单摆运动的描述

单摆运动的描述单摆运动的描述 1 无阻尼单摆 小角度 2 0 sin 0 上式中令 得到如下方程 sin 2 0 1 0 上述方程即为相图的方程 可由此方程画出无阻尼单摆在小角度下的相图 代码如下 w0 2 E 2 时 syms x y x 表示角度 y 表示角速度 ezplot x 2 4 y 2 4 hold on E 3 时 syms x y ezplot x 2 4 y 2 6 hold on E 4 时 syms x y ezplot x 2 4 y 2 8 hold on E 0 5 时 syms x y ezplot x 2 4 y 2 1 hold on xlabel 角度 ylabel 角速度 title 无阻尼小角度单摆运动相图 上图中不同的同心椭圆表示在不同的能量下单摆的运动相图 在画上图时 令 改变能量 E 得到一簇同心椭圆 改变会改变椭圆的形状 当 0 2 0 时 椭圆变成圆 0 1 下面时无阻尼小角度单摆的运动轨迹分析 此时只要求解上述的微分方程 然后改变其中的初始条件即可 其中求 00 解微分方程的代码如下 w0 1 时 初始角度为 pi 4 时 dsolve D2y y 0 y 0 pi 4 Dy 0 0 t 用 y 表示角度 Dy 表示角速度 初始角度为 pi 3 时 dsolve D2y1 y1 0 y1 0 pi 3 Dy1 0 0 t 此时令 y1 为角度 初始角度为 pi 2 时 dsolve D2y2 y2 0 y2 0 pi 2 Dy2 0 0 t 此时用 y3 表示角度 画图的代码如下 初始角度为 pi 4 时 t 0 pi 50 4 pi y pi cos t 4 plot t y hold on 初始角度为 pi 3 时 y pi cos t 3 plot t y r hold on 初始角度为 pi 2 时 y pi cos t 2 plot t y g hold on xlabel 时间 ylabel 角度 title 无阻尼小角度单摆在不同初始角度下的运动轨迹 legend 初始角度为 pi 4 的图 初始角度为 pi 3 的图 初始角度为 pi 2 的图 出的图如下 当初始角度固定不变 改变初始角速度时 也会画出图 此时将初始角度固定 为 pi 4 画这些图首先需要求解运动方程 求解方法和上述相同 求解微分方 程的代码如下 研究初始角度相同 初始角速度不同的时候单摆的运动轨迹 此时都令初始的角度为 pi 4 初始角速度为 0 时 dsolve D2y y 0 y 0 pi 4 Dy 0 0 t 用 y 表示角度 Dy 表示角速度 初始角速度为 1 时 dsolve D2y y 0 y 0 pi 4 Dy 0 1 t 用 y 表示角度 Dy 表示角速度 初始角速度为 2 时 dsolve D2y y 0 y 0 pi 4 Dy 0 2 t 用 y 表示角度 Dy 表示角速度 初始角速度为 3 时 dsolve D2y y 0 y 0 pi 4 Dy 0 3 t 用 y 表示角度 Dy 表示角速度 下面是画图的代码 t 0 pi 50 4 pi w0 0 y pi cos t 4 plot t y hold on w0 1 y sin t pi cos t 4 plot t y r hold on w0 2 y 2 sin t pi cos t 4 plot t y g hold on w0 3 y 3 sin t pi cos t 4 plot t y c hold on xlabel 时间 ylabel 角度 title 相同初始角度 不同初始角速度下的运动轨迹 legend 初始角速度为 0 的图 初始角速度为 1 的图 初始角速度为 2 的图 初始角速 度为 3 的图 画出的图如下 2 倒立摆分析 倒立摆的方程为 和小角度摆相同的是 同样通过求解方程得出运动轨 0 迹 根据上式直接画出相图 画图的代码如下 倒立摆的运动相图绘制 w0 1 syms y x E 0 时 h ezplot y 2 x 2 hold on set h color c E 1 时 ezplot y 2 x 2 2 hold on E 2 时 h ezplot y 2 x 2 4 hold on