第3章 逻辑代数基础(1)

3 1引言 对数字电路中的信号进行分析 运算 所使用的数学工具是逻辑代数 本课程主要讨论 第3章逻辑代数基础 1 逻辑变量和逻辑常量 2 基本逻辑运算与简单组合逻辑运算 3 逻辑代数定理 4 逻辑式的代数化简法 5 最大项和最小项的定义 性质 6 逻辑函数的与或标准型和或与标准型 7 卡诺图及逻辑式的卡诺图化简法 逻辑变量 使用字母 如A B C 表示变量 只有0和1两种取值 表示事件的发生与否 电平的高低 指示灯的亮灭 开关的通断等二值信息 逻辑常量 在逻辑代数中 只有0和1两个逻辑常量 与逻辑电路图 3 2逻辑运算 3 2 1基本逻辑运算 1 逻辑变量与逻辑常量 2 逻辑与运算 定义 A和B代表的事件都发生 F代表的事件才会发生 表达式 F A B 与逻辑真值表 或逻辑电路图 3 逻辑或运算 定义 A和B代表的事件有一个发生 F代表的事件就会发生 表达式 F A B 或逻辑真值表 非逻辑电路图 4 逻辑非运算 定义 A代表的事件不发生 F代表的事件才会发生 表达式 非逻辑真值表 a 特定外形符号 5 逻辑运算符号 b 矩形符号 3 2 2组合逻辑运算 1 与非 2 或非 3 异或 4 同或 5 与或非 a 特定外形符号 b 矩形符号 3 2 3逻辑运算定律 1 交换律 2 结合律 3 分配律 3 3逻辑代数的基本定理和基本规则 3 3 1基本定理 定理1 定理4为变量与常量的关系 定理5 定理8为变量自身的关系 定理9 11 13为与或型关系 定理10 12 14为或与型关系 定理15 定理17为求反的逻辑关系 也称为摩根定理 3 3 2基本规则 在任一含有变量A的逻辑等式中 如果用另一个逻辑函数F去代替所有的变量A 则等式仍然成立 1 代入规则 对偶式 逻辑函数式F中 进行加乘互换 0和1互换 得到的新逻辑式称为F的对偶式 2 对偶规则 对偶规则 有一逻辑等式 对等号两边进行对偶变换 得到的新逻辑函数式仍然相等 逻辑函数式F中 进行加乘互换 0和1互换 原反互换 得到的新的逻辑式为 3 反演规则 3 4逻辑函数式的代数化简法 1 逻辑表达式的多样性 例3 4 1 化简逻辑式 解 2 例题 例3 4 2 化简逻辑式 解 例3 4 3 化简逻辑式 解 例3 4 4 化简逻辑式 解 例3 4 5 化简逻辑式 解 最小项 n个变量的最小项是这n个变量的逻辑乘 每个变量以原变量或反变量的形式出现且只出现一次 3 5逻辑函数的卡诺图化简法 3 5 1最小项与最大项 1 最小项与最大项的定义 最大项 n个变量的最大项是这n个变量的逻辑和 每个变量以原变量或反变量的形式出现且只出现一次 三变量最小项和最大项的表示方法 1 给定n个变量的一组取值 这n个变量的2n个最小项中只有一个等于1 2n个最大项中只有一个等于0 2 最小项和最大项的性质 2 全部最小项之和恒等于1 全部最大项之积恒等于0 3 任意两个最小项之积等于0 任意两个最大项之和等于1 4 若干个最小项的和等于其余最小项和的反 5 最小项的反是最大项 最大项的反是最小项 对于2变量 对于3变量 与或标准型 任何一个逻辑式都可以表示成若干个最小项和的形式 3 与或标准型和或与标准型 或与标准型 任何一个逻辑式都可以表示成若干个最大项积的形式 任何n个变量的卡诺图是一块矩形区域 该区域被划分为2n个小方格 每个小方格代表一个最小项 所有最小项按一定顺序排列 使几何相邻的最小项在逻辑上也相邻 3 5 2用卡诺图表示逻辑函数 因为逻辑函数能够表示为若干个最小项和的形式 所以可以用卡诺图来表示逻辑函数 方法一 将逻辑函数表示为 与或标准型 如果某个最小项在与或标准型中出现 则在卡诺图中对应的小方格位置填1 否则填0 有时0也可以省略不填 例3 5 1 用卡诺图表示逻辑函数 解 方法二 将逻辑式表示成与或式 与项代表的最小项在卡诺图中出现在行变量与列变量的交叉位置 在与项中未出现的变量既以原变量形式出现 也以反变量形式出现 例3 5 2 用卡诺图表示逻辑函数 解 卡诺图中相邻的2i个最小项组成矩形可以消去i个变量 3 5 3卡诺图化简法 1 卡诺图化简法的原理 1 将逻辑函数表示为与或式 2 卡诺图化简法的步骤 2 用卡诺图表示该逻辑函数 3 用尽可能少 尽可能大的矩形框去包含卡诺图中所有的1 矩形框的大小为2i 4 将所有矩形框代表的与项读出并相加 即为最简与或逻辑式 例3 5 3 用卡诺图表示逻辑函数 解 或 用卡诺图表示逻辑函数的结果不唯一 例3 5 4 用卡诺图表示逻辑函数 解 例3 5 5 用卡诺图表示逻辑函数 解 例3 5 6 用卡诺图表示逻辑函数 解 例3 5 7 用卡诺图表示逻辑函数 解 虚线框内的4个最小项均为其它4个矩形框所覆盖 也就是说没有自己独有的最小项 这种现象称为完全覆盖 被完全覆盖的与项是多余的 例3 5 8 用卡诺图表示逻辑函数 解 当逻辑变量被赋予实际意义时 并非所有的取值组合都会出现 那些不可能出现的取值组合对应的最小项恒等于0 这些恒等于0的最小项既可以加入到逻辑式中 也可以从逻辑式中去掉 对逻辑功能没有影响 这种最小项称为无关项 也称为约束项 禁止项 任意项 3 6具有无关项的逻辑函数的化简 例3 6