个小棱锥后剩余部分是棱台 其中正确的命题序号是 5 2011 浙江 若某几何体的三视图如图所示 则这个几何体的直观图可以是 题型一 空间几何体的结构特征 例 1 设有以下四个命题 底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体 底面是矩形的平行六面体是长方体 直四棱柱是直平行六面体 棱台的相对侧棱延长后必交于一点 其中真命题的序号是 探究提高 解决该类题目需准确理解几何体的定义 要真正把握几何体的结构特征 并 且学会通过反例对概念进行辨析 即要说明一个命题是错误的 设法举出一个反例即 可 下面是关于四棱柱的四个命题 若有两个侧面垂直于底面 则该四棱柱为直四棱柱 若过两个相对侧棱的截面都垂直于底面 则该四棱柱为直四棱柱 若四个侧面两两全等 则该四棱柱为直四棱柱 若四棱柱的四条对角线两两相等 则该四棱柱为直四棱柱 其中 真命题的编号是 题型二 几何体的三视图 例 2 已知三棱锥的主视图与俯视图如图所示 俯视图是边长为 2 的正三角形 则该三棱 锥的左视图可能为 探究提高 根据几何体的直观图 画三视图 要根据三视图的画法规则进行 要严格按 以下几点执行 三视图的安排位置 主视图 左视图分别放在左 右两边 俯视图放在主视图的下边 注意实虚线的区别 一个长方体去掉一个小长方体 所得几何体的主视图与左视图分别如图所示 则该几何体的俯视图为 题型三 空间几何体的直观图 例 3 已知 ABC 的直观图 A B C 是边长为 a 的正三角形 求原 ABC 的面积 探究提高 对于直观图 除了了解斜二测画法的规则外 还要了解原图形面积 S 与其直 观图面积 S 之间的关系 S S 能进行相关问题的计算 2 4 如图所示 直观图四边形 A B C D 是一个底角 为 45 腰和上底均为 1 的等腰梯形 那么原平面图形的面积是 题型四 几何体的截面问题 例 4 棱长为 2 的正四面体的四个顶点都在同一个球面上 若过该 球球心的一个截面如图所示 求图中三角形 正四面体的截面 的面积 探究提高 解决这类问题的关键是准确分析出组合体的结构特征 发 挥自己的空间想象能力 把立体图和截面图对照分析 有机结合 找 出几何体中的数量关系 为了增加图形的直观性 常常画一个截面圆作为衬托 在棱长为 6 的正四面体内有一个内切球 球与正四面体 的四个面都相切 经过四面体的一条棱及高作截面如图 求内切 球的半径 A 组 专项基础训练题组 一 选择题 1 给出四个命题 各侧面都是全等四边形的棱柱一定是正棱柱 对角面是全等矩形的六面体一定是长 方体 有两侧面垂直于底面的棱柱一定是直棱柱 长方体一定是正四棱柱 其中正确的命题个数是 A 0 B 1 C 2 D 3 2 下图是一个正方体的展开图 将其折叠起来 变成正方体后的图形是 3 2011 课标全国 在一个几何体的三视图中 主视图和俯视图如图所示 则相应的左视图 可以为 二 填空题 4 如图所示 E F 分别为正方体 ABCD A1B1C1D1的面 ADD1A1 面 BCC1B1的中心 则四边形 BFD1E 在该正方体的面 DCC1D1上 的投影是 填序号 5 2010 辽宁 如图 网格纸的小正方形的边长是 1 在其上用粗线 画出了某多面体的三视图 则这个多面体最长的一条棱的长为 三 解答题 6 已知圆锥的底面半径为 r 高为 h 且正方体 ABCD A1B1C1D1内接于圆锥 求这个正 方体的棱长 B 组 专项能力提升题组 一 选择题 1 已知某一几何体的主视图与左视图如图所示 则在下列图形中 可以是该几何体的俯视 图的图形为 A B C D 2 一个正方体截去两个角后所得几何体的主视图 左视图如图 所示 则其俯视图为 3 在棱长为 1 的正方体 ABCD A1B1C1D1中 过对角线 BD1的一个平面交 AA1于 E 交 CC1于 F 得四边形 BFD1E 给出下列结论 四边形 BFD1E 有可能为梯形 四边形 BFD1E 有可能为菱形 四边形 BFD1E 在底面 ABCD 内的投影一定是正方形 四边形 BFD1E 有可能垂直于平面 BB1D1D 四边形 BFD1E 面积的最小值为 6 2 其中正确的是 A B C D 二 填空题 4 如图 点 O 为正方体 ABCD A B C D 的中心 点 E 为 面 B BCC 的中心 点 F 为 B C 的中点 则空间四边形 D OEF 在该正方体的各个面上的投影可能是 填出 所有可能的序号 5 对于四面体 ABCD 下列命题正确的是 写出所有正确命题的编号 相对棱 AB 与 CD 所在的直线异面 由顶点 A 作四面体的高 