数理统计16498

数理统计 一 数理统计的基本概念 二 参数估计 三 假设检验 一 数理统计的基本概念 一 总体 个体和样本 1 总体 研究对象的全体 记为X 2 个体 组成总体的每个元素 3 样本 从总体中按某种方式抽取若干个个体所组成的集合 个体的个数称为样本容量 大小 容量为n的样本记为 X1 X2 Xn 4 简单随机样本 来自总体X的n个相互独立且与总体同分布的随机变量X1 X2 Xn 简称样本 样本观察值 5 样本 X1 X2 Xn 的联合分布函数 设总体X的分布函数为F x 则样本 X1 X2 Xn 的联合分布函数为 1 若总体X具有密度函数f x 则样本的联合密度函数为 2 若离散总体X具有分布律 则样本的联合分布律为 6 分位数 点 设总体X的分布函数为F x 满足 的点称为X的上分位数 若满足 的点称为X的下分位数 设X1 X2 Xn是来自总体X的一个样本 x1 x2 xn是这一样本的观察值 二 统计量 1 定义 不含总体分布中任何未知参数的样本X1 X2 Xn的任意函数g X1 X2 Xn 称为统计量 2 常用统计量 1 样本平均值 2 样本方差 4 样本k阶原点矩 5 样本k阶中心矩 一阶 二阶 二阶 样本方差 3 抽样分布 统计量的分布称为样本分布 3 样本标准差 三 三大抽样分布 1 分布 1 定义设X1 X2 Xn相互独立 且都服从则随机变量所服从的分布称为自由度为n的分布 记为 2 数字特征 3 分位数 2 t分布 1 定义设 且X与Y独立同 分布 则随机变量 所服从的分布称为 自由度为n的t分布 记为 2 性质 当n足够大时 近似 4 分位数 密度函数的图形关于y轴对称 形状与标准正态分布相类似 3 数字特征 ET 0 n 0 DT 3 F分布 1 定义设 且X与Y独立同 分布 则随机变量 所服从的分布称 为自由度为 n1 n2 的F分布 记为 3 数字特征 2 性质 若则 若则 4 分位数 四 正态总体的常用统计量 1 单个正态总体的抽样分布 设X1 X2 Xn是来自正态总体的一个样本 分别是样本均值和样本方差 则 相互独立 并且 2 两个正态总体的抽样分布 设X1 X2 Xn1是来自正态总体的一个样本 X1 X2 Xn2是来自正态总体的一个样本 且两个样本相互独立 设它们的样本均值和方差为 则 当时 其中 五 最大 最小次序统计量的分布 设总体X的分布函数为F x X1 X2 Xn是来自总体X的样本 则统计量和 的分布函数分别是 重要结论 1 无论总体X是否正态分布 只要样本X1 X2 Xn取自X 且 则 2 三大抽样分布的有关性质 1 若则 2 若则X与Y相互独立 则 3 对于有 4 对于有 5 若总体X的k阶原点矩存在 X1 X2 Xn取自X的样本 则 考点与例题分析 有关数理统计的基本概念 考点一 求样本容量n 或与样本均值和样本方差有关的概率 记住统计量的分布 考点二 求统计量的数字特征 利用统计量和数字特征的性质 考点三 求统计量的分布 例1在天平上重复量称一重为a的物品 假设各次称量结果相互独立且服从正态分布若以表示n次称量结果的算术平均值 则为使 n的最小值应不小于自然数 考点一 求样本容量n 或与样本均值和样本方差有关的概率 解 例2从正态总体中抽取样本X1 X2 X10 2 未知求概率 1 已知求概率 已知 未知 解由统计量的分布知 1 已知 因此 查表 2 未知 例3设总体X1 X2 Xn是来自X的样本 考点二 求统计量的数字特征 注意利用统计量的性质和随机变量的性质 记 则 解因 且 从而 故 随机样本 为样本均值 记 例4设 为来自总体N 0 1 的简单 求 I 的方差 II 与 的协方差 分析先将 表示为相互独立的随机变量求和 再用方差的性质进行计算 解由题设 知 相互独立 且 I II 考点三 求统计量的分布 利用分布 t分布和F分布的典型结构 正态总体下常用统计量的性质求解 正态总体 的三个抽样分布 例5设总体X N 0 1 从中取一个容量为6的样本 X1 X2 X6 设Y X1 X2 X3 2 X4 X5 X6 2 试决定常数C 使随机变量CY服从分布 解因X1 X2 X3 N 0 3 故 同理 于是有 例6设 则 解 由t分布的性质知 再由F分布的性质知 因此选 C 例7设总体X1 X2 Xn是来自X的简单样本 是样本均值 记 服从自由度为n 1的t分布的随机变量是 为样本方差 