2016年天津高考数学文科试卷及答案

2016 年普通高等学校招生全国统一考试 天津卷 年普通高等学校招生全国统一考试 天津卷 数数 学 文史类 学 文史类 本试卷分为第 卷 选择题 和第 非选择题 两部分 共 150 分 考试用时 120 分钟 第 卷 1 至 2 页 第 卷 3 至 5 页 答卷前 考生务必将自己的姓名 准考证号填写在答题卡上 并在规定位置粘贴考试用条形码 答卷时 考生务必将答案涂写在答题卡上 答在试卷上的无效 考试结束后 将本试卷和答题卡一并交回 祝各位考生考试顺利 第第 I 卷卷 注意事项 1 每小题选出答案后 用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑 如需改动 用橡皮擦干净后 再选 涂其他答案标号 2 本卷共 8 小题 每小题 5 分 共 40 分 参考公式 参考公式 如果事件 A B 互斥 那么 如果事件 A B 相互独立 P A B P A P B P AB P A P B 柱体的体积公式 V 柱体 Sh 圆锥的体积公式 V Sh 3 1 其中 S 表示柱体的底面积其中 其中 S 表示锥体的底面积 h 表示圆锥的高 h 表示棱柱的高 一 选择题 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的 1 已知集合 则 3 2 1 A 12 AxxyyB AB A B C D 3 1 2 1 3 2 3 2 1 2 甲 乙两人下棋 两人下成和棋的概率是 甲获胜的概率是 则甲不输的概率为 2 1 3 1 A B C D 6 5 5 2 6 1 3 1 3 将一个长方形沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥 得到的几何体的正视图与俯视图如图所示 则 该几何体的侧 左 视图为 4 已知双曲线的焦距为 且双曲线的一条渐近线与直线垂直 0 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 5202 yx 则双曲线的方程为 A B 1 4 2 2 y x 1 4 2 2 y x C D 1 5 3 20 3 22 yx 1 20 3 5 3 22 yx 5 设 则 是 的0 xRy yx yx A 充要条件 B 充分而不必要条件 C 必要而不充分条件 D 既不充分也不必要条件 6 已知是定义在上的偶函数 且在区间上单调递增 若实数满足 xfR 0 a 2 2 1 ff a 则的取值范围是a A B C D 2 1 2 3 2 1 2 3 2 1 2 3 7 已知 ABC 是边长为 1 的等边三角形 点分别是边的中点 连接并延长到点 ED BCAB DEF 使得 则的值为 EFDE2 AF BC A A B C D 8 5 8 1 4 1 8 11 8 已知函数 若在区间内没有零点 则 0 2 1 sin 2 1 2 sin 2 x x xfRx xf 2 的取值范围是 A B C D 8 1 0 1 8 5 4 1 0 8 5 0 8 5 4 1 8 1 0 第第 卷卷 注意事项 注意事项 1 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上 2 本卷共 本卷共 12 小题 共计小题 共计 110 分分 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 6 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 30 分分 9 i 是虚数单位 复数满足 则的实部为 z 1 2i z z 10 已知函数为的导函数 则的值为 2 1 x f xxefx f x 0 f 11 阅读右边的程序框图 运行相应的程序 则输出的值为 S 第 11 题图 12 已知圆 C 的圆心在 x 轴的正半轴上 点在圆 C 上 且圆心到直线的距离为 0 5 M20 xy 则圆 C 的方程为 4 5 5 13 如图 AB 是圆的直径 弦 CD 与 AB 相交于点 E BE 2AE 2 BD ED 则线段 CE 的长为 14 已知函数在 R 上单调递减 且关于 x 的方程 2 43 3 0 01 log 1 1 0 a xaxa x f xaa xx 且 恰有两个不相等的实数解 则的取值范围是 2 3 x f x a 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 小题 共小题 共 80 分分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 15 本小题满分 13 分 在中 内角所对应的边分别为 a b c 已知 ABC CBA sin23 sinaBbA 求 B 若 求 sinC 的值 1 cosA 3 16 本小题满分 13 分 某化肥厂生产甲 乙两种混合肥料 需要 A B C 三种主要原料 生产 1 车皮甲种肥料和生产 1 车皮乙种肥料 所需三种原料的吨数如下表所示 现有 A 种原料 200 吨 B 种原料 360 吨 C 种原料 300 吨 在此基础上生产甲 乙两种肥料 已知生产 1 车 皮甲种肥料 产生的利润为 2 万元 生产 1 车皮乙种肥料 产生的利润为 3 万元 分别用 x y 表示计划生产 甲 乙两种肥料的车皮数 用 x y 