set h color r E 3 时 h ezplot y 2 x 2 6 hold on set h color b E 4 时 h ezplot y 2 x 2 8 hold on set h color k xlabel 角度 ylabel 角速度 title 倒立摆的相图 legend E 0 的图 E 1 的图 E 2 的图 E 3 的图 E 4 的图 画出的图如下 其中 E 0 的图表示渐近线 下面分析倒立摆的运动轨迹 固定初始角速度为 0 改变初始角度 求解微分方程代码如下 倒立摆的运动轨迹求解 初始角速度为 0 改变初始角度 初始角度为 pi 4 dsolve D2y y 0 y 0 pi 4 Dy 0 0 t 初始角度为 pi 3 dsolve D2y y 0 y 0 pi 3 Dy 0 0 t 初始角度为 pi 6 dsolve D2y y 0 y 0 pi 6 Dy 0 0 t 画图的代码如下 初始角速度为 0 初始角度为 pi 4 t 0 0 01 2 y pi exp t 8 pi exp t 8 plot t y hold on 初始角度为 pi 3 y pi exp t 6 pi exp t 6 plot t y r hold on 初始角度为 pi 6 y pi exp t 12 pi exp t 12 plot t y g xlabel 时间 ylabel 角度 title 倒立摆在不同初始角度下的运动轨迹 legend 初始角度为 pi 4 的图 初始角度为 pi 3 的图 初始角度为 pi 6 的图 画出的图如下 固定初始角度为 pi 4 改变初始角速度 求解微分方程代码如下 初始角度为 pi 4 改变初始角速度 角速度为 1 dsolve D2y y 0 y 0 pi 4 Dy 0 1 t 角速度为 2 dsolve D2y y 0 y 0 pi 4 Dy 0 2 t 角速度为 3 dsolve D2y y 0 y 0 pi 4 Dy 0 3 t 画图的代码如下 初始角度为 pi 4 改变初始角速度 w0 1 t 0 0 01 2 y exp t pi 8 1 2 exp t pi 8 1 2 plot t y hold on w0 2 y exp t pi 8 1 exp t pi 8 1 plot t y r hold on w0 3 y exp t pi 8 3 2 exp t pi 8 3 2 plot t y g xlabel 时间 ylabel 角度 title 倒立摆在不同初始角速度下的运动轨迹 legend 角速度为 1 角速度为 2 角速度为 3 画出的图如下 3 有阻尼单摆 有阻尼单摆的运动方程为 2 0 其中是阻尼系数 有阻尼单摆分为三种情况 若阻尼 临界阻尼和过阻尼 下面画图来显示这三 种情况的轨迹 画运动轨迹就是求解上述微分方程的问题 代码如下 阻尼单摆的运动轨迹绘制 若阻尼下 阻尼系数为 0 1 dsolve D2y 0 2 Dy y y 0 pi 4 Dy 0 0 t 0 0 01 60 y pi exp t 10 cos 3 11 1 2 t 10 4 11 1 2 pi exp t 10 sin 3 11 1 2 t 10 132 plot t y hold on 阻尼系数逐渐增大 到临界阻尼状态 阻尼系数为 1 dsolve D2y 2 Dy y y 0 pi 4 Dy 0 0 y pi exp t 4 pi t exp t 4 plot t y r 阻尼系数逐渐增大 到过阻尼状态 阻尼系数为 2 dsolve D2y 4 Dy y y 0 pi 4 Dy 0 0 y exp t 3 1 2 2 pi 8 pi 3 1 2 12 3 1 2 pi exp t 3 1 2 2 3 1 2 2 24 plot t y g xlabel 时间 ylabel 角度 title 有阻尼单摆在不同阻尼系数下的运动轨迹 legend 弱阻尼下的运动轨迹 临界阻尼下的运动轨迹 过阻尼下的运动轨迹 画出的图如下 下面是相图绘制 相图就是绘制 的一阶导和 的关系式 以初始角度为 pi 4 初始角速度为 0 的单摆运动为例 求出其运动轨迹后再画出相图 其中 画相图的代码如下 syms t y1 y y