分式概念及意义

分式的意义和性质分式的意义和性质 一 分式的概念一 分式的概念 1 用 A B 表示两个整式 A B 可以表示成的形式 其中 A 叫做分式的分子 B 叫做 分式的分母 如果除式 B 中含有字母 式子就叫做分式 这就是分式的概念 研究分式就 从这里展开 2 既然除式里含有字母的有理代数式叫做分式 那么 在分式里分母所包含的字母 就不 一定可以取任意值 分式的分子 A 可取任意数值 但分母 B 不能为零 因为用零做除数没 有意义 一般地说 在一个分式里 分子中的字母可取任意数值 但分母中的字母 只能取不 使分母等于零的值 3 1 分式 当 B 0 时 分式无意义 2 分式 当 B 0 时 分式有意义 3 分式 当 时 分式的值为零 4 分式 当 时 分式的值为 1 5 分式 当 时 即或时 为正数 6 分式 当时 即或时 为负数 7 分式 当时或时 为非负数 2 三 分式的基本性质 1 学习分式的基本性质应该与分数的基本性质类比 不同点在于同乘以或同除以同一个不 等于零的整式 这个整式可以是数也可以是字母 只要是不为零的整式 2 这个性质可用式子表示为 M 为不等于零的整式 3 学习基本性质应注意几点 1 分子与分母同乘或同除的整式的值不能为零 2 易犯错误是只乘 或只除 分母或只乘 或只除 分子 3 如果分子或分母是多项式时 必须乘以多项式的每一项 4 分式变号法则的依据是分式的基本性质 5 分式的分子 分母和分式的符号 改变其中任何两个 分式的值不变 如下列式子 四 约分 1 约分是约去分子 分母中的公因式 就是用分式中分子和分母的公因式去除分子和分母 使分式化简为最简分式 最简分式又叫既约分式 2 约分的理论依据是分式的基本性质 3 约分的方法 1 如果分式的分子和分母都是几个因式乘积的形式 就约去分子和分母中相同因式的最 低次幂 当分子和分母的系数是整数时 还要约去它们的最大公约数 例 1 请说出下列各式中哪些是整式 那些是分式 1 2 3 4 3 5 a2 a 6 解 根据分式定义知 1 2 3 是分式 4 5 6 是整式 说明 判断一个代数式是否是分式要紧紧抓住除式中含不含字母 这里是分式 不能因为 a b 而认为是整式 a b 是分式的值 要 区分分式的值和分式这两个不同的概念 另外是整式而不是分式 虽然分母中有 但 不是字母而是无理数 是无限不循环小数 因此的除式中不含字母 例 2 在分式 1 2 3 中 字母 x 的值有什么限制 解 1 在中 当 x 2 时 使得分母 x 2 0 x 2 2 在中 当 x 2 时 使得分母 x 2 0 x 2 3 在中 当 x 2 或 x 3 时 使得分母 x 2 x 3 0 x 2 且 x 3 例 3 x 为何值时 分式 1 无意义 2 值为零 3 值为 1 4 值为 非负数 解 1 当分母 2x 3 0 时分式无意义 x 时 分式无意义 2 当时 分式值为零 x 1 时分式值为零 4 3 当时 分式值为 1 x 4 时分式值为 1 4 当或 时 分式值为非负数 或 x 1 或 x 时分式值为非负数 例 4 当 x 取何值时 分式 1 值为零 2 无意义 3 有意义 解 1 当 x 3 x 1 0 时 分式有意义 当 x 3 且 x 1 时分式有意义 又 6 2 x 0 时分式值为零 则 3 x 0 x 3 x 3 x 3 时分式值为零 2 x 3 x 1 0 分式无意义 即 x 3 0 或 x 1 0 x 3 或 x 1 时分式无意义 说明 对于 1 也可先令分子为零 求出字母的所有可能值为 x 3 后 再逐一代入分母 验证是否为零 不为零者即为所求 对于 2 当 x 3 0 或 x 1 0 时 都会使分式的分母等于零 所以要注意 或 字的使用 解 3 x 3 x 1 0 时分式有意义 即 