列出满足生产条件的数学关系式 并画出相应的平面区域 问分别生产甲 乙两种肥料各多少车皮 能够产生最大的利润 并求出此最大利润 17 本小题满分 13 分 如图 四边形 ABCD 是平行四边形 平面 AED 平面 ABCD EF AB AB 2 BC EF 1 AE DE 3 BAD 60 G 为 BC 的中点 6 求证 FG 平面 BED 求证 平面 BED 平面 AED 求直线 EF 与平面 BED 所成角的正弦值 18 本小题满分 13 分 已知是等比数列 前 n 项和为 且 n a n SnN 6 123 112 63S aaa 求的通项公式 n a 若对任意的是和的等差中项 求数列的前 2n 项和 bnnN 2 log n a 21 log n a 2 1 n n b 19 本小题满分 14 分 设椭圆 的右焦点为 右顶点为 已知 其中为原1 3 2 2 2 y a x 3 aFA 3 1 1 FA e OAOF O 点 为椭圆的离心率 e 求椭圆的方程 设过点的直线 与椭圆交于点 不在轴上 垂直于 的直线与 交于点 与轴交于点AlBBxllMy 若 且 求直线的 斜率 HHFBF MAOMOA l 20 本小题满分 14 分 设函数 其中baxxxf 3 Rx Rba 求的单调区间 xf 若存在极值点 且 其中 求证 xf 0 x 01 xfxf 01 xx 02 01 xx 设 函数 求证 在区间上的最大值不小于 0 a xfxg xg 1 1 4 1 2016 年普通高等学校招生全国统一考试 天津卷 年普通高等学校招生全国统一考试 天津卷 数数 学 文史类 参考答案学 文史类 参考答案 一 选择题 1 答案 A 2 答案 A 3 答案 B 4 答案 A 5 答案 C 6 答案 C 7 答案 B 8 答案 D 二 填空题 二 填空题 9 答案 1 10 答案 3 11 答案 4 12 答案 22 2 9 xy 13 答案 2 3 3 14 答案 1 2 3 3 三 解答题三 解答题 15 答案 6 B 2 61 6 解析 试题分析 利用正弦定理 将边化为角 再根据三角形内角范围化2sinsincos3sinBsinABBA 简得 已知两角 求第三角 利用三角形内角和为 将所求角化为两已知角 2 3 cos B 6 B 的和 再根据两角和的正弦公式求解 试题解析 解 在中 由 可得 又由ABC B b A a sinsin AbBasinsin 得 所以 得 AbBasin32sin BaAbBBasin3sin3cossin2 2 3 cos B 6 B 解 由得 则 所以 3 1 cos A 3 22 sin A sin sin sinBABAC 6 sin sin AC 6 162 cos 2 1 sin 2 3 AA 考点 同角三角函数的基本关系 二倍角的正弦公式 两角和的正弦公式以及正弦定理 16 答案 详见解析 生产甲种肥料车皮 乙种肥料车皮时利润最大 且最大利润为万2024112 元 解析 试题分析 根据生产原料不能超过 A 种原料 200 吨 B 种原料 360 吨 C 种原料 300 吨 列不等关 系式 即可行域 再根据直线及区域画出可行域 目标函数为利润 根据直线平移及截yxz32 距变化规律确定最大利润 试题解析 解 由已知满足的数学关系式为 该二元一次不等式组所表示的yx 0 0 300103 36058 20054 y x yx yx yx 区域为图 1 中的阴影部分 1 3x 10y 300 4x 5y 200 8x 5y 360 10 10 y x O 解 设利润为万元 则目标函数 这是斜率为 随变化的一族平行直线 为zyxz32 3 2 z 3 z 直线在轴上的截距 当取最大值时 的值最大 又因为满足约束条件 所以由图 2 可知 当直y 3 z zyx 线经过可行域中的点时 截距的值最大 即的值最大 解方程组得点yxz32 M 3 z z 300103 20054 yx yx 的坐标为 所以 M 24 20 M112243202 max z 答 生产甲种肥料车皮 乙种肥料车皮时利润最大 且最大利润为万元 2024112 M 2x 3y z 2x 3y 0 2 3x 10y 300 4x 5y 200 8x 5y 360 10 10 y x O 考点 线性规划 结束 17 答案 详见解析 详见解析 6 5 解析 试题分析 证明线面平行 一般利用线面平行判定定理 即从线线平行出发给予证明 而线线平行 寻找与论证 往往结合平几知识 如本题构造一个平行四边形 取的中点为 可证四边形BDO 是平行四边形 从而得出 面面垂直的证明 一般转化为证线面垂直 而线面垂直OGFEOEFG 的证明 往往需多次利用线面垂直判定与性质定理 而线线垂直的证明有时需要利用平几条件 如本题可 由余弦定理解出 即 求线面角 关键作出射影 即面的垂线 可利用面面 0 90 ADBADBD 垂直的性质定理得到线面垂直 即面的垂线 过点作于点 则平面 从而直ADEAH H AHBED 线与平面所成角即为 再结合三角形可求得正弦值ABBEDABH 试题解析 证明 取的中点为 连接 在中 因为是的中点 所以且BDOOGOE BCD GBCDCOG 又因为 所以且1 2 1 DCOGDCABABEF OGEF OGEF 即四边形是平行四边形 所以 又平面 平面 所以OGFEOEFG FGBED OEBED 平面 FGBED 证明 在中 由余弦定理可 进而可得ABD 0 60 2 1 