其垂足是 BCD 三条高线的交点 若分别作 ABC 和 ABD 的边 AB 上的高 则这两条高所在的直线异面 分别作三组相对棱中点的连线 所得的三条线段相交于一点 最长棱必有某个端点 由它引出的另两条棱的长度之和大于最长棱 6 课本精选题 用半径为 r 的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒 那么这个圆锥筒的高是 三 解答题 7 已知正三棱锥 V ABC 的主视图 左视图和俯视图如图所示 1 画出该三棱锥的直观图 2 求出左视图的面积 怎么根据三视图用斜二测画法画直观图 比如这个图形 2013 09 30 20 38 提问者悬赏 5 分 咖姐咖哥咖妹 分类 数学 浏览 455 次 向左转 向右转 斜二轴测图的画法 取 45 度斜线 在斜线方向 只画出实际长度的一半 即二分之一 对于本例 直接用左视图 向右上方画 45 度斜线 在斜线方向上 取相关长度尺寸的 1 2 原左 视图做为斜二轴测图的正面 尺寸仍然取 1 1 因为斜二轴测图的这个特点 所以一般多用于 轴类零件的画法 因它的正面 可以画的是 1 1 的圆形 在轴长方向 取 1 2 的长度 所以画图更 快捷 如果用正等轴测图 圆就变成的椭圆 虽然轴长方向可以用 1 1 画出 但画出来后 从视觉上就 显得大了些 还需用系数把它整体缩小 由三视图还原成实物图由三视图还原成实物图 说课说课 尊敬的各位评委 各位老师 大家好 我说课的内容是北师大版普通高中课程标准实验教科书 必修 2 第一章立体几何初 步 3 2 由三视图还原成实物图 下面我就教材分析 教学目标 教学方法与手段 教 学过程的设计 板书设计 评价反思等几方面内容与大家进行共勉 一 一 教材分析教材分析 三视图是新课标新增内容之一 在整个高中课程和高考中都占有重要地位 中学生在 初中阶段对三视图有了初步了解 高中阶段则在初中的基础之上 进一步掌握简单空间图 形 柱体 锥体 球体和台体以及它们的简单组合或者切割 三视图的画法 并能够识别 三视图表示的立体模型 本节第一课时已经学习了根据立体图形画出三视图和三视图的画 法规则 学生们对简单几何体的三视图有了一些了解 此外 由三视图还原成实物图 的知识与我们日常生活 生产 科学研究等领域有着密切的联系 因此学习这部分内容有 着广泛的现实意义 而且 由三视图还原成实物图是培养学生空间想象能力的重要载体 对整个立体几何的学习有深刻影响 要引起足够重视 二 二 教学目标分析教学目标分析 一 教学目标 一 教学目标 新课标指出 三维目标 是一个密切联系的有机整体 要求我们在教学中以知识技能的 培养为主线 渗透情感态度与价值观 并把这两者充分体现在教学过程中 教学的主体是 学生 因此目标的制定和设计必须从学生的角度出发 根据由三视图还原成实物图在教材 内容中的地位与作用 结合学生学习情况 本节课教学应实现如下教学目标 知识目标知识目标 能根据三视图想象出几何体的大致形状并画出几何体的直观草图 从而进一步 熟悉简单几何体的结构特征 能力目标能力目标 培养和发展学生分析问题的能力和作图能力 着重培养其空间想象能力 通过 直观感知 操作确认 培养学生的应用意识 情感目标情感目标 感受数学就在身边 提高学生的学习立体几何的兴趣 培养学生大胆创新 勇 于探索 互相合作的精神 二 教学重难点 二 教学重难点 教学重点教学重点 根据三视图想象对应基本几何体形状 教学难点教学难点 根据三视图想象几何体的组合情况或者切割情况 三 三 教学方法和教学手段教学方法和教学手段 教学手段教学手段 多媒体教学 Smart Board 与传统教学相结合 教学方法教学方法 直观教学 启发式教学结合自主 合作 探究的教学形式 在教学中利用强大的 信息技术教学手段 化抽象为具体 由静到动 加强直观性和启发性 使学生容易理解并印象 深刻 利用多媒体课件 精心构建学生自主探究的教学平台 启发引导学生观察 想象 思考 实践 从 而发现规律 获得知识 体验成功 四 四 教学过程设计教学过程设计 一 一 复习旧知 温故知新复习旧知 温故知新 提问 上节课我们学习了通过实物图画三视图 那么三视图画法步骤有哪些 引导学生积极思考思考并回答 课件展示画法步骤 提问 三视图画法规则 九字诀 是什么 长对正 宽相等 高平齐 针对展示的画法规则和步骤 我设计了以下练习题 让学生自己动手画三视图 在学生画 的过程中巡视并纠正其中的错误 练习 画出下面几何体的三视图 实物图 动 动 动 动 动 动 动 动 动 动 动 动 动 动 动 动 动 动 设计意图 复习上节课所学知识 