x 3 0 且 x 1 0 时 x 3 且 x 1 时分式有意义 说明 对于 3 分母 x 3 x 1 只有不为零时 分式有意义 而 x 3 x 1 0 当 x 3 0 或 x 1 0 都会使 x 3 x 1 0 所以应将 x 3 和 x 1 都同时排除掉 写成 x 3 且 x 1 用 且 字 而不用 或 字 意义为 x 不能为 3 而且还不能为 1 即 3 和 1 都不能取 因为取任何其中一个 值 分母 x 3 x 1 都会为 0 而使分式都会无意义 例 5 写出等式中未知的分子或分母 1 2 3 1 分析 这类问题要从已知条件入手 根据分式的基本性质 分析变化的过程 如 1 右边分母 x2 y2是 x y x y 而左边分母为 x y 所以需将左式的分子和分母同乘以 x y 5 解 未知的分子是 x y 2 2 分析 左边分子 a2 ab a a b 而右边分子是 a b 所以需将左式的分子和分母同除以 a 解 未知的分母是 b 3 a2 ab a a b 将分子因式分解 比较分子 发现分子 分母同乘以 a 2ab 即为所求的分母 例 6 把下列分式的分子和分母中各项的系数都化为整数 1 2 1 分析 先找到分式中分子和分母中的分母的最小公倍数为 15 再据分数基本性质 分子和分母同乘以 15 解 2 解 注 必须乘以分子和分母的每一项 避免发生 0 2a 3b 10 2a 3b 这样的错误 6 例 7 不改变分式的值 使下列分式中分子与分母不含 号 1 2 解 根据分式的符号法则得 1 2 注意 分式 分子和分母的符号中 任意改变其中两个 分式的值不变 1 中改变分式 本身和分母两个负号 2 中改变分子和分母两个负号 例 8 不改变分式的值 依照 x 的降幂排列 使分子和分母中 x 的最高项的系数都为正数 1 2 解 1 2 说明 解题可分为三步 1 先将分式的分子和分母都按 x 的降幂排列 这步只是运用加 法交换律 不改变符号 2 将分子和分母的最高项系数化为正数 只要提取公因式 1 即可 提取时注意每项都要变号 3 运用符号法则进行变号 注意 如果分子或分母的首项为负 则必须先将负号提到括号外面 再使用符号法则 要 注意避免下列的错误 7 例 9 约分 1 2 解 1 3yz10 注意 分母的因式约去后得 1 分式变为整式 若化简分式时千万不要犯下列 错误 0 2 注意 分母的负号一般要移去 2 如果分式的分子或分母是多项式 应先分解因式 然后再约分 例 10 约分 1 2 3 4 5 解 1 注意 不要把约成 也不要将最后结果写成 因为分 式的横线表示括号 再写括号就多余了 8 2 注 不要将约做 因为这样是分子分母都减 a2 不是同除以相同的 整式 3 x2 1 注 不要犯下面的错误 x3 x2 4 注意 这里应用到了 2 x 3 x 2 3的变形 5 分子按 x 的降幂排列 分子提取公因式 1 分子 分母都分解因式 约去公因式 x 1 应用分式的符号法则 说明 此题的解法 一方面显示出分式约分的一般步骤 另一方面在解题的右侧的括号内 写出运算的算理 平日的化简是不写这些的 但不是它不存在 在思维上它是不可缺少的 9 分数的乘除法的关键是约分 而分式乘除法的关键也是约分 就是说 分式乘除法运算的 实质是约分 它能使运算的结果化为最简分式 同分数的约分一样 分式的约分是应用分式的 基本性质 把分式的分子 分母同除以它们的公因式 把分式化简 因此约分的关键在于正确 寻找到分式分子 分母中的公因式 附录 附录 一 本讲教学内容及要求 单元 节次 知识要点 教学要求 分式 1 分式概念 2 有理式概念 A 了解 A 分式的基本性质 1 分式的基本性质 2 分式的符号法则 D 灵活运用 C 掌握 分 式 分式的约分 1 约分和最简分式 2 约分的根据 3 分式