BADABAD3 BD 即 又因为平面平面平面 平面平面 0 90 ADBADBD AED BDABCD ABCD AED 所以平面 又因为平面 所以平面平面 ADABCD BDAED BDBED BEDAED 解 因为 所以直线与平面所成角即为直线与平面所成角 过点作ABEF EFBEDABBEDA 于点 连接 又因为平面平面 由 知平面 所DEAH HBH BEDEDAED AHBED 以直线与平面所成角即为 在中 由余弦定理可得ABBEDABH ADE 6 3 1 AEDEAD 所以 因此 在中 3 2 cos ADE 3 5 sin ADE 3 5 sin ADEADAHAHBRt 所以直线与平面所成角的正弦值为 6 5 sin AB AH ABHABBED 6 5 考点 直线与平面平行和垂直 平面与平面垂直 直线与平面所成角 结束 18 答案 1 2 n n a 2 2n 解析 试题分析 求等比数列通项 一般利用待定系数法 先由解得 分 2 111 211 qaqaa 1 2 qq 别代入得 先根据等差中项得63 1 1 6 1 q qa Sn1 q1 1 a 再利用分组求和法求和 2 1 2log2 log 2 1 log log 2 1 2 1 2122 naab nn nnn 221 221 2 2 2 12 2 4 2 3 2 2 2 12 2 2 2 n bbn bbbbbbbbbT n nnnn 试题解析 解 设数列的公比为 由已知有 解之可得 又 n aq 2 111 211 qaqaa 1 2 qq 由知 所以 解之得 所以 63 1 1 6 1 q qa Sn1 q63 21 21 6 1 a 1 1 a 1 2 n n a 解 由题意得 即数列是首项 2 1 2log2 log 2 1 log log 2 1 2 1 2122 naab nn nnn n b 为 公差为 的等差数列 2 1 1 设数列的前项和为 则 1 2 n nb n n T 221 221 2 2 2 12 2 4 2 3 2 2 2 12 2 2 2 n bbn bbbbbbbbbT n nnnn 考点 等差数列 等比数列及其前项和n 结束 19 答案 22 1 43 xy 6 4 解析 试题分析 求椭圆标准方程 只需确定量 由 得 再利 113 c OFOAFA 113 c caa ac 用 可解得 先化简条件 即 222 3acb 2 1c 2 4a MOAMAO MAMO M 再 OA 中垂线上 再利用直线与椭圆位置关系 联立方程组求 利用两直线方程组求 H 最 1 M x B 后根据 列等量关系解出直线斜率 HFBF 试题解析 1 解 设 由 即 可得 0 F c 113 c OFOAFA 113 c caa ac 222 3acc 又 所以 因此 所以椭圆的方程为 222 3acb 2 1c 2 4a 22 1 43 xy 2 设直线的斜率为 则直线 的方程为 0 k k l 2 yk x 设 由方程组 消去 BB B xy 22 1 43 2 xy yk x y 整理得 解得或 2222 43 1616120kxk xk 2x 2 2 86 43 k x k 由题意得 从而 2 2 86 43 B k x k 2 12 43 B k y k 由 1 知 设 有 1 0 F 0 H Hy 1 H FHy 2 22 9412 43 43 kk BF kk 由 得 所以 BFHF 0BF HF 2 22 1249 0 4343 H kyk kk 解得 因此直线的方程为 2 94 12 H k y k MH 2 194 12 k yx kk 设 由方程组 消去 得 MM M xy 2 194 12 2 k yx kk yk x y 2 2 209 12 1 M k x k 在中 MAO MOAMAO MAMO 即 化简得 即 2222 2 MMMM xyxy 1 M x 2 2 209 1 12 1 k k 解得或 6 4 k 6 4 k 所以直线 的斜率为或 l 6 4 k 6 4 k 考点 椭圆的标准方程和几何性质 直线方程 结束 20 答案 详见解析 详见解析 详见解析 解析 试题分析 先求函数的导数 再根据导函数零点是否存在情况 分类讨论 2 3fxxa 当时 有恒成立 所以的单调增区间为 当时 存在三个0a 2 30fxxa f x 0a 单调区间 由题意得即 再由化简可得结论 实质研 2 00 30fxxa 2 0 3 a x 01 xfxf 究函数最大值 主要比较 的大小即可 分三种情况研究 当 xg 1 1 ff 33 33 aa ff 时 当时 当3a 33 1 1 33 aa 3 3 4 a 2 3332 3 11 3333 aaaa 时 3 0 4 a 2 32 3 11 33 aa 试题解析 1 解 由 可得 下面分两种情况讨论 3 f xxaxb 2 3fxxa 当时 有恒成立 所以的单调增区间为 0a 2 30fxxa f x 当时 令 解得或 0a 0fx 3 3 a x 3 3 a x 当变化时 的变化情况如下表 x fx f x x 3 3 a 3 3 a 33 33 aa 3 3 a3 3 a fx 0 0 f x 单调递增极大值单调递减极小值单调递增 所以的单调递减区间为 单调递增区间为 f x 33 33 aa 3 3 a 3 3 a 2 证明 因为存在极值点 所以由 1 知且 f x0a 0 0 x 由题意得 即 2 00 30fx