加深对三视图画法规则的理解 与新知识形成自然衔接 加以巩固训练 使知识要点的掌握更加牢固 为本节课新知识做准备 练习中动画演示三 视图形成过程 生动逼真 激发了学生的求知欲 二 创设情境 引入新课 二 创设情境 引入新课 提问 大家看过电影 长江 7 号 吗 电影 长江 7 号 中 记者采访三个看到 UFO 的市民 市民 A 说 我从正南方向看到 的飞碟像图 1 那样 市民 B 说 我从正西方向看到的和 A 一样 市民 C 说 我 当时在飞机上 我向下看到的飞碟像图 2 那样 提问 你能根据三位市民的描述想象出这个 UFO 的形状吗 并让 1 2 名学生根据视图 描述飞碟的大致形状 设计意图 这是一个由三视图还原实物图的比较有趣的生活例子 同时也是学生比较感兴 趣的电影素材 通过这个例子引入 可以很好的激发学生学习的热情 让学生觉得学有实 用 三 实例分析 探索新知 三 实例分析 探索新知 提问 根据下面的三视图想象其代表的实物图是怎样的 图图2 2图图1 1 隐藏三视图显示三视图 几何体1 几何体2 几何体3 提问 怎样根据三视图还原成实物图 引导学生联系画三视图要点思考还原要点 并投影以下归纳结果 将三视图还原成实物图 我们可以从以下几个方面考虑 通过视图分析几何体是简单几何体还是经过组合或者切割而成的几何体 联系三个视图分析该几何体的各基本部分的形状 如主视和左视都是三角形的一般为锥体 弄清楚视图上各图线的意义 是轮廓线还是轮廓线的投影 注意图中的虚线和实线 将画出的实物图和三视图对照检查 以上要点学生不一定会全部归纳出 且有的不易理解 在讲解时结合一些实例分析 设计意图 从简单的圆柱 圆锥 圆台这三个简单几何体的三视图出发 并结合三个图形 的变化过程 说明由三视图还原实物图只是画三视图规则的逆用 使学生容易理解 从而 归纳得出三视图还原的基本要点 四 例题精讲 加深理解 四 例题精讲 加深理解 学以致用 我设计了如下两个例题 教材例 6 和例 7 16 P 例例 1 如图是 4 个三视图和 4 实物图 请将三视图和实物图配对 图4 图3 图2图1 例例 2 根据三视图想象几何体原形 并画出物体的实物草图 1 1 俯俯视视图图 左左视视图图主主视视图图 2 2 俯俯视视图图 左左视视图图主主视视图图 例 1 是三视图和实物图配对练习 浅显易懂 引导学生注意比较物体及其三视图之间的联 系 为例 2 做铺垫 循序渐进 在例 2 的两个例子中 启发 指导学生根据还原的要点想象实物图 并绘制实物图 提高 学生作图能力 在例题中通过动画展示几何体原型 形象直观 激发学生学习的热情 两个例题层层递进 加深了对三视图是个整体的理解 也培养学生对三视图和几何体的转 化能力 讲解例题主要以教师就画法规则和还原要点引导 提问 学生积极思考并相互讨 论的形式完成 五 当堂训练 巩固深化 五 当堂训练 巩固深化 练习练习 习题 7 根据以下三视图想象物体原型 并画出物体的实物图 20 P 主 主 主 主 主 主 主 主 主 设计意图 将教师的 授 和学生的 受 结合起来 当堂检验学习成果 通过练习 巩 固和加深对还原方法的理解 六 变式引申 合作探究 六 变式引申 合作探究 为了使更多的学生参与到课程中来 调动学生的积极性 培养学生主动获取知识 运用知 识解决问题的能力 我设置了以下的课程活动 课程活动 课程活动 用若干个边长为 1 的小正方体搭成一个几何体 其正视图和侧视图是如图所示 的图形 则这个几何体的最大体积和最小体积分别是多少 主主视视图图左左视视图图 在该课程活动中 我采用交流合作和讨论探究的方式 我把学生以小组为单位分组 用 4 5 分钟讨论该题中几何体的组成方式 然后各小组推举代表在黑板上画出满足条件的实 物草图 此题对作图能力要求比较高 而学生例题几何知识还很欠缺 所以画图时不作过 高要求 并比较各小组的成绩 设计意图 设置带有游戏色彩的练习 让学生在游戏中感受学习的快乐 在快乐中又获得 体验 在体验中感知竞争 引导学生根据直观感知 亲手操作以及运用已有经验 进行猜 想 假设 从而探索 获得知识 由这个例子说明空间几何体形状的改变会在三视图中的某个视图上体现 但不一定每个视 图都改变 进而得到三视图是个整体 是几何体的平面表示 提问 同学们思考下符合该主视图和左视图的几何体还可以是由多少个小正方形怎样搭成 的 这个问题留作学生课余时间去探讨 以激发学生学习的兴趣 七 总结概括 课后升华 七 总结概括 课后升华 在总结中我设计了以下 2 个问题 问题 1 通过本节课的学习 你学到了哪些知识 问题 2 引导学生归纳总结 通过以上例子 将三视图还原成实物