则 简单随机样本 为样本均值 例8 05 设 为来自总体N 0 1 的 正态总体 的三个抽样分布 解由正态总体抽样分布的性质知 可排除 A 又 可排除 C 而 不能断定 B 是正确 且 相互独立 于是 故应选 D 因为 二 参数估计 点估计估计量与估计值矩估计法最大似然估计法估计量的评选标准区间估计的概念单个正态总体的均值和方差的区间估计两个正态总体的均值差和方差比的区间估计 统计量作为的估计时 称为的估计量 它的一组样本观测值称为的估计值 一 点估计 1 定义样本的某个函数作为总体分布中未知参数的估计 则称为的点估计 2 估计量与估计值 3 矩法估计 用样本的矩 原点矩或中心矩 或矩的函数代替相应总体的矩或矩的同一函数而求得未知参数的一种估计方法 2 矩估计法的步骤 求出总体的矩列矩估计方程解上述方程 或方程组 4 最大似然估计 1 定义设总体X的概率分布为 为未知参数 则取自X的样本 X1 X2 Xn 的联合分布称为似然函数 若有使得 则称为的最大似然估计值 称为的最大似然估计量 2 最大似然估计的求解步骤 最值问题 写出似然函数取对数的对数似然函数分别对未知参数求偏导数 得似然方程求解方程得驻点 确定最大值点 则称为的无偏估计 设为的估计量 若 二 估计量的评选标准 1 无偏性 2 有效性 设均为的无偏估计 如果则称比有效 若的无偏估计的方差达到最小 则称为的最小方差估计 3 一致性 则称为的一致估计 若对 有 三 区间估计 设为正态总体X的未知参数 X1 X2 Xn是来自X的样本 对给定的如果两个统计量 满足 则称随机区间为的置信水平为的置信区间 和分别称为置信水平为的双侧置信区间的置信下限和置信上限 单侧 2 正态总体未知参数的双侧置信区间表 单个正态总体 待估参数 已知 未知 待估参数 已知 未知 两个正态总体 待估参数 已知 未知 待估参数 已知 未知 对应的统计量 5 若为的最大似然估计 g x 为单调函数 则为的最大似然估计估计 4 若为的矩估计 g x 为连续函数 则为的矩估计 四 重要结论 1 分别为总体EX DX的无偏估计量 2 由大数定理易知也是EX DX的一致估计量 3 若则为的一致估计 6 若为的置信水平为的置信区间 g x 为单调增加 减少 的函数 则 为的置信水平为的置信区间 考点与例题分析 考点一 矩估计和最大似然估计 例1 设总体X的概率分布为 0123 其中是未知参数 利用总体X的如下样本值 3 1 3 0 3 1 2 3 求的矩估计和最大似然估计值 分析 矩估计用计算即可 最大似然估计的关键是写出似然函数 对离散型情形 就是在对应样本观测值处的联合分布律 解 令 即 得 似然函数为 令 即 解得 故得所求最大似然估计值为 舍去 取对数 求导 例2 06 设总体X的概率密度为 其中是未知参数X1 X2 Xn是来自X的简单样本 记N为样本值x1 x2 xn中大于0小于1的数 1 求的矩估计 2 求的最大似然估计 分析 1 先求出X的期望 再列矩估计方程即可 2 先写出似然函数 再用似然估计法计算 考点二 评估量评选标准 估计量的无偏性就是计算估计量的期望 比较无偏估计量的有效性 就是计算估计量的方差 一致性是求估计量与参数之差的绝对值的概率的极限 即依概率收敛的问题 例3设X1 X2 Xn是来自X的一个样本 且设 确定常数c使为 的无偏估计 解方法一 因X1 X2 Xn相互独立同分布 所以 方法二 因X1 X2 Xn相互独立同分布 所以 从而有 例4 0713 设总体X的概率密度为 其中是未知参数X1 X2 Xn是来自X的简单样本 是样本均值 1 求参数的矩估计量 2 判断是否为的无偏估计量 并说明理由 解 1 令其中 解方程得的矩估计量为 所以不是的无偏估计量 另解 又故 因此不是的无偏估计量 例5 08 设X1 X2 Xn是来自总体的简单随机样本 记 证明T是的无偏估计量 当时 求DT 分析 考查无偏估计量 正态总体的样本均值和样本方差的分布及相关性质 期望和方差的性质 分布的数字特征等 属综合题 1 证 2 解当时 从而 故 考点三 区间估计 1 正问题 求参数的置信区间 2 逆问题 已知置信区间或其长度反求置信区间中的未知量 例6设来自正态总体容量为9的简单随机样本均值则未知参数的置信度为0 95的置信区间为 解 查表得 置信区间为 例7设总体已知 X1 X2 Xn是来自X的样本 考虑